1、2016-2017 学年湖北省宜昌市当阳一中高三（上）10 月月考数学试卷 （理科）一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数 所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2对于方程（ ） |x| 2|（ ） |x| |k=0 的解，下列判断不正确的是（ ）Ak 时，无解 Bk=0 时，2 个解C k0$ 时，4 个解 Dk0 时，无解3在ABC 中，已知向量 ， ，则ABC 的面积等于（ ）A B C D4在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4 ，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点
2、，光线从点P 出发，经 BC，CA 反射后又回到点 P（如图） ，若光线 QR 经过ABC 的重心，则 AP 等于（ ）A2 B1 C D5已知 x，y，a，bR +，且 x+y=1，则 + 的最小值是（ ）A （ + ） 2 B + C + Da+b6已知集合 M=x|2x3，N=x|lg（x+2）0，则 MN=（ ）A （2， +） B （ 2，3 ） C （ 2，1 D1，3）7若 x2axb0 的解集是x|2x3，则 bx2ax10 的解集为（ ）A B C D8已知 sin（45+）= ，则 sin 2 等于（ ）A B C D9将奇函数 f（x）=Asin （x+） （A0， 0，
3、 ）的图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ）A2 B6 C4 D310已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，ABC 和DBC 所在平面相互垂直，AB=3 ，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表面积为（ ）A4 B12 C16 D3611直线 x+2ay1=0 与（a 1）xay +1=0 平行，则 a 的值为（ ）A B 或 0 C0 D2 或 012设 p： ，q：x 2+x60，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20
4、 分）13如图是一个算法的程序框图，当输入 x=3 时，输出 y 的结果是 14已知向量 ，| |=3，则 = 15已知集合 M1，0，2，且 M 中含有两个元素，则符合条件的集合 M 有 个16在等差数列a n中，已知 a1=1，d=2，则第 3 项 a3= 三、解答题17已知关于 x 的一元二次函数 f（x）=ax 24bx+1（1）设集合 P=1，2，3和 Q=1，1，2，3，4，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域 内的随机点，求 y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率18已知圆 M
5、的圆心 M 在 x 轴上，半径为 1，直线 ，被圆 M 所截的弦长为 ，且圆心 M 在直线 l 的下方（I）求圆 M 的方程；（II）设 A（0 ，t） ，B （0，t +6） （5t 2） ，若圆 M 是ABC 的内切圆，求ABC 的面积 S 的最大值和最小值19已知矩形 ABCD 中， ，BC=1 以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy（1）求以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的标准方程；（2）过点 P（0，2）的直线 l 与（1）中的椭圆交于 M， N 两点，是否存在直线 l，使得以线段 MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存
6、在，说明理由20如图，在三棱锥 ABCD 中，AD平面 BCD，CB=CD ，AD=DB，P，Q 分别在线段AB，AC 上，AP=3PB，AQ=2QC，M 是 BD 的中点（）证明：DQ平面 CPM；（）若二面角 CABD 的大小为 ，求BDC 的正切值21已知 a，b，c 均为正数，证明： 6 ，并确定 a，b，c为何值时，等号成立22已知圆 C：（x 1） 2+（y 1） 2=2 经过椭圆 ： + =1（ab0）的右焦点 F 和上顶点 B（）求椭圆 的方程；（）过原点 O 的射线 l 与椭圆 在第一象限的交点为 Q，与圆 C 的交点为 P，M 为 OP的中点，求 的最大值2016-2017
