1、1惠州市 2018 届高三第二次调研考试文科数学全卷满分 150 分，时间 120 分钟一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 ， ，则 （ ）25Ax*21，BxnNAB(A) (B) (C) (D) ,31,73,55,72已知复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位），则 （ ）zz2iiz(A) (B) (C) (D) i 1i 1ii3已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ nanS2345a73a5S） (A) (B) (C) (D) 2850184已知双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线
2、的2:1(0,)xyCabb2yxC离心率为 ( )(A) (B) (C) (D) 5232 55若 0.5a， logb， lsin5c，则（ ）(A) c (B) ba (C) cab (D) abc6已知 ，且 ，则 （ ）1tn23,2o2(A) (B) (C) (D) 555257某商场为了了解毛衣的月销售量 （件）与月平均气温 （）之间的关系，随机统计yx了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温 x（） 17 13 8 2月销售量 y（件） 24 33 40 552由表中数据算出线性回归方程 中的 ，气象部门预测下个月的平均气ybxa$2温约为 6，据此估计
3、该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件(A) (B) (C) (D) 464038588如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于 1，则该几何体的外接球的体积为（ ）(A) (B) (C) (D) 2323439已知等边三角形 的边长为 ，其重心为 ，则 （ ）ABCGBC(A) (B) (C) (D) 21423310设 为椭圆 的两个焦点，点 在椭圆上，若线段 的中点在 轴12,F295xyP1PFy上，则 的值为（ ）21P(A) (B) (C) (D) 54594951311将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到()2sin()6fx12的图
4、象，若 ，且 ，则 的最大值为（ g129gx,x2x）(A) (B) (C) (D) 256435617412已知函数 ，若函数 的图象上关于原点对称的点有 对，1,0()lnkxf()fx2则实数 的取值范围是（ ）k(A) (B) (C) (D) (,0)-1(0,)2(0,)+(0,1)3二填空题：本大题共4小题，每小题5分。13已知函数 ， ，则 1()fx()2fa()fa14已知实数 、 满足 ，则 的最小值是 y01yx1z=xy-15 周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方
5、法我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1” ，把阴爻“ ”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是 16数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项和为 nanS2nana5三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17 （本小题满分 12 分）中， 是 边的中点， , , .ABCD3AB1C7AD（1）求 边的长；（2）求 的面积.卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数坤 0
6、00 0震 001 1坎 010 2兑 011 34OMDCBA18 （本小题满分 12 分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对 名小学六年级学生进行了问30卷调查，并得到如下列联表平均每天喝 以上为“常喝” ，体重超过 为“肥胖” 50ml 50kg常喝 不常喝 合计肥胖 2不肥胖 18合计 30已知在全部 人中随机抽取 1 人，抽到肥胖的学生的概率为 30 415（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有 的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由；9.5%（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有 2 名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取 2 人参加一个电视
7、节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率参考数据： )(2kKP0100 0050 0025 0010 0005 00012706 3841 5024 6635 7879 10828, 其中 为样本容量dcban19 （本小题满分 12 分） 如图，在多面体 ABCDM中， 是等边三角形， CD是等腰直角三角形，90CM，平面 平面 ， AB平面 ，点 O为 的中点（1）求证： O平面 ；（2）若 2，求三棱锥 的体积520 （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 2()()lnfxaxaR（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值；y,(2f 30xya（2）求函数 的单调区间()
8、fx21 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，过点 的直线与抛物线 相交于点 、xoy2,0C24yxA两点，B设 ， .1,Axy2,（1）求证： 为定值；1（2）是否存在平行于 轴的定直线被以 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，yAC求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 （ 为参数）和定点 ， 、 是此曲线的左、2cos:3inxCy(0,3)A1F2右焦点，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐
9、标系Ox（1）求直线 的极坐标方程；2AF（2）经过点 且与直线 垂直的直线交此圆锥曲线于 、 两点，12 MN6求 的值11|MFN23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 .()|1|fxmx（1）当 5时，求不等式 ()2f的解集；（2）若二次函数 23yx与函数 yfx的图象恒有公共点，求实数 的取值范围. 惠州市 2018 届高三第二次调研考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 【解析】由题意 ,故选 C.35AB2 【解析】 ，则 ，故选 C.21izi1zi3 【解析】由等差数列可知 ，得 ，所以243a5a，故选 B .153
