1、2016-2017 学年湖北省孝感市应城一中高三（上）11 月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合 A=x|x22x3 0，B=x|y=ln（2x），则 AB=（ ）A （1，3） B （1，3 C 1，2） D （1，2）2已知 i 是虚数单位，复数 的值为（ ）A1i B1+i Ci D2 i3下列命题中，是假命题的是（ ）Ax0，xlnx Bx 0R，tanx 0=2016Cx 0R，sinx 0+cosx0= Dx R，2 x04设偶函数 f（x）的定义域为 R，当 x0，+
2、 ）时，f（x）是增函数，则 f（2） ，f（） ，f（ 3）的大小关系是（ ）Af（ 2）f（）f（3） Bf（）f（2）f（ 3）Cf（2）f （3）f（） Df （3）f（2）f（）5已知等差数列a n前 9 项的和为 27，a 10=8，则 a100=（ ）A100 B99 C98 D976已知 sin2= ，则 cos2（ + ）=（ ）A B C D7已知 P 是ABC 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是（ ）A B C D8已知非零向量 = ， = ，且 BCOA，C 为垂足，若 = （0） ，则实数 等于（ ）A B C D9设点
3、P 是双曲线 =1（a0，b0）上的一点，F 1、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1PF 2，且|PF 1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A B Cy=2x Dy=4x10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A24 B12 C8 D611 九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？” 其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌
4、在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分） 已知弦 AB=1 尺，弓形高 CD=1 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注：1 丈=10 尺=100 寸，3.14，sin22.5 ）A600 立方寸 B610 立方寸 C620 立方寸 D633 立方寸12函数 f（x）= ，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（ ）A1， 2 B 1，0 C1，2 D0，2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分13已知 =（1， 2） ，| |=2 ，且 ，则 = 14二项式（1+x） n（nN *）的展开式中 x4 的系数为 15，则 n= 15已
5、知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x3y 的最小值为 16S n 为a n的前 n 项和，已知 a1=1，S n=nan+1+2n，则数列 的前 n 项和 Tn 的表达式为 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CDBC，AC=5 ，CD=5 ，BD=2AD （）求 AD 的长；（）求ABC 的面积18 （12 分）如图，四棱锥 SABCD 中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=SD=1，侧面 SAB 为等边三角形（1）证明：ABSD ；（2）求二面角 ASBC 的正弦值1
6、9 （12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为 T，其范围为0，10，分为五个级别，T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T 4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵早高峰时段（T3） ，从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的 50 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图（）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 36 分钟；中度拥堵为 42 分钟；严重拥堵为
7、 60 分钟，求此人所用时间的数学期望20 （12 分）设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 A（2， ）在椭圆上，且满足 =0（）求椭圆 C 的标准方程；（）动直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 OPOQ ，是否存在圆 x2+y2=r2 使得 l 恰好是该圆的切线，若存在，求出 r；若不存在，说明理由21 （12 分）已知函数 f（x） =xlnx x2x+a（a R） ）在其定义域内有两个不同的极值点（）求 a 的取值范围；（）设两个极值点分别为 x1，x 2，证明：x 1x2e 2选做题选修 4-4：极坐标与参数方程 22 （10
8、 分）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为sin（+ ）=2 （）求曲线 C 在极坐标系中的方程；（）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x）=|2x+1| |x|2（）解不等式 f（x）0（）若存在实数 x，使得 f（x）|x|+a，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年湖北省孝感市应城一中高三（上）11 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共
