1、随机值号翁析 第5幸：随机信号通过带通系 统,目录,n 基本概念,l 分析复信号的有具 使得实信号可以很便地表示成复解析信号。 l 为频域分析因果系统搭建了个桥梁 可以简单地表明因果信号频谱的实部和虚部之间的 关系。, t,定义：设 x(t )为实信号，其希尔伯特变换(Hilbert)记,为 H x(t ) :,x (t ) Hx(t ) x(t ) 1,n 正变换与反变换 l 正变换,l 反变换, l 恒等变形,通过替换变量 t 可以将正(反)变换变形为,Hx(t) = x(t) = 1, - t - ,x() = x(t)* 1 d,t,H -1 x t = x t = - 1,x 1 d
2、 = -x t * t - t, -, , x t ,d , ,1 ,x,t ,x t , x t ,d , ,1 ,n 频域分析,X jX sgn 希尔伯特变换频域响应：,1 F j sgn , t, j, 0 0, 0 j 0, ,回,2,0,Hh (),2,回,1,0,Hh (),n 物理意义,Hilbert变换器,Hilbert变换器实际上就是个90o 频段移 90o，负频段移 -90o 。, 0 0 移相器，幅度不变，正,x t ,ht = 1,t,H = 1, H = ,-j, j,n 基本概念,定义：实信号 x(t )与 !x(t )构造的复信号： z(t ) x(t ) j !
3、x(t ) 称为 x(t ) 的解析信号(Analytic signal)或信号预包络 (Pre-envelope)。 由解析信号可以求出原信号，,2,z(t) z* (t ),x(t ) Rez(t ) ,n 解析信号频域分析,l 若 x(t ) 是确定信号,则 z(t ) 也是确定信号 z(t ) x(t ) jx (t ) Z ( ) X ( ) j( j sgn( ) X ( ) X ( ) sgn( ) X ( ) 2 X ( )u( ),l 若 x(t ) 是随机信号,则 z(t ) 也是随机信号，平稳随,机信号的解析信号是平稳随机的，且它们是联合平稳。功率谱为： S ( ) S
4、( ) | 2u( ) |2 4S ( )u( ) z x x解析信号本质上是原信号 的正频率部分，是实信号 的种“简练”形式。,n 个例：信号解调,l 幅度、频率经过调制的信号 x(t ) l 构造其解析信号 z(t ) x(t ) j !x(t ) l 可以读出瞬时幅度、瞬时相位、瞬时频率,n 性质 l 希尔伯特逆变换 H 1 H 证明： H j H j j2 sgn2 ( ) 1 H H x(t ) x(t ) H H x(t ) x(t ), H 1 Hx(t ) x(t ) H 1 , H ,l 90o 相移的全通滤波器。,He j0t je j0t, e j /2e j0t e j
5、 (0t /2),He j0t je j0t e j /2e j0t e j (0t /2),He j0t He j0t ,Hcos0t , cos(0t / 2) sin0t,2,He j0t He j0t ,Hsin0t , sin(0t / 2) cos0t,2,l 希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率，有,或 lim 证：,x t dt ,x t dt,2, 2, ,x t dt lim,x t dt,2, 2,1,1,T 2T,T 2T,T,T,T,T,x 2 t dt ,x t 1 ,X e jt d dt,*, 2 ,X * x t e jt dt d,1,2 , X X d
6、,1 ,2 1, , ,2 ,2,2,X ,d ,x t dt,l 设具有有限带宽 的信号 a(t ) 傅变换为 A( ),假定 0 ，则有 H a(t )cos0t a(t )sin0t H a(t )sin0t a(t )cos0t,证明：,a(t )cos0t,a(t ),t,设,所以 H a t cos w0t a t sin w0t 同理可证 H a t cos0t -a t cos0t,a t F A,x t = a t cos t F 1 A - + A + = X ,0,0 0,2 ,X = F x t = -jsgn X j,= - A - 0 - A + 0 ,2,l 奇偶
