1、 1惠州市 2012 届高三第二次调研考试数学试题(理科） （本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟）注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共 8 小题，
2、每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1设集合 23,logPa， ,Qb，若 0P，则 PQ（ ）A 0 B 302 C 3,1 D 3,0122若 其中 ， 是虚数单位，则 （ ）(4)aibi,RiabA3 B5 C-3 D-5 3 “ ”是“ ”成立（ ）条件.|x260xA充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要4已知等比数列 na中， 12，且有 2467a，则 3a( )A 1 B C 14 D 125已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )A. B. C. D. .234
3、yx1.230.8yx.230.8yx.30.8yx6若 的展开式中 的系数是 80，则实数 a 的值为（ ）5(1)a3A-2 B C D22347如图，正方体 的棱长为 ，过点 作平面 的垂线，1CA1B垂足为点 ，则以下命题中，错误的命题是（ ）H点 是 的垂心 1D 的延长线经过点 A1 垂直平面 CB直线 和 所成角为H14528已知函数 若 则（ ）2()4(03),fxaxa12,1,xaA B12 ()ffC D 与 的大小不能确定()fxf1x2(二、填空题（本大题共 7 小题，分为必做题和选做题两部分每小题 5 分，满分 30 分）（一）必做题：第 9 至 13 题为必做题
4、，每道试题考生都必须作答9已知 中， ， ，则角 等于_AB1,2ab45BA10如图，三个几何体，一个是长方体、一个是直三棱柱，一个是过圆柱上下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，则它们的体积之比为 11. 右面框图表示的程序所输出的结果是_12若直线 yxm与圆 2()1y有两个不同的公共点，则实数 的取值范围为 m13已知双曲线 中心在原点，右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双21(0)9a216yx曲线的离心率为_（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分.14 （坐标系与参数方程选做题）曲线 2s
5、in(xy为 参 数 )与直线 ya有两个公共点，则实数 a的取值范围是_.是开始12,is?0si输出 s结束否315 （几何证明选讲选做题）如图，在 中， 为直径，OAB为 弦，过 点的切线与 的延长线交于点 ，且ADBDC，则 =_Csin三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 分）12已知函数 ，4 4sin3sicosyxx（1）求该函数的最小正周期和最小值；（2）若 ， 求该函数的单调递增区间.0,17 （本小题满分 12 分）某工厂 2011 年第一季度生产的 A、B、C、D 四种型号的产品产量用条形图表示如图，现用分层抽样
6、的方法从中选取 50 件样品参加四月份的一个展销会：（1）问 A、B、C、D 型号的产品各抽取多少件？（2）从 A、C 型号的产品中随机的抽取 3 件，用 表示抽取 A 种型号的产品件数，求 的分布列和数学期望.18 （本小题满分 14 分）在如图所示的多面体中， 平面 ， , ， ，EFABE/ADF/EBC， ， ， 是 的中点24BCAD32GC（1）求证： ；G（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. D DFEBGC50100150200O产品型号产量（单位件）419 （本小题满分 14 分）已知数列 nb满足 ，且 ， nT为 b的前 项和.124nnb172（1）求证：数列
7、是等比数列，并求 的通项公式；（2）如果对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.*nN127nkTk20 （本小题满分 14 分）已知点 是圆 上任意一点，点 与点 关于原点对称.线段 的中垂P21:()8Fxy2F1 2PF线 分别与 交于 两点m2、 MN、（1）求点 的轨迹 的方程；C（2）斜率为 的直线 与曲线 交于 两点,若 （ 为坐标原点） ，试求直线klPQ0O在 轴上截距的取值范围ly21 （本小题满分 14 分）已知二次函数 的图象经过点 、 与点 ，设函数()ygx(0,)O(,0)Am(1,)Pm在 和 处取到极值，其中 ， .()(fxnabnba（1）求 的二
8、次项系数 的值；xk（2）比较 的大小（要求按从小到大排列） ；,abmn（3）若 ，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线 均相切，求2 ()yfx.()yfx5惠州市 2012 届高三第二次调研考试理科数学参考答案与评分标准一选择题：共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A A D D D B1 【解析】由 0PQ,得 2log0a， 1， 从而 =0b， 3,01PQ.选 C.2 【解析】由 ，选 B(4)aiib54a3 【解析】由 得到 ，由 得到 ，选 A.|2x2x260x2x 34 【解析】 46757,4aa， 57，所以
9、 1,.qaq选 A5 【解析】由条件知， ， ，设回归直线方程为 ，则xy.23yx.选 D.1.2308y6 【解析】 的展开式中含 的项为 ，由题意得 ，5()a323235()10Caxa3108a所以 .选 D.7.【解析】因为三棱锥 A 是正三棱锥，故顶点 A 在底面的射影是底面中心，A 正确；平1BD面 平面 ，而 AH 垂直平面 ，所以 AH 垂直平面 ，C 正确；1 1BD1BD根据对称性知 B 正确.选 D.8 【解析】函数的对称轴为 ,设 ，由 得到 ，又 ，1x120x03a2a12x用单调性和离对称轴的远近作判断,故选 B.二填空题：共 7 小题，每小题 5 分，满分