9、 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知集合 A=x|x22x3 0，B=x|y=ln（2x），则 AB=（ ）A （1，3） B （1，3 C 1，2） D （1，2）【考点】交集及其运算【专题】对应思想；定义法；集合【分析】化简集合 A、B，求出 AB 即可【解答】解：集合 A=x|x22x30= x|1x3= 1，3，B=x|y=ln（2x）= x|2x0=x|x2=（，2） ；AB=1，2 ） 故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2已知 i 是虚数单位，复数 的值为（ ）A1i B1+i Ci D2 i【考点】复数代数形式的乘除运算
10、【专题】计算题；方程思想；定义法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求解【解答】解：i 是虚数单位， = = = =1+i故选：B【点评】本题考查复数的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用3下列命题中，是假命题的是（ ）Ax0，xlnx Bx 0R，tanx 0=2016Cx 0R，sinx 0+cosx0= Dx R，2 x0【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；定义法；简易逻辑【分析】构造函数 f（x）=xlnx ，可得当 x=1 时，f（x）取最小值 1，进而可判断 A；根据 tanxR 可判断 B；根据 sinx+cosx
11、= sin（x+ ）= ， ，可判断 C；根据 2x（0，+） ，可判断 D【解答】解：令 f（x）=x lnx，则 f（x）=1 ，当 x（0，1）时，f（x）0，函数为减函数，当 x（1，+）时，f（x）0，函数为增函数，故当 x=1 时，f（x）取最小值 1，即x0，xlnx 为真命题；tanxR，故 x0R，tanx 0=2016 为真命题；sinx+cosx= sin（x+ ）= ， ， ， ，故x 0R，sinx 0+cosx0= 为假命题；2x（0，+） ，故xR ，2 x 0 为真命题；故选：C【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的值域，全称命题，特称命题，难度
12、中档4设偶函数 f（x）的定义域为 R，当 x0，+ ）时，f（x）是增函数，则 f（2） ，f（） ，f（ 3）的大小关系是（ ）Af（ 2）f（）f（3） Bf（）f（2）f（ 3）Cf（2）f （3）f（） Df （3）f（2）f（）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间0，+）上，然后利用函数的单调性比较大小关系【解答】解：f（x）是定义域为 R 的偶函数，f（ 3）=f（3） ，f（2）=f（2） 函数 f（x）在0，+）上是增函数，f（ ） f（ 3）f（2） ，即 f（）f（ 3）f（2）
13、，故选 C【点评】本题考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小5已知等差数列a n前 9 项的和为 27，a 10=8，则 a100=（ ）A100 B99 C98 D97【考点】等差数列的性质【专题】计算题；定义法；等差数列与等比数列【分析】根据已知可得 a5=3，进而求出公差，可得答案【解答】解：等差数列a n前 9 项的和为 27，9a 5=27，a 5=3，又a 10=8，d=1，a 100=a5+95d=98，故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键6 （2013新课标 ）已知 sin2= ，则
14、cos2（ + ）=（ ）A B C D【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用【专题】三角函数的求值【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：sin2= ，cos 2（+ ）= 1+cos（2+ ）= （1sin2 ）= （1 ）= 故选 A【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键7 （2016衡阳二模）已知 P 是ABC 所在平面内一点， ，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC 内的概率是（ ）A B C D【考点】向量的线性运算性质及几何意义；几何
15、概型【专题】计算题；概率与统计【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点 P 是ABC 边 BC 上的中线 AO的中点再根据几何概型公式，将PBC 的面积与ABC 的面积相除可得本题的答案【解答】解：以 PB、PC 为邻边作平行四边形 PBDC，则 ， ，得 =2由此可得，P 是ABC 边 BC 上的中线 AO 的中点，点 P 到 BC 的距离等于 A 到 BC 的距离的 S PBC = SABC 将一粒黄豆随机撒在ABC 内，黄豆落在PBC 内的概率为 P= =故选 C【点评】本题给出点 P 满足的条件，求 P 点落在PBC 内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共
16、线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题8 （2015通辽模拟）已知非零向量 = ， = ，且 BCOA ，C 为垂足，若 = （0） ，则实数 等于（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由 BCOA 便得到 ，从而得到 =0，然后把 ， 带入进行数量积运算，从而可解出 ，从而找到正确选项【解答】解：BCOA ； = ； ； 故选 A【点评】考查两向量垂直的充要条件，数量积的运算，以及向量减法的几何意义9设点 P 是双曲线 =1（a0，b0）上的一点，F 1、F 2 分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1PF 2，且|PF 1|=2|PF2|，则双曲线的一
17、条渐近线方程是（ ）A B Cy=2x Dy=4x【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；函数思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的定义可知|PF 1|PF2|=2a，进而根据|PF 1|=2|PF2|，分别求得|PF 2|和|PF 1|，进而根据勾股定理建立等式求得 a 和 c 的关系，然后求解渐近线方程【解答】解：由双曲线的定义可得|PF 1|PF2|=2a，又|PF 1|=2|PF2|，得|PF 2|=2a，|PF 1|=4a；在 RTPF 1F2 中，|F 1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，4c 2=16a2+4a2，即 c2=5a2，则 b2=4a2即