7、变换 H奇函数 =偶函数 H偶函数 =奇函数,证：,l,若 y t v t x t ，则 y t v t x t v t x t , u 1,x(t v)dv x (t ), v, , x( t ) x(t ), x ( t ) ,1, u, x( t u)du ,1,x(t u)du,n 性质 l 若随机信号X (t )平稳，则 !X (t ) 平稳，且者联合 义平稳。,可利用随机信号经过线性系统的结论进说明。 l 对于平稳随机信号 X (t )，满 R RX ，S SX X X,t ,X t ,证明：,或 ：R = R * 1 * -1 = R X X X l 对于平稳随机信号 R R X
8、 ，R R X XX XX,x -t = x -t * 1,t,H = 1,2,S = SX H X,= SX ,2,证明：,l,R , R 均为奇函数 XX XX,即 R 0 R 0 0 , XX XX 正交。,x t 与 x t 在同时刻,R RX h XX, R 1 R, ,X,X,R = RX * h- XX,= RX * -,= -R X,1,l 时间自相关函数也为奇函数 R RXT XT,证： R lim 1 T x t x t dt,R R XT R , ,XXT XXT,T 2T,XT,T,T x t x t , 2,1,T 2T T, lim, d d dt , , RXT
9、, 2 =- d ,d d, , R XT, R XT, ,d RXT , ,l 程信号(实因果) x(t) = x(t)u(t) 的频谱的实部与虚 部是域的希尔伯特变换对或者说频谱是解析信号。 傅里叶变换为： X ( ) Re X ( ) j Im X ( ),令：Re X ( ) R( ),Im X ( ) I ( ),X ( ) R( ) jI ( ) F x(t )u(t ),1 R( ) jI ( )* ( ) ,1 ,2 j,1 1 1 1 1 -1 R( ) I ( ) * j I ( ) R( ) * ,2 2, 2 2 , R( ) I( ) *,1,I( ) R( ) *
10、-1,n 只适用于近似窄带的信号, 希尔伯特变换是非因果的 程实现通过信号延迟操作 在定频带范围内满理想特性 参考：https:/ n 部分信号不存在希尔伯特变换 n 对噪声的影响，不具备稳定性 n 法处理非平稳随机信号,n 基本概念,定义： 复(值)随机变量：,两个实变量X与Y 作为实部与虚部n 统计特性 复随机变量统计特性由X与Y 联合概率特性完整描述。 l 均值 mZ mX jmYl 差,Z X jY,2,2, Z E Z mZ, DX DY,l,证：, E Z1 Z2 E X1 jY1 X 2 jY2 ,RZ Z 1 2, RX X RY Y j RX Y RY X 1 2 1 2 1
11、 2 1 2 , E Z1 mZ1 Z2 mZ2 RZ Z mZ mZ 1 2 1 2,CZ Z 1 2, CX X CY Y j C X Y CY X 1 2 1 2 1 2 1 2 , ,Z1Z2,X1 X 2 Y1Y2,X1Y2,Y1 X 2 ,R R R j R R,CZ Z 1 2, CX X CY Y j CX Y CY X 1 2 1 2 1 2 1 2 ,l 对于复随机变量 Z1 和 Z2 独立性： f x1 , y1; x2 , y2 f x1 , y1 f x2 , y2 ,不相关：,正交：,Z1Z2,C 0,1 2,或 RZ Z 0 0,或 Z Z,1 2,RZ Z 1
12、2, mZ mZ 1 2,n 基本概念,定义： 复值随机信号： Z t X t jY t n 统计特性 l 均值,l 差,l 自相关函数,mZ t mX t jmY t , 2 t 2 t 2 t Z X Y,RZ t, t E Z t Z t ,l 自协差函数,l 如果 mZ t mZ，RZ t , t RZ 则 义平稳。,Z t ,l 如果 RZ Z, ，则 Z1 t 和 Z2 t ,联合平稳。,CZ t1 , t2 E Z t1 mZ t1 Z t2 mZ t2 , RZ t1 , t2 mZ t1 mZ t2 , ,CZ t, t Z,2 t ,t, t RZ Z,1 2,1 2,l
13、对于义平稳信号 Z (t ) 满,RZ RZ 0 CZ CZ 0 n 解析过程 设 X (t )为实随机过程，且为义平稳,解析信号：,RZ 0 0实数,R F S Z Z, ,Z t X t jX t ,l,l,证：,mZ mX jmX ,m m h d m H 0 X X X,RZ t, t 2RX 2 jR X ,RZ t, t E X jX X t jX t , RX RX j RXX RXX , R RX , X,R R X, R , ,XX,XX, RZ 2RX 2 jR X ,l,S 2 S j jS, sgn ,Z,X,X, 0, 2 SX SX 4SX u ,SX ,4u ,S