10、5()52aS4 【解析】双曲线的渐近线 ，得 ，又 ，得到byxa1222abc254ac所以， ，故选 A .52ce5 【解析】依题意， ， ，而由 得 ，故选 D .1a0bsin150c6 【解析】由 ，得 ，且 ，sintco2co222sios13(,)2题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C B A D A A B C D B D7所以， ，又 ，故选 A .5sin5cos()sin27 【解析】计算得 ，回归直线过点 ，且 ，代入得 ，10,38xy(,)xy2b58a则回归方程为，则 时 ，故选 A .25y648 【解析】还原几何体为一个
11、三棱锥 ，放入棱长为 1 的正方体中，如图所示，BCD外接球的半径为 ，则 ，故选 B .32R32VR9 【解析】如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，(0,)A(1,0)(,)C得重心 ,则向量 ， ，3(0)G3,BG3,所以 ，故选 C .21BC（也可以 ， 由向量数量积的定义计算23AB13A得出）10 【解析】如图，设线段 的中点 在 轴上，点 是 的中点，1PFMyO12F所以 ，可得 轴， ，2/O2x253bPa， ，故选 D .1213PFa15F11 【解析】由题意可得， ，所以 ，又()sin()gxmax()3g，所以12()9gx，由 ，得12()3x()2si(
12、)13x，因为32xkZ，所以 ，故1,x12max 49()()(2)11选 B .12 【解析】依题意，函数图象上存在关于原点对称的点，可作函数关于原点对称的函数ln()0yxln(0)yxABCDGCOyxBAyxO F2F1PMOyx8的图象，使得它与直线 的交点个数为 2 即可，1(0)ykx当直线 与 的图象相切时，设切点为 ，1ykxln,lnm又 的导数为 ，则 ，解得 ，lnyx 1ln,kmk1,k可得切线的斜率为 1，结合图象可知 时函数 与直线 有两个0,1lyxyx交点，即原函数图象上有两个点关于原点对称，故选 D .二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）13
13、14. 15. 16. 431725813【解析】由已知得 ，即 ，所以()2fa3a， 也可11( 4f得出.2fx14【解析】画出可行域平移直线可知在点 取得最小值，代入目标函数得 .2,3 53z15【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“ ”表示二进制数的，01转化为十进制数的计算为 .012345201021716【解析】当 时 ，得 ，当 时1n1aSan，得2()n naS，则数列 为等比数列，公比为 ， ，得 ，1n2na2n由错位相减法求和得 .58T三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.解：（1）设 ，则 ，由余
14、弦定理，BDx2Cx在 中，有 A22cosABD2973x92 分在 中，有 ABC22cosABC29413x4 分且 ，即 ，得 D2973x2413x2x6 分 4BC7 分（2） 由（1）可知， ， ，得 1cos2B(0,)3sin29 分 sinABCS34312 分18解：（1）设全部 30 人中的肥胖学生共 名，则 ，n4,83015n 常喝碳酸饮料且肥胖的学生有 6 名 2分列联表如下：常喝 不常喝 合计肥胖 6 2 8不肥胖 4 18 22合计 10 20 304分 （2） ， 622306184.53K分又 7.57.9分有 的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关 8.%分（
15、3）设常喝碳酸饮料且肥胖的 4 名男生为 ，2 名女生为 ，则从中随机抽取 2,ABCD,ef名的情形AB CD10HOMDCBA有 ； ； ； ； 共 15 种， ,ABCDeAf,BCef,DCef,fe10 分其中一名男生一名女生的情形共有 8 种， 11 分 正好抽到一名男生和一名女生的概率为 1512 分19.（1）证明： CMD是等腰直角三角形，90，点 O为 的中点， OMCD 平面 平面 B，平面 平面 ，平面 CD， M平面 4 分 AB平面 , O AB 5 分 平面 , 平面 D, O平面 6 分（2）法 1：由（1）知 平面 , 点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离
16、 7 分 2C， 是等边三角形,点 为 C的中点 23484312BCSBDBOD 8 分 OBDABDABDMVV0 10 分323131SBOD12 分法 2：由（1）知 平面 , 点 到平面 A的距离等于点 到平面 ABD的距离 7 分过 作 H，垂足为点 H， 平面 C, 平面 C, O B平面 D,B平面 , ， O平面 9 分 2A， 是等边三角形， ， 1， 3sin602OH 10 分11 ABDMABV132BDOH1323 三棱锥 的体积为 12 分20. 解: (1)由 可知，函数定义域为 ，2()()lnfxax0x且 ，依题意， (2)4()12af解得 4 分（2）
17、依题意， (2)1()2()axfx0x令 ，得 012,x 当 时， ，由 ，得 ；由 ，得a()0f1x()fx1x则函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ()fx, ,6 分 当 ，即 时，由 ，得 或012a02a()0fx2ax1由 ，得()fx 1x则函数 的单调递增区间为 ，f 0,2a1,函数 的单调递减区间为 ()fx,8 分 当 ，即 时， 恒成立，则函数 的单调递增区间为12a2()0fx()fx0, 10 分 当 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得12a2()0fx1x2a()0fx1212ax则函数 的单调递增区间为 ，()fx0,1,2a函数 的单调递增区间为
18、()f ,12 分21、解：（） （解法 1）当直线 AB 垂直于 x 轴时， 2,21y,因此 82y(定值) 2 分当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设直线 AB 的方程为 )(xky由 yk4)(2得 0842ky821因此有 21为定值 4 分（解法 2）设直线 AB 的方程为 xmy由 xy42得 082 821y因此有 21为定值 （4 分）()设存在直线 l： ax满足条件，则AC 的中点 )2,(1yE， 211)(yxAC因此以 AC 为直径的圆的半径 41)(221xrE 点到直线 ax的距离 |2|1axd7 分所以所截弦长为 2112 )()4(axr 2121)(4a
19、x 218 10 分当 0a即 时，弦长为定值 2，这时直线方程为 x 12分 1322.解：（1）曲线 C： 可化为 ，2cos3inxy2143yx其轨迹为椭圆，焦点为 F1（1，0） ，F 2（1，0） 2分经过 A（0， ）和 F2（1，0）的直线方程为 ，即13yx30xy 直线的极坐标方程为： . 53cosin0分（2）由（1）知，直线 AF2的斜率为 ，因为 AF 2，所以 的斜率为 ，倾斜角为 30，ll3所以 的参数方程为 （t 为参数） ，l12xyt代入椭圆 C 的方程中，得 8 分23360t因为 M，N 在点 F1的两侧，所以|MF 1|NF 1|=|t1+t2|= 10 分23.【解析】解：（1）当 5m时， ， 3 分 521()3xf由 ()2fx得不等式的解集为 . 5 分32x（2）由二次函数 23(1)yx，该函数在 1x取得最小值 2，因为 ，在 x处取得最大值 m，8 分()2mfx14所以要使二次函数 23yx与函数 ()yfx的图象恒有公共点，只需 2m，即 4. 10 分