18、b=2a，双曲线 =1 一条渐近线方程：y=2x；故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A24 B12 C8 D6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何【分析】由已知中的三视图，可得该几何合格是四棱锥，且有一条侧棱与底面垂直，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别为 1，1，2 的棱柱的外接球，进而得到答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何合格是四棱锥，且有一条侧棱与底面垂直，故其外接球，相当于一个长，宽，高分
19、别为 1，1，2 的棱柱的外接球，故该几何体的外接球的表面积（1 2+12+22）=6，故选：D【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档11 九章算术是我国古代著名数学经典其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？” 其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分） 已知弦 AB=1 尺，弓形高 CD=1
20、寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注：1 丈=10 尺=100 寸，3.14，sin22.5 ）A600 立方寸 B610 立方寸 C620 立方寸 D633 立方寸【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案【解答】解：如图，AB=10（寸） ，则 AD=5（寸） ，CD=1（寸） ，设圆 O 的半径为 x（寸） ，则 OD=（x1） （寸） ，在 Rt ADO 中，由勾股定理可得：5 2+（x 1） 2=x2，解得：x=13（寸） sinAOD= ，即AOD
21、22.5，则AOB=45 则弓形 的面积 S= 6.33（平方寸） 则算该木材镶嵌在墙中的体积约为 V=6.33100=633（立方寸） 故选：D【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题12函数 f（x）= ，若 f（0）是 f（x）的最小值，则 a 的取值范围为（ ）A1， 2 B 1，0 C1，2 D0，2【考点】分段函数的应用【专题】计算题；分类讨论；函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】利用分段函数求出函数的最小值，利用基本不等式列出关系式求解即可【解答】解：函数 f（x）= ，若 f（ 0）是 f（x）的最小值，可得 a0可得 f（0）=a 2+
22、1，x 2+ a 2+1，即 x2+ a 2a+1，x0 时恒成立x2+ =x2+ 3 =3，当且仅当 x=1 时取等号可得 3a 2a+1，a 2a20，解得 a1，2综上 a0，2 故选：D【点评】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分13 （2016 秋 湖北期中）已知 =（1，2） ，| |=2 ，且 ，则 = （2， 4） ，或（2，4） 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】方程思想；转化思想；平面向量及应用【分析】设 =（x，y） ，由 =（1，2） ，| |=2 ，且 ，可得 =2 ，2
23、xy=0，即可得出【解答】解：设 =（x，y） ， =（1，2） ，| |=2 ，且 ， =2 ， 2xy=0，解得 ，或 =（2， 4）或（2，4） ，故答案为：（2，4） ，或（ 2，4） 【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14 （2016开封四模）二项式（1+x） n（nN *）的展开式中 x4 的系数为 15，则 n= 6 【考点】二项式定理的应用【专题】方程思想；分析法；二项式定理【分析】求得二项式展开式的通项公式 Tr+1= xr，令 r=4，可得 =15，结合组合数公式，解方程可得n=6【解答】解：二项式（1+x） n（n N*）
24、的通项公式为 Tr+1= xr，由二项式（1+x） n（nN *）的展开式中 x4 的系数为 15，可得 =15，即 =15，可得n（n3） （n1） （n 2）=360，即为（n 23n） 2+2（n 23n）360=0，即有 n23n=20，或 n23n=18，由 n 为正整数，可得 n=6故答案为：6【点评】本题考查二项式定理的运用，考查二项式展开式的系数问题的解法，注意运用通项公式，考查运算能力，属于基础题15已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x3y 的最小值为 4 【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式【分析】首先画出可行域，关键目标函数的几何意义求最
25、小值【解答】解：由约束条件得到可行域如图：z=2x3y 变形为 y= ，当此直线经过图中 B（1，2）时，在 y 轴的截距最大，z 最小，所以 z 的最小值为 2132=4；故答案为：4【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是常规方法16S n 为a n的前 n 项和，已知 a1=1，S n=nan+1+2n，则数列 的前 n 项和 Tn 的表达式为 Tn=2 【考点】数列递推式；数列的求和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】S n=nan+1+2n，n2 时，a n=SnSn1，可得 an+1an=2n1， = ，再利用等比数列的求
26、和公式即可得出【解答】解：S n=nan+1+2n，n2 时，a n=SnSn1=nan+1+2n ，a n+1an=2n1， = ，数列 的前 n 项和 Tn= =2 ，故答案为：T n=2 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分） （2016 江苏模拟）如图，在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CDBC ，AC=5 ，CD=5 ， BD=2AD（）求 AD 的长；（）求ABC 的面积【考点】解三角形【专题】数形结合；数形结合法；