7、 学年湖北省宜昌市当阳一中高三（上）10 月月考数学试卷 （理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的共轭复数 所对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出【解答】解：复数 = = =1+2i，复数 z 的共轭复数 =12i 所对应的点在第四象限故选：D2对于方程（ ） |x| 2|（ ） |x| |k=0 的解，下列判断不正确的是（ ）Ak 时，无解 Bk=0 时，2 个解C k0$
8、时，4 个解 Dk0 时，无解【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】令 t=|（ ） |x| |，则 t0， ，方程即 k=t2t ，0再利用二次函数的性质判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：令 t=|（ ） |x| |，则 t0， ，方程即 t2tk=0，即 k=t2t ，0显然，故当 k 时，方程无解，故 A 正确；当 k0 时，方程无解，故 D 正确当 k=0 时，程即 t2t=0，求得 t=0，或 t=1（舍去） ，此时，x=1，故 B 正确当 k0 时， t 有唯一解，且 t0， ，若 t= ，则 x=0，此时方程有一解，故 C 不正确故选：C3在ABC 中，已知向量 ，
9、 ，则ABC 的面积等于（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】由向量模的求法，可得| |、| |，进而由数量积的应用，可得cos ， = ，可得 sinB，由三角形面积公式，计算可得答案【解答】解：根据题意， =（cos18 ，sin18 ） ，易得| |=1，=2（sin27 ，cos27） ，易得| |=2，由数量积的性质，可得 cos ， =2 = ，则 sinB= ，则 SABC = | | |sinB= ，故选 A4在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC=4 ，点 P 是边 AB 边上异于 AB 的一点，光线从点P 出发，经 BC，CA 反射后又回到
10、点 P（如图） ，若光线 QR 经过ABC 的重心，则 AP 等于（ ）A2 B1 C D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】建立坐标系，设点 P 的坐标，可得 P 关于直线 BC 的对称点 P1 的坐标，和 P 关于y 轴的对称点 P2 的坐标，由 P1，Q，R，P 2 四点共线可得直线的方程，由于过 ABC 的重心，代入可得关于 a 的方程，解之可得 P 的坐标，进而可得 AP 的值【解答】解：建立如图所示的坐标系：可得 B（4，0） ，C（0，4） ，故直线 BC 的方程为 x+y=4，ABC 的重心为（ ， ） ，设 P（a，0） ，其中 0a4，则点 P 关于直线 BC
11、的对称点 P1（x，y） ，满足 ，解得 ，即 P1（4，4a） ，易得 P 关于 y 轴的对称点 P2（a，0） ，由光的反射原理可知 P1，Q，R ，P 2 四点共线，直线 QR 的斜率为 k= = ，故直线 QR 的方程为 y= （x+a） ，由于直线 QR 过ABC 的重心（ ， ） ，代入化简可得 3a24a=0，解得 a= ，或 a=0（舍去） ，故 P（ ，0） ，故 AP=故选 D5已知 x，y，a，bR +，且 x+y=1，则 + 的最小值是（ ）A （ + ） 2 B + C + Da+b【考点】基本不等式【分析】本题属于基本不等式常规题型换“ 1”法的应用，求 + 的最小
12、值即求（ + ）（x+y）的最小值【解答】解：由题意知：x+y=1 且 x，y，a，bR + 知： ，+ =（ + ）1 =（ + ）（x+y）=a+b+a+b+2 =（ ） 2故本题答案为：A6已知集合 M=x|2x3，N=x|lg（x+2）0，则 MN=（ ）A （2， +） B （ 2，3 ） C （ 2，1 D1，3）【考点】交集及其运算【分析】解对数不等式可以求出集合 N，进而根据集合交集及其运算，求出 MN【解答】解：N=x|lg（x+ 2）0=1，+ ） ，集合 M=x|2x3，则 MN=1，3）故选 D7若 x2axb0 的解集是x|2x3，则 bx2ax10 的解集为（ ）A
13、 B C D【考点】一元二次不等式的应用【分析】本题求解不等式 bx2ax10 的解集的关键是求出系数 a，b，由于已知不等式x2axb0 的解集是x|2x3，根据一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根的关系，不等式解集的端点即是不等式相应方程的根，由此知道 x2axb=0 两根为 2，3，再由根与系数的关系求出 a，b 的值即可【解答】解：由题设，方程 x2axb=0 的解集为2，3，由韦达定理 a=2+3=5， b=23=6，即 a=5，b= 6，代入 bx2ax10 有 6x2+5x+10，解得 ，故选 C8已知 sin（45+）= ，则 sin 2 等于（ ）A B C D【考点】