14、Z ,4,n 带通信号,定义： 带通信号(Band signal): X ( f ) 只在某个有限的区间 ( f1 , f2 ) 上非零，其中带宽为 f f2 f1 ，中频率(通 信载波频率) fc 。 窄带信号(Narrow-band signal)：带宽远远小于中,频率的带通信号 | f2 f1 |=,fc 。,n 带通信号的解析信号,对于带通信号 x(t ) 其解析信号为,z(t ) x(t ) jx (t ) 。,其中,解析信号的频域部分为原信号正频域部分的两倍。,z(t ) z* (t ),x(t ) Re(z(t ) ,2,n 复包络 带通信号 x(t ) 复包络 a(t ) +载
15、频 fc 。,x(t ) Rez(t ) Re x (t )e j 2 fct ,L,x (t )可能取复值 i(t ) jq(t ) a(t )e j ( t ),L,x(t ) Re a(t )e j0t Re r(t )e j t e j0t , Re r(t )e j0t t r(t )cos t (t ),0, , , ,x(t ) Re a(t )e j0t Re i(t ) jq(t )e j0t Re i(t ) jq(t )cos0t j sin0t i(t )cos0t q(t )sin0t,同相与正交分量：i(t ) 与 q(t ) 包络与相位分量：r(t ) 与 (t
16、),它们之间的关系是：,带通信号主体上是正弦波，包络随 r(t ) 缓慢波动，相 位随 (t )缓慢“抖动”。,i 2 (t ) q2 (t ),r(t ) , i(t ) r(t )cos (t ),与 q(t ) (t ) arctan,q(t ) r(t )sin (t ),i(t ),n 调制与解调,i(t )与q(t) x(t )称为调制(Modulation) x(t ) i(t )cos0t q(t )sin0t x(t ) i(t )与q(t )称为解调(Demodulation) i(t ) LPF x(t ) 2cos0t q(t ) LPF x(t ) 2sin0t,n
17、带通随机信号平稳性,实带通信号义平稳的条件是 i(t )与 q(t )满 Ri ( ) Rq ( ) Riq ( ) Rqi ( ) 证： x(t ) i(t )cos0t q(t )sin0t E x(t ) Ei(t )cos0t - Eq(t )sin0t 0 E x(t ) x(t ) Ri ( )cos0 (t )cos0t Rq ( )sin0 (t )sin0t Riq ( )cos0 (t )sin0t Rqi ( )sin0 (t )cos0t,三角函数积化和差, Ri ( ) Rq ( )cos0 (2t ) Riq ( ) Rqi ( )sin0 Riq ( ) Rqi
18、( )sin0 (2t ) /2 Rx (t , t ) Ri ( )cos0 Rqi ( )sin0 n 平稳带通信号的矩特性 E x(t ) Ei(t )cos0t Eq(t )sin0t 0Rx (t , t ) Ri ( )cos0 Rqi ( )sin0,Rx (t , t ) Ri ( ) Rq ( )cos0,n 性质1,Riq ( ) Rqi ( ) Siq ( ) Sqi ( ) Riq ( ) E i(t )q(t ) E q(t )i(t ) Rqi ( ) Riq ( ) l 互相关函数是奇函数Riq (0) Ei(t )q(t ) 0即，i(t ) 与 q(t ) 在
19、同个时刻正交。 l 为了 x(t ) 义平稳，两路分量必须功率相同。 Ri ( ) Rq ( ) Si ( ) Sq ( ),n 性质2,由于 z(t ) a(t )e j0t R ( ) R ( )e j0 z a Sz ( ) Sa ( 0 ),R ( ) E Z t Z * t , E a t e j0 t a* t e j0t , R ( )e j0,Z,a, 2, 2 2 2 a x,z,x(t ) i(t )与q(t )称为解调(Demodulation),i(t ) LPF x(t ) 2cos0t Rqi ( ) LPF-2Rx ( )sin0 ,Rx ( ) Ri ( )co
20、s0 Rqi ( )sin0 Ri ( ) LPF2Rx ( )cos0 q(t ) LPF x(t ) 2sin0t,n 功率谱和互功率谱 l 功率谱,S ( ) S ( ) Sx ( 0 ) Sx ( 0 ),| | 0 其他,0,i q,2cos0 2 ( 0 ) ( 0 ) Ri ( ) LPF2Rx ( )cos0 ,( ) jSx ( 0 ) Sx ( 0 ),| | 0 其他,S ( ) S,0,qi,iq,l 互功率谱,2sin0 j2 ( 0 ) ( 0 ) Rqi ( ) LPF-2Rx ( )sin0 ,0,0, 0,N 0 2,W,零均值带通白斯噪声功率谱，如图(a)所
