1、精锐教育学科教师辅导讲义授课类型T (相似三角形的基本类型。)C （专题方法主题） T （学法与能力主题）授课日期时段教学内容一、同步知识梳理知识点 1：相似证明中的基本模型 IHGFED CBAGF EDCBAE DCBAEDCBAEFDCBAFEDCBAODCBAODCBAHE DCBAEDCBAEDCBAODCBAD CB D BACAEDCBAD CBAG FEDCBAGFEDCBAGFEDCBADEFCBAHPM NFEDCBAGHG FEDCBAEFDCBAFEDCBA知识点 2：相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时
2、再结合等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等如图： 平分 交 于 ，求证： ADBCDBAC 321ED CAB证法一：过 作 ，交 的延长线于 CEAD BE ， 123 ， C ， AD点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型BACDE12证法二；过 作 的平行线，交 的延长线于 BACADE ， 12EB ， D点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型知识点 3：相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题常用的面积法基本模型如下： 图1图“图图”图H DCBA如图： 12ABCDHSBCD图
3、2图“图图”图GH ODCBA如图： 12ABCDHSAOGD图3图“图图”图CDEBA如图： ABDAEDCECSSBADEC 。二、同步题型分析题型 1：与三角形有关的相似问题例 1：如图， 、 是 的边 、 上的点，且 ，求证：DEABCABADCEB.AB解析：例 2：如图，在 中， 于 ， 于 ， 的面积是 面积ABCDCEABCBDE的 4 倍， ，求 的长.6E解析：BAE DCBAED CD CBA题型 2：相似中的角平分线问题例 1：如图， 是 的角平分线，求证：ADBCABDC解析：例 2：已知 中， 的外角平分线交对边 的延长线于 ，求证：ABCBCDABDC解析：例 3
4、：已知： 、 分别为 的内、外角平分线， 为 的中点，求证：ADEABCMDE2ABMC M ED CBA解析：DCBA题型 3： 型结2abc论的 证明例 1：如图，直角 中， ， ，证明： ， ，ABCADBC2ABDC2ABC.2AD解析：BAD C例 2：如图，在 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于 ，交 的延长线于 ，ABCDBACDADEBCF求证： 2F解析：EFD CBA题型 4、三角形内接矩形问题例 1、 已知，如图， 中， ，四边形 为正方形，其中ABC3490BC， ， DEGF在边 上， 在 上，求正方形的边长DE， ， FG， A GF EDCBA解析：三、课堂达标检
5、测检测题 1：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，且 AEEB21，AFDE 于 G 交 BC于 F，则AEG 的面积与四边形 BEGF 的面积之比为（ ）A、12 B、14 C、49 D、23第 1题 图 FEGDCBA第 2题 图 OEDCBA检测题 2、如图，已知 DE BC，CD 和 BE 相交于点 O， 49，则 AEEC 为（ DESOB）A、21 B、23 C、49 D、54检测题 3、在ABC 中，D 为 AC 边上一点，DBCA，BC ，AC 3，则 CD 的长为（ 6）A、1 B、 C、2 D、2 2答案：1、C2、A3、C一、专题精讲 构造相似辅助线 双
6、垂直模型 例 1：在ABC 中，AB= ，AC=4，BC=2 ，以 AB 为边在 C 点的异侧作ABD，使ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长答案：解：情形一：情形二：情形三：例 2：在 ABC 中，AC=BC ， ACB=90，点 M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿着直线MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点求证：MC ： NC=AP： PB答案：证明：方法一：连接 PC，过点 P 作 PDAC 于 D，则 PD/BC根据折叠可知 MNCP2+PCN=90，PCN+CNM=902=CNMCDP=NCM=90PDC MCN MC：CN=PD：DC P