14、二倍角的正弦【分析】先根据两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到 sin+cos 的值，然后两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出 sin2 的值【解答】解：sin（+45）=sin cos45+cossin45= （sin +cos）= ，sin+cos= ，两边平方得：1+sin2= ，sin2= 故选 B9将奇函数 f（x）=Asin （x+） （A0， 0， ）的图象向左平移 个单位得到的图象关于原点对称，则 的值可以为（ ）A2 B6 C4 D3【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由函数为奇函数得到 的值，平移后所得函数仍为奇函数求得 的
15、值【解答】解：函数 f（x）=Asin（ x+）是奇函数，f（0）=Asin =0，又 ，=0 则 f（x）=Asin x，把 f（x）=Asin x 的图象向左平移 个单位得到的图象对应的函数解析式为 y=Asin（x+） ，由图象关于原点对称得 f（0） =Asin =0，=6k，kZ 结合选项可知 的值可以为 6故选：B10已知如图所示的三棱锥 DABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，ABC 和DBC 所在平面相互垂直，AB=3 ，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的表面积为（ ）A4 B12 C16 D36【考点】球的体积和表面积【分析】证明 ACAB，可得ABC 的外接圆
16、的半径为 ，利用ABC 和DBC 所在平面相互垂直，球心在 BC 边的高上，设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3=R2=（h） 2，求出球的半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：AB=3 ，AC= ，BC=2 ，AB 2+AC2=BC2，ACAB ，ABC 的外接圆的半径为 ，ABC 和DBC 所在平面相互垂直，球心在 BC 边的高上，设球心到平面 ABC 的距离为 h，则 h2+3=R2=（ h） 2，h=1，R=2，球 O 的表面积为 4R2=16故选：C11直线 x+2ay1=0 与（a 1）xay +1=0 平行，则 a 的值为（ ）A B 或 0 C0 D2 或 0【
17、考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】当 a=0 时，检验两直线是否平行，当 a0 时，由一次项系数之比相等但不等于常数项之比，求出 a 的值【解答】解：当 a=0 时，两直线重合；当 a0 时，由 ，解得 a= ，综合可得，a= ，故选：A12设 p： ，q：x 2+x60，则 p 是 q 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】充要条件；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法【分析】先将分式不等式转化为整式不等式组，解二次不等式及绝对值不等式组成的不等式组，化简命题 p；解二次不等式化简命题 q；判断出 p，q 对应的集合的包含关系，判
18、断出 p 是 q 的什么条件【解答】解：解得1 x1 或 x2 或 x 2即命题 p：1 x1 或 x2 或 x 2x 2+x60，x2 或 x3即命题 q：x2 或 x3x|x2 或 x3x|1x1 或 x2 或 x 2，所以 p 是 q 的必要不充分条件故选 B二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分）13如图是一个算法的程序框图，当输入 x=3 时，输出 y 的结果是 2 【考点】循环结构【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论【解答】解：第 1 次循环，x=1，第 2 次循环，x= 1，1 0，退出循环
19、，y=2，即输出的结果为 2，故答案为：214已知向量 ，| |=3，则 = 9 【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案【解答】解：由 ，得 =0，即 （ ）=0，| |=3， 故答案为：915已知集合 M1，0，2，且 M 中含有两个元素，则符合条件的集合 M 有 3 个【考点】元素与集合关系的判断【分析】由题意，M=1，0，1，2，0，2【解答】解：由题意，M=1，0，1，2，0，2共 3 个故答案为：316在等差数列a n中，已知 a1=1，d=2，则第 3 项 a3= 5 【考点】等差数列的通项公式【分析】直接由已知写出等差数列的通项公式，取 n=3