21、示， Sx ( ) Si ( ),(a) (b)则其同相与正交分量的功率谱如图(b)所示，且分量独 立。,n 带通斯噪声,证：,利用功率谱、互功率谱的关系易知，,Siq ( ) Sqi ( ) 0 进得到，,S ( ) S ( ) N0,| | W / 2 q其他, 0,i q,N sinW / 2 R ( ) R ( ) 0 ,Riq ( ) Rqi ( ) 0,i q,n 基本结论小结,l 带通信号的表达式： x(t ) i(t )cos0t q(t )sin0t r(t ) cos0t (t ) Rez(t ) Re a(t )e j0t ,l,l 两个分量信号满以下特征保证 x(t )
22、 平稳。 Ri ( ) Rq ( ), Riq ( ) Rqi ( ) i(t )与q(t )在同一时刻正交,Ex(t) Ei(t )cos0t Eq(t )sin0t 0 Rx (t , t ) Ri ( )cos0 Rqi ( )sin0,l 复信号 a(t ) 与 z(t ) 之间的关系，,R ( ) R ( )e j0 z al 功率(或差)之间的关系，,l 分量与带通信号的相关函数的关系， Ri ( ) LPF2Rx ( )cos0 Rqi ( ) LPF-2Rx ( )sin0 l 有关信号的功率谱、互功率谱的关系， SZ ( ) 4Sx ( )u( ) 4Sx ( ), 2, 2
23、 2 , 2 i q z, 2 2 2 a x,x,S ( ) S ( ), S ( ) S ( ) S ( ) z a 0 x x x,n 窄带斯信号,对于平稳的窄带斯信号X (t ) ，X t N 0, 2, 其复,包络为 X L (t ) AC (t ) jAS (t ) n 窄带斯的包络的维概率分布,X, X t AC t cos0t AS t sin0t X t AC t sin0t AS t cos0t, AC t X t cos0t X t sin0t AS t X t sin0t X t cos0t,X (t )高斯，X (t )高斯 A (t ), A (t )高斯分布 N
24、0, 2 C S X,n 窄带斯的包络和相位的维概率分布,l,AC (t )与AS (t )在同一个时刻正交 Ac ( t ), AS (t )高斯 在同一个时刻不相关互相独立,f a , a ;t, t f a f a,a 2 a,2 ,2 exp ,2 2,1, 2 ,AC AS,AC Ct AS,Ct St,St,Ct St,X,X, ,f A at ,t , At ,A2 t A2 t C S,A t t arctan S,AC t ,由 , AC t At cos t AS t At sin t ,aCt,aCt,at t aSt aSt,t,at t,J , a,f a , J f
25、 a , a,a2,a2,exp 2 2 ,exp 2 2,a2, 2 2,exp 2 2,AC AS 1,1,2 ,2 ,A,t t,Ct,St,Ct,St, at,X ,X ,X,X,t,t,X,X ,a,通过雅可比变换,l,包络满瑞利分布。 f t ,l,f A at ,f A at ,f A at ,t dt,2,0,a2,2 exp 2,2 x , at 0, 0 t 2, others,0,t,t,x, a, ,f t f A at ,t dat,0,相位满均匀分布。 l A(t )与(t )的关系,在同时刻，窄带斯过程的包络和相位是互相独 立的随机变量。不同时刻不定独立。,f t
26、 ,f A at dat,0 2 ,a2,2 2, 2,0,0,exp dat X ,2,1,2,1,2,t,t,X,t,a,) = f A at f ft ,Q f A (at , ft,n 说明,随机相位余弦信号受加性窄斯扰后有以下特点,l 当SNR低时，合成信号包络近似瑞利分布；相位近 似均匀分布。l 当SNR时，包络近似斯分布，相位主要集中在 信号相位附近(即信号相位占主导)，相位在很小范 围内( 0.1rad )近似斯分布。,n 窄带斯信号特点,l,l AC t 与AS t 在同时刻是正交、不相关、相互 独立的 l 若 x t 的功率谱关于0 对称，则 AC t 与 AS t 处处正交、不相关、相互独立。 l 窄带斯过程包络是瑞利分布，相位是均匀分布。 l 同时刻，窄带斯过程的包络和相位统计独立 的。,AC t 、AS t 高斯分布 N 0, X 2,