7、D=DA MC：CN=DA：DC PD/BC DA：DC =PA：PB MC：CN=PA：PB方法二：如图，过 M 作 MDAB 于 D，过 N 作 NEAB 于 E由双垂直模型，可以推知PMDNPE，则 ，根据等比性质可知 ，而 MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN， MC： CN=PA：PB例 3：已知，如图，直线 y=2x2 与坐标轴交于 A、B 两点以 AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为 12。求 C、D 两点的坐标。构造相似辅助线A、X 字型 例 4：如图：ABC 中，D 是 AB 上一点，AD =AC，BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F。
8、求证：答案：证明：（方法一）如图延长 AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CM BE=CE，AEB= MEC BEACEM CM=AB，1=B ABCMM =MAD，MCF=ADFMCFADF CM=AB，AD= AC（方法二）过 D 作 DGBC 交 AE 于 G则ABE ADG，CEFDGF ， AD=AC，BE= CE例 5：四边形 ABCD 中，AC 为 AB、AD 的比例中项，且 AC 平分DAB。求证：答案：证明：过点 D 作 DFAB 交 AC 的延长线于点 F，则2= 3 AC 平分DAB1=21=3 AD=DFDEF=BEA， 2=3BEA DEF AD=DF AC 为 A
9、B、AD 的比例中项即又1=2ACDABC例 6：在梯形 ABCD 中，AB CD，AB b，CD a，E 为 AD 边上的任意一点，EFAB，且 EF 交BC 于点 F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当 时，EF= ；(2)当 时，EF= ；(3)当 时，EF= 当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明答案：证明：过点 E 作 PQBC 分别交 BA 延长线和 DC 于点 P 和点 Q ABCD，PQ BC 四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形 PBEFCQ，又 ABb，CDa APPB-ABEF- b，DQDC-
10、QCa-EF例 7：已知：如图，在ABC 中，M 是 AC 的中点，E、F 是 BC 上的两点，且 BEEFFC 。求 BN：NQ：QM答案：解：连接 MF M 是 AC 的中点，EFFC MFAE 且 MF AE BENBFM BN ：BMBE ：BFNE ：MF BEEF BN：BMNE：MF 1:2 BN：NM1:1 设 NEx，则 MF2x，AE4x AN3x MFAE NAQMFQ NQ ：QMAN：MF3:2 BN：NM1:1，NQ：QM3:2 BN：NQ ：QM5:3:2相似类定值问题 例 8：如图，在等边ABC 中，M、N 分别是边 AB，AC 的中点，D 为 MN 上任意一点
11、，BD、CD的延长线分别交 AC、AB 于点 E、F求证： 答案：证明：如图，作 DPAB，DQAC则四边形 MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且DPQ 是等边三角形 BP+CQMN ，DP DQPQ M、N 分别是边 AB，AC 的中点 MN BCPQ DPAB，DQACCDPCFB，BDQ BEC ， DPDQPQ BC AB AB（ ）例 9：已知：如图，梯形 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD 交于 O，过 O 作 EF/AB 分别交AD、BC 于 E、F 。求证： 答案：证明：EF/AB，AB /DC EF/DCAOEACD，DOEDBA ，例:10：如图，在AB
12、C 中，已知 CD 为边 AB 上的高，正方形 EFGH 的四个顶点分别在 ABC 上。求证： 答案：证明：EFCD，EHAB ， ，AFE ADC，CEHCAB ， EFEH例 11：已知，在ABC 中作内接菱形 CDEF，设菱形的边长为 a求证： .答案：证明：EFAC，DEBC ， ，BFE BCA，AED ABC ， EFDEa一线三角等题型：例 12（2010 年绍兴中考）如图，已知在矩形 中， ， 是线段 边上的任意ABCD23BC， PAD一点（不含端点 ），连接 ，过点 作 交 于 AD、 PPEE（1）在线段 上是否存在不同于 的点 ，使得 ？若存在，求线段 与QP之间的数量