20、 得答案【解答】解：在等差数列a n中，由 a1=1，d=2，得 an=a1+（n1）d=1 +2（n1）=2n1，第 3 项 a3=231=5故答案为：5三、解答题17已知关于 x 的一元二次函数 f（x）=ax 24bx+1（1）设集合 P=1，2，3和 Q=1，1，2，3，4，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b，求函数 y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域 内的随机点，求 y=f（x）在区间1，+）上是增函数的概率【考点】等可能事件的概率【分析】 （1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是 35，满足条件的事件是函数 f（
21、x）=ax 24bx+1 在区间1，+）上为增函数，根据二次函数的对称轴，写出满足条件的结果，得到概率（2）本题是一个等可能事件的概率问题，根据第一问做出的函数是增函数，得到试验发生包含的事件对应的区域和满足条件的事件对应的区域，做出面积，得到结果【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是 35=15，函数 f（x）=ax 24bx+1 的图象的对称轴为 ，要使 f（x）=ax 24bx+1 在区间1，+）上为增函数，当且仅当 a0 且 ，即 2ba若 a=1 则 b=1，若 a=2 则 b=1，1；若 a=3 则 b=1，1；事件包含基本事件的个数是 1+2+
22、2=5所求事件的概率为 （2）由（）知当且仅当 2ba 且 a0 时，函数 f（x）=ax 24bx+1 在区是间1，+）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为构成所求事件的区域为三角形部分由 得交点坐标为 ，所求事件的概率为 18已知圆 M 的圆心 M 在 x 轴上，半径为 1，直线 ，被圆 M 所截的弦长为 ，且圆心 M 在直线 l 的下方（I）求圆 M 的方程；（II）设 A（0 ，t） ，B （0，t +6） （5t 2） ，若圆 M 是ABC 的内切圆，求ABC 的面积 S 的最大值和最小值【考点】直线与圆相交的性质【分析】 （I）设圆心 M（a，0） ，利用 M 到 l
23、：8x6y 3=0 的距离，求出 M 坐标，然后求圆M 的方程；（II）设 A（0 ，t） ，B （0，t +6） （5t 2） ，设 AC 斜率为 k1，BC 斜率为 k2，推出直线AC、直线 BC 的方程，求出ABC 的面积 S 的表达式，求出面积的最大值和最小值【解答】解：（）设圆心 M（a，0） ，由已知，得 M 到 l：8x 6y3=0 的距离为， ，又M 在 l 的下方，8a 30，8a 3=5，a=1，故圆的方程为（x1） 2+y2=1（）设 AC 斜率为 k1，BC 斜率为 k2，则直线 AC 的方程为 y=k1x+t，直线 BC 的方程为y=k2x+t+6由方程组 ，得 C
24、点的横坐标为 ，|AB|=t+6t=6， ，由于圆 M 与 AC 相切，所以 ， ；同理， ， ，5t 2，2t +31，8t 2+6t+1 4， ， 19已知矩形 ABCD 中， ，BC=1 以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy（1）求以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的标准方程；（2）过点 P（0，2）的直线 l 与（1）中的椭圆交于 M， N 两点，是否存在直线 l，使得以线段 MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （
25、1）由题意可得点 A，B，C 的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得 a，进而根据 b，a 和 c 的关系求得 b，则椭圆的方程可得（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2与椭圆方程联立，根据判别式大于 0 求得 k 的范围，设M，N 两点坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） 根据韦达定理求得 x1+x2 和 x1x2，进而根据若以 MN 为直径的圆恰好过原点，推断则 ，得知 x1x2+y1y2=0，根据 x1x2 求得y1y2 代入即可求得 k，最后检验看是否符合题意【解答】解：（1）由题意可得点 A，B，C 的坐标分别为设椭圆的标准方程是 则 2a=A