27、解三角形【分析】 （1）假设 AD=x，分别在ACD 和ABC 中使用余弦定理计算 cosA，列方程解出 x；（2）根据（1）的结论计算 sinA，代入面积公式计算【解答】解：（1）设 AD=x，则 BD=2x，BC= = 在ACD 中，由余弦定理得 cosA= = ，在ABC 中，由余弦定理得 cosA= = = ，解得 x=5AD=5 （2）由（1）知 AB=3AD=15，cosA= = ，sinA= S ABC = = = 【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题18 （12 分） （2016 洛阳模拟）如图，四棱锥 SABCD 中， ABCD ，BCCD，AB=BC=2
28、，CD=SD=1，侧面 SAB 为等边三角形（1）证明：ABSD ；（2）求二面角 ASBC 的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【专题】证明题；转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角【分析】 （1）取 AB 的中点 E，连结 DE，推导出 BEDE，ABSE，由此能证明 ABSD（2）分别以 DE，DCDF 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 ASBC 的正弦值【解答】证明：（1）取 AB 的中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为矩形，BEDE，SAB 为等边三角形， ABSE，SEDE=E ，AB平面 SED，S
29、D 平面 SED，ABSD解：（2）由（1）知 DEDC ，过 D 作 DF平面 ABCD，则 DE，DC，DF 两两垂直，分别以 DE，DCDF 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0） ，A（2，1，0） ，B （2，1，0） ，C（0，1，0） ，SD=1，DE=2，SE= ，SDSE ，SD平面 SAB，S（ ） ， =（ ） ，设平面 SBC 的法向量 =（x，y，z ） ， =（ ，1， ） ， =（ 2，0，0） ， ，取 z=1，得 =（0， ，1） ，设二面角 ASBC 的平面角为 ，则 cos= = = ，sin= = 二面角 ASBC
30、的正弦值为 【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19 （12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为 T，其范围为0，10，分为五个级别，T0，2）畅通；T2，4）基本畅通；T 4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵早高峰时段（T3） ，从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的 50 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图（）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某
31、人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 36 分钟；中度拥堵为 42 分钟；严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式【专题】方程思想；转化思想；概率与统计【分析】 （）利用（0.2+0.16）150 即可得出这 50 路段为中度拥堵的个数（）设事件 A“一个路段严重拥堵 ”，则 P（A）=0.1，事件 B 至少一个路段严重拥堵”，则P =（1 P（ A） ） 3P（B）=1P（ ）=0.271，可得三个路段至少有一个是严重拥堵的概率（III）利用频率分布直方图即可得出分布列
32、，进而得出数学期望【解答】解：（） （0.2+0.16）150=18，这 50 路段为中度拥堵的有 18 个（）设事件 A“一个路段严重拥堵 ”，则 P（A）=0.1，事件 B 至少一个路段严重拥堵 ”，则 P =（1P（A ） ） 3=0.729P（B） =1P（ ）=0.271，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271（III）由频率分布直方图可得：分布列如下表：X 30 36 42 60P 0.1 0.44 0.36 0.1E（X）=30 0.1+360.44+420.36+600.1=39.96此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟【点评】本题考查了频率分布直
33、方图的应用、互斥事件的概率计算公式、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （12 分）设椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 A（2， ）在椭圆上，且满足 =0（）求椭圆 C 的标准方程；（）动直线 l：y=kx +m 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 OPOQ ，是否存在圆 x2+y2=r2 使得 l 恰好是该圆的切线，若存在，求出 r；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （1）由题意可知 c=2，将 A 代入椭圆，列方程组，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；（2）将直线
34、l 的方程代入椭圆方程， 0，根据韦达定理定理求得 x1+x2 及 x1x2，代入直线 l 方程求得y1y2，由 OPOQ，根据向量数量积的坐标表示求得 x1x2+y1y2=0，求得 m 的取值范围，l 与圆 x2+y2=r2 相切，代入即可求得 r 的值【解答】解：（1） ，AF 2F 1F2，A 在椭圆上， ，解得 （1 分） ，解得 a2=8，b 2=4， （3 分）椭圆 （4 分）（2）设 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2） ，将 l：y=kx+m 代入 ，整理得：（1+2k 2） x2+4kmx+2m28=0，0，8k 2m2+40，（6 分）且 ， ， ，（7 分）OPO