10、 30 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题9 10 111320 12 13304:2(2,)4714 1a 15 569.【解析】根据正弦定理, ,siniabAB21sin.b ,30.abA10.【解析】因为三个几何体的主视图和俯视图为相同 的正方形，所 以原长方体棱长相等为正方体，原直 三棱柱是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，设正方形的边长为 则，长方体体积为 ，三a3a棱柱体积为 ，四分之一圆柱的体积为 ，所以它们的体积之比为 312a3144:211 【解析】该程序框图的作用是计算 的值.12012.【解析】圆心到直线的距离 22md.13.【解析】抛物线焦点 F（4，
11、0）得 又 得 ，故 . 4c2916,a7a47e14 【解析】曲线 2sin(xy为 参 数 )为抛物线段 1x，借助图形直观易得 0a.15.【解析】由条件不难得 ABC为等腰直角三角形，设圆的半径为 1，则 O， 2， OC5， 15sinBO.三、解答题16 （本小题满分 分）2解：（1） 4 分44 3sinicos3in2cosin26xxxy=所以 6 分min,2T（2） 8 分663kxkkxkZZ令 -,， 则 -,令 ，得到 或 ， 10 分0,1,3-54,3x与 取交集, 得到 或 ,x06所以，当 时，函数的. 12 分0, 53递 增 区 间 是 ， 和 ， 7
12、17 （本小题满分 12 分）解：（1）从条表图上可知，共生产产品 50+100+150+200=500（件） ，样品比为 501所以 A、B、C、D 四种型号的产品分别取110,20,50,15即样本中应抽取 A 产品 10 件，B 产品 20 件，C 产品 5 件，D 产品 15 件. 4 分（2） ， 351()9PC12035()9P， 8 分205314()10354()C所以 的分布列为0 1 2 3P 2920945912491 10 分12 分045311E18 （本小题满分 14 分）（1） 解法 1证明： 平面 ， 平面 ，FAEBAEB ， E又 ， 平面 ，,A,FC
13、平面 . 2 分C过 作 交 于 ，则 平面 .D/HEDHBE 平面 ， EGBF . 4 分 ，四边形 平行四边形，/,/AA ，2 ，又 ，EHBG/,EBGHE四边形 为正方形， ， 6 分又 平面 ， 平面 ,DDBD 平面 . 7 分EGBH 平面 ,B CFEDMHGA8 . 8 分BDEG（2） 平面 ， 平面ABCFAEFD平面 平面由（1）可知 H 平面 平面E 9 分GD取 的中点 ，连结 ，MG四边形 是正方形，A H 平面 ， 平面,HHM 平面DEG 是二面角 的平面角， 12 分MDEF由计算得 2,6HM 13 分3cos6G平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
14、 . 14 分DEF3解法 2 平 面 ， 平面 ， 平面 ，FABAEBAEB ， ，又 , 两两垂直. 2 分E以点 E 为坐标原点， 分别为,EBFA轴,xyz建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得， （0，0，2） ， （2，0，0） ，A（2，4，0） ， （0，3，0） ， （0，2，2） ，CD（2，2，0）. 4 分G ， ，6 分(,)E(,)B , 7 分20D . 8 分（2）由已知得 是平面 的法向量. 9 分(,)EBDEF设平面 的法向量为 ，G(,)nxyzxzyDFEBGC9 ，(0,2)(,20)EDG ，即 ，令 ,得 . 12 分nyzx1x(,1)n设平
15、面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，EF则 13 分|23cos|,nBA平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 14 分DG19 （本小题满分 14 分）解：（1）对任意 *Nn,都有 124nnb，所以 11()2nnb则 2nb成等比数列,首项为 3，公比为 2 分所以 13()n， 1()n4 分（2）因为 2n所以 213()1 123(.)6()12nnn nT7 分因为不等式 7(1)nkT，化简得 27n对任意 *N恒成立 8 分设 nc，则 1112()792nnnnc 当 5, 1n,为单调递减数列，当 , , 为 单调递增数列 11 分45362c,所以, 5时, nc
16、取得最大值 3213 分所以, 要使 7nk对任意 *N恒成立， k14 分20 （本小题满分 14 分）解：（1）由题意得， 圆 的半径为 ，且 1 分12(,0)(,F1F22|MFP从而 3 分12 12|MMP10 点 M 的轨迹是以 为焦点的椭圆 , 5 分12,F其中长轴 ,得到 ,焦距 ，2aa2c则短半轴 b椭圆方程为: 6 分21xy（2）设直线 l 的方程为 ,由 kxn21ykxn可得 22(1)40kx则 ,即 8 分268()1nk210kn设 ,则12(,)PxyQ21214,xx由 可得 ,即 10 分0O0y22()0knx整理可得 12 分21212()()k
17、xknx即 240化简可得 ,代入整理可得 ,23nk21n故直线 在 y 轴上截距的取值范围是 14 分l (,)(,)21 （本小题满分 14 分）解：（1）由题意可设 ，(),0gxkm又函数图象经过点 ，则 ，得 . 2 分1,P1()1)km1k（2）由（1）可得 .2()ygxx所以 ，()fxn32()mnnx， 4 分/23x函数 在 和 处取到极值， ()fxab故 ， 5 分/0,()f，mn11 7 分/2 2()3()()0fmnmnm/n 又 ，故 . 8 分baa（3）设切点 ，则切线的斜率0(,)Qxy 200()3()kfxnxm又 ，所以切线的方程是320 0ymnx 9 分20 00()3()()xmnxx又切线过原点，故 320 0()x nmx所以 ，解得 ，或 . 10 分32002()xmnx0两条切线的斜率为 ， ，1()kfmn2()kf由 ，得 ， ，2n28214，223() 1()()()244mkf nnmn 12 分所以 ，2212()(1)knm又两条切线垂直，故 ，所以上式等号成立，有 ，且 .12k 2mn1n所以 . 14 分332()()