26、C+BC，即 ，所以 a=2所以 b2=a2c2=42=2所以椭圆的标准方程是 （2）由题意知，直线 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为 y=kx+2由 得（1+2k 2）x 2+8kx+4=0因为 M，N 在椭圆上，所以=64k 216（1+2k 2）0设 M，N 两点坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） 则 ，若以 MN 为直径的圆恰好过原点，则 ，所以 x1x2+y1y2=0，所以，x 1x2+（kx 1+2） （kx 2+2）=0，即（1+k 2）x 1x2+2k（x 1+x2）+4=0，所以， ，即 ，得 k2=2，经验证，此时=480所以直线 l 的方程为 ，或
27、 即所求直线存在，其方程为 20如图，在三棱锥 ABCD 中，AD平面 BCD，CB=CD ，AD=DB，P，Q 分别在线段AB，AC 上，AP=3PB，AQ=2QC，M 是 BD 的中点（）证明：DQ平面 CPM；（）若二面角 CABD 的大小为 ，求BDC 的正切值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】 （）取 AB 的中点 E，则 EQPC，从而 EQ平面 CPM，由中位线定理得DEPM，从而 DE平面 CPM，进而平面 DEQ平面 CPM，由此能证明 DQ平面CPM（）法 1：推导出 ADCM，BDCM ，从而 CM平面 ABD，进而得到CPM 是二面角 CABD
28、的平面角，由此能求出BDC 的正切值法 2：以 M 为坐标原点，MC，MD，ME 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BDC 的正切值【解答】证明：（）取 AB 的中点 E，则 ，所以 EQPC又 EQ平面 CPM，所以 EQ平面 CPM 又 PM 是 BDE 的中位线，所以 DEPM，从而 DE平面 CPM所以平面 DEQ平面 CPM，故 DQ平面 CPM 解：（）解法 1：由 AD平面 BCD 知，ADCM由 BC=CD，BM=MD，知 BDCM，故 CM平面 ABD 由（）知 DEPM ，而 DEAB，故 PMAB所以CPM 是二面角 CABD
29、的平面角，即 设 PM=a，则 ， ，在 Rt CMD 中， 所以BDC 的正切值为 解法 2：以 M 为坐标原点，MC，MD，ME 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 MC=a，MD=b，则 C（a ，0，0） ，B（0，b，0） ，A （0，b，2b）则 ，设 平面 ABC 的一个法向量，则 即 取 平面 ABD 的一个法向量为 ，所以 ，所以在 Rt CMD 中，所以BDC 的正切值为 21已知 a，b，c 均为正数，证明： 6 ，并确定 a，b，c为何值时，等号成立【考点】基本不等式【分析】证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件
30、，因等号不成立不影响不等号的传递性证法二：先用基本不等式推出 a2+b2+c2ab +bc+ac 与 两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法其本质与证法一同【解答】证明：证法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式得 所以 故 又 所以原不等式成立当且仅当 a=b=c 时，式和 式等号成立当且仅当 时，式等号成立即当且仅当 a=b=c= 时，原式等号成立证法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得所以 a2+b2+c2ab +bc+ac同理 故 所以原不等式成立当且仅当 a=b=c 时，式和 式等号成立，当且仅当 a=b=c， （ab） 2=（bc） 2=（ac） 2=3
31、时，式等号成立即当且仅当 a=b=c= 时，原式等号成立22已知圆 C：（x 1） 2+（y 1） 2=2 经过椭圆 ： + =1（ab0）的右焦点 F 和上顶点 B（）求椭圆 的方程；（）过原点 O 的射线 l 与椭圆 在第一象限的交点为 Q，与圆 C 的交点为 P，M 为 OP的中点，求 的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】 （）在圆（x1） 2+（y 1） 2=2 中，令 y=0，得 F（2，0） ，令 x=0，得 B（0，2） ，由此能求出椭圆方程（）设点 Q（x 0，y 0） ，x 0 0，y 00，则 = =x0+y0，又，设 b=x0+y0，与 联立，得： ，由此能求出 的最大值【解答】解：（）在圆 C：（ x1） 2+（y1） 2=2 中，令 y=0，得 F（2，0） ，即 c=2，令 x=0，得 B（0，2） ，即 b=2，a 2=b2+c2=8，椭圆 的方程为： （）设点 Q（x 0，y 0） ，x 0 0，y 00，则=（1，1）（x 0，y 0）=x0+y0，又 ，设 b=x0+y0，与 联立，得：，令0，得 16b212（12b 28）0，解得2 又点 Q（x 0，y 0）在第一象限，当 时， 取最大值 2 2017 年 1 月 2 日