13、关系；若不存在，请说明理由；Q（2）当点 在 上运动时，对应的点 也随之在 上运动，求 的取值范围AB解：（1）假设存在这样的点 Q；PEPC，APE+DPC=90，D=90，DPC+DCP=90，APE=DCP，又A=D=90，APEDCP， = ，APDP=AEDC；同理可得 AQDQ=AEDC；AQDQ=APDP，即 AQ（3 AQ）=AP （3AP） ，3AQAQ2=3APAP2，AP2AQ2=3AP3AQ，（ AP+AQ） （APAQ）=3（APAQ ） ；APAQ，AP+AQ=3（2 分）APAQ，AP ，即 P 不能是 AD 的中点，当 P 是 AD 的中点时，满足条件的 Q 点
14、不存在当 P 不是 AD 的中点时，总存在这样的点 Q 满足条件，此时 AP+AQ=3 （1 分）（2）设 AP=x，AE =y，由 APDP=AEDC 可得 x（3x ）=2y，y= x（3 x）= x2+ x= （x ） 2+ ，当 x= （在 0x3 范围内）时，y 最大值 = ；而此时 BE 最小为 ，又 E 在 AB 上运动，且 AB=2，BE 的取值范围是 BE2 （2 分）例 13（2012 年宁夏中考）在矩形 中， ， ， 是 上的任意一点（ 与ABCD23ADPBCP不重合），过点 作 ，垂足为 ， 交 于点 BC、 PEPE（1） 连接 ，当 与 全等时，求 的长；（2）
15、若设 为 ， 为 ，试确定 与 的函数关系式当 取何值时， 的值最xyyxxy大？最大值是多少？（3） 若 ，试求出此时 的长PEBD BP解：（1）APEADE （已知） ，AD=3（已知） ，AP=AD=3（全等三角形的对应边相等） ；在 RtABP 中，BP= = = （勾股定理） ；（2）APPE（已知） ，APB+CPE=CPE+PEC=90，APB=PEC，又B=C =90，RtABPRtPCE， 即 （相似三角形的对应边成比例） ， =当 x= 时，y 有最大值，最大值是 ；（3）如图，连接 BD设 BP=x，PEBD，CPECBD， （相似三角形的对应边成比例） ，即化简得，3
16、x 213x+12=0解得，x 1= ，x 2=3（不合题意，舍去） ，当 BP= 时，PEBD 例 14（2012 年宜宾中考）如图，在 中，已知 ， ，且 ，ABC5AC6BACDEF将 与 重合在一起， 不动， 运动，并满足：点 在边 上沿 到 的DEFABCDEFEB方向运动，且 、始终经过点 ， 与 交于 点EFM（1）求证： ；（2）探究：在 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 的长；D E若不能，请说明理由；（3）当线段 最短时，求重叠部分的面积AM（1）证明：AB=AC，B=C，ABCDEF，AEF=B，又AEF +CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE，A
17、BEECM；（2）能解：AEF =B=C，且AMEC，AMEAEF，AEAM；当 AE=EM 时，则ABEECM，CE=AB=5，BE=BCEC=65=1，当 AM=EM 时，则 MAE=MEA，MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB =CEA，又C=C ，CAECBA， ，CE= ，BE=6 = ；若 AE=AM，此时 E 点与 B 点重合，M 点与 C 点重合，即 BE=0BE=1 或 或 0（3）解：设 BE=x，又ABE ECM， ，即： ，CM= + x= （x 3） 2+ ，AM=5CM （x3） 2+ ，当 x=3 时，AM 最短为 ，又 当 BE=x=3= BC 时，点 E
18、为 BC 的中点，AEBC，AE= =4，此时，EFAC，EM= = ，SAEM=二、专题过关【题 1】 如上图， ， ，垂足分别为 、 ， 和 相交于点 ，ABDCBBDACBE，垂足为 .证明： .EFF1AEF F DCEAB答案：(BF+DF)/DF=AB/EF 1 BF/DF+1=AB /EF(BF+DF)/BF=CD/EF 2 DF/BF+1=CD/EF1 推出 BF/DF=(AB-EF)/EF 代入 2EF/(AB-EF)+1=CD/EF = AB/(AB-EF)=CD /EF= 1- EF/AB =EF/CD = 1= EF(1/AB+1/CD) = 1/EF= 1/AB+1/
19、CD 【题 2】 如图，已知 ，找出 、 、 之间的关系，并证明你的结论./ABEFCDABDSEBCDS答案：1/SBDE =1/SABD+1/SBDC 以 A E C 三点坐高于 BD 三条高依然存在 1 题中关系 共用底边 BD 高的比等于面积比。【题 3】 （2012 年成都中考）如图， 和 是两个全等的等腰直角三角形，ABCDEF， 的顶点 与 的斜边 的中点重合将 绕点90BACEDF BCDEF旋转，旋转过程中，线段 与线段 相交于点 ，线段 与射线 相交于点 PEFAQ（1）如图 ，当点 在线段 上，且 时，求证： ；QAQ（2）如图 ，当点 在线段 的延长线上时，求证： ；并