35、Q，x 1x2+y1y2=0，即 ， ，（8 分）由 和 8k2m+40，得 即可（9 分）l 与圆 x2+y2=r2 相切， ，（11 分）存在圆 符合题意（12 分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标表示，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x） =xlnx x2x+a（a R） ）在其定义域内有两个不同的极值点（）求 a 的取值范围；（）设两个极值点分别为 x1，x 2，证明：x 1x2e 2【考点】利用导数研究函数的极值【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用【分析】 （）由导数与极值
36、的关系知可转化为方程 f（x）=lnx ax=0 在（0，+）有两个不同根；再转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（ 0，+）上有两个不同交点，或转化为函数 g（x）= 与函数 y=a的图象在（0，+）上有两个不同交点；或转化为 g（x）=lnx ax 有两个不同零点，从而讨论求解；（）问题等价于 ln ，令 ，则 t1，设 ，根据函数的单调性证出结论即可【解答】解：（）由题意知，函数 f（x）的定义域为（0，+） ，方程 f（x）=0 在（0，+）有两个不同根；即方程 lnxax=0 在（0，+）有两个不同根；（解法一）转化为函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（0，
37、+）上有两个不同交点，如右图可见，若令过原点且切于函数 y=lnx 图象的直线斜率为 k，只须 0ak令切点 A（x 0，lnx 0） ，故 k=y|x=x0= ，又 k= ，故 = ，解得，x 0=e，故 k= ，故 0a （解法二）转化为函数 g（x）= 与函数 y=a 的图象在（0，+）上有两个不同交点又 g（x）= ，即 0xe 时，g （x）0， xe 时，g（x）0，故 g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+ ）上单调减故 g（x） 极大 =g（e）= ；又 g（x）有且只有一个零点是 1，且在 x0 时，g（x），在在 x+时，g（x）0，故 g（x）的草图如右图，可见，要想函
38、数 g（x）= 与函数 y=a 的图象在（0，+）上有两个不同交点，只须 0a （解法三）令 g（x）=lnx ax，从而转化为函数 g（x）有两个不同零点，而 g（x）= ax= （x0） ，若 a0，可见 g（x）0 在（ 0，+）上恒成立，所以 g（x）在（0，+）单调增，此时 g（x）不可能有两个不同零点若 a0，在 0x 时，g （ x）0，在 x 时，g（x）0，所以 g（x）在（0， ）上单调增，在（ ，+）上单调减，从而 g（x）极大=g（ ）=ln 1，又因为在 x0 时，g（x），在在 x+时，g（x），于是只须：g（x） 极大 0，即 ln 10，所以 0a 综上所述，0
39、a （）由（）可知 x1，x 2 分别是方程 lnxax=0 的两个根，即 lnx1=ax1，lnx 2=ax2，设 x1x 2，作差得 ln =a（x 1x2） ，即 a=原不等式 等价于 ln ，令 ，则 t1， ，设 ， ，函数 g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）=0，即不等式 成立，故所证不等式 成立【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于综合题选做题选修 4-4：极坐标与参数方程 22 （10 分） （2013 郑州一模）已知在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 为参数） ，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同
40、的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 sin（+ ）=2 （）求曲线 C 在极坐标系中的方程；（）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】 （1）把曲线 C 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数 ，化为普通方程，再根据x=cos，y= sin，化为极坐标方程（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长【解答】解：（1）把曲线 C 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数 ，化为普通方程为（x2） 2+y2=4，再化为极坐标方程是
41、=4cos（2）直线 l 的直角坐标方程为 x+y4=0，由 求得 ，或 ，可得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为（2，2） （4，0） ，所以弦长为 =2 （10 分）【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线和圆的交点坐标，两点间的距离公式的应用，属于基础题选修 4-5：不等式选讲23 （2016信阳一模）已知函数 f（x）=|2x+1|x|2（）解不等式 f（x）0（）若存在实数 x，使得 f（x）|x|+a，求实数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】 （）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集（）不等式即|x+
42、 |x| +1，由题意可得，不等式有解根据绝对值的意义可得|x+ |x|， ，故有 +1 ，由此求得 a 的范围【解答】解：（）函数 f（ x）= |2x+1|x|2= ，当 x 时，由 x30，可得 x3当 x0 时，由 3x10，求得 x当 x0 时，由 x10，求得 x1综上可得，不等式的解集为x|x3 或 x1（）f（x）|x|+a，即|x+ |x| +1，由题意可得，不等式 有解由于|x+ |x|表示数轴上的 x 对应点到 对应点的距离减去它到原点的距离，故 |x+ |x| ， ，故有 +1 ，求得 a3【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题