20、求当CAB时， 两点间的距离 （用含 的代数式表示）92BPaC， P、 a解：连接 PQ，ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF =EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，B=C=45，BPECEQ， = ，BP=a， CQ= ，BE=CE， = ，BE=CE= a，BC=3 a，AB=AC=BCsin45=3a，AQ=CQAC= a，PA=ABBP =2a，在 RtAPQ 中， PQ= = a三、学法提炼1、专题特点：从基本图形入手，能顺利找出解题问题的思路和方法，能帮我们尽快找到添加的辅助线。2、解题方法：
21、寻找适当的辅助线，方法有平行型（ A、 X 型） 、相交线型、双垂型及一线三角等。3、注意事项 ：在解题过程中要注意比例的基本性质的运用，即等积变换、等比代换、等线代换。 一、 能力培养综合题 1：（1）如图 1，点 P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上，一直线过点 P 分别交BA，BC 的延长线于点 Q，S，交 AD，CD 于点 R，T求证： PQPR = PSPT（2）如图 2，图 3，当点 P 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 或 DB 的延长线上时，PQ PR = PSPT 是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证明或说明） ；
22、答案：（1）证明：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，DRP=S， RDB=DBSDRPBSP同理由 ABCD 可证PTDPQB（2）证明：成立，理由如下：在平行四边形 ABCD 中，ADBC，PRD=S， RDP=DBSDRPBSP同理由 ABCD 可证PTDPQB综合题 2：已知：如图，ABC 中，ABAC ，AD 是中线， P 是 AD 上一点，过 C 作 CFAB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F求证：BP 2PEPF 答案：证明: ABAC，AD 是中线， ADBC,BP=CP1=2又ABC= ACB3=4 CFAB3=F, 4=F又EPC= CPFEPC CPF B
23、P2PEPF 即证所求综合题 3：如图，已知ABC 中，AD，BF 分别为 BC， AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于E，交 BF 于 G，交 AC 延长线于 H。求证： DE2=EGEH 答案：证明：DEAB 90 90ADEDBE DE2=AEBE BFAC 90 90 且BEGHEA DE2=EGEH综合题 4：已知如图，P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD、BC、CD的延长线、AB 的延长线分别相交于点 E、F、G 、H .求证： EHFG答案：证明：四边形 ABCD 为平行四边形 ABCD，AD BC1=2，G= H，5=6PA
24、HPCG又3=4APE CPF综合题 5：已知，如图，锐角ABC 中，ADBC 于 D，H 为垂心（三角形三条高线的交点） ；在AD 上有一点 P，且 BPC 为直角求证：PD 2AD DH 。答案：证明：如图，连接 BH 交 AC 于点 E，H 为垂心BEACEBC+BCA=90ADBC 于 DDAC+BCA=90EBC=DAC又BDH =ADC=90BDHADC ，即 BADHCADHBPC 为直角，ADBC PD2BDDC PD2ADDH综合题 6：已知如图，CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点，ED 的延长线交 CA 于F。求证： ACBDFA证明：CD 是 RtABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点 CE=EB=DEB=BDE =FDAB+CAB =90，ACD+CAB=90B=ACDFDA=ACDF=FFDAFCD DACADC=CDB=90， B=ACDACDCBD FDACB即 F综合题 7：如图，在 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD 上，DH BM 且与 AC 的延长线交于点 E.求证：（1）AED CBM；（2） AECDA答案：证明：（1）ACBADC90AACD 90BCM ACD90ABCM同理可得：MDH MBDCMBCDB MBD90MBD
