1、1.2.2 组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组mnA合数公式进行计算。情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课 课时安排：2 课时 内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列
2、问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二
3、步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过
4、程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在1m第二类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种不同的方法那么完成这件事共有 2mnm种不同的方法1nN2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步1有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事有 种2mnm2nNm不同的方法 mnC3排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的nmn顺序排成一列，
5、叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列4排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取n出 元素的排列数，用符号 表示mmnA5排列数公式： （ ）(1)2(1)n ,nNm6 阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘规定 ! 0!17排列数的另一个计算公式： = mnA!()8.提出问题： 示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例 1 中
6、不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列” ，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出nmnn个元素的一个组合m说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同例 1判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三
7、人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合2组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素nmnn中取出 个元素的组合数用符号 表示mnC3组合数公式的推导：（1）从 4 个不同元素 中取出 3 个元素的组合数 是多少呢？,abcd34C启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 可以求得，故我们34A可以考察一下 和 的关系，如下：34CA组 合 排列d
8、cbbcdcbcd aaa,由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数，可以分如下两步： 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有 个； 对每一个组合34A 4C的 3 个不同元素进行全排列，各有 种方法由分步计数原理得： ，所以， 3A34A334A（2）推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 ，可以分如下两步：mn 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ；nC 求每一个组合中 m 个元素全排列数 ，根据分步计数原理得： AmnAC（3）组合数的公式： (1)2(1)!mnAnC或 )!(
9、n ),mN且规定: .01nC三、讲解范例：例 2用计算器计算 710解：由计算器可得例 3计算：（1） ； （2） ； 47C710（1）解： 35；65!（2）解法 1： 12070986547解法 2： 120!3C例 4求证： 1mnmn证明： )!(mnC1(1)!)!mn ()!)()!nm !()m 1nnC例 5设 求 的值,Nx32132xx解：由题意可得： ，解得 ，24x ， 或 或 ，x2x3x当 时原式值为 7；当 时原式值为 7；当 时原式值为 112 4x所求值为 4 或 7 或 11例 6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按
10、照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C 手 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从
11、17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有 种选法；17C第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有 种选法1所以教练员做这件事情的方法数有=136136（种）.17C例 7 （1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段共有（条）.210945C(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就
12、是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段共有（条）.2109A例 8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有= 161700 （种）.10982C(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有12C种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽
13、法有298=9506(种). 298C(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 种，因此根据分类加法计数原理，抽出298C的 3 件中至少有一件是次品的抽法有+ =9 604 （种） . 1298C198解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 1098说明：“至少” “至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
14、变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选； （6）甲、乙、丙三人至少 1 人当选；例 9 （1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？解： 90242C（2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成 2 类：第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有 中选法；25460C第二类
15、 3 名男生和 1 名女生参加，有 中选法31540C依据分类计数原理，共有 100 种选法错解： 种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多215460C例 104 名 男 生 和 6 名 女 生 组 成 至 少 有 1 个 男 生 参 加 的 三 人 社 会 实 践 活 动 小 组 ， 问 组 成 方 法 共 有 多 少 种 ？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2 女，分别有 ， ，34C162，2614C所以，一共有 + + 100 种方法34162C264解法二：（间接法） 0310四、组合数的两个性质组合数的性质 1： mnC一般地，从 n 个不同
16、元素中取出 个元素后，剩下 个元素因为从 n 个不同元素中取出 m 个nm元素的每一个组合，与剩下的 n m 个元素的每一个组合一一对应，所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，等于从这 n 个元素中取出 n m 个元素的组合数，即： 在这里，主要体现：mC“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明： )!()!()!(Cmn 又 ，!n mnC说明：规定： ；10n等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当 时，计算 可变为计算 ，能够使运算简化.2mnmnC例如 =2002；201C2010C 或 ynxyx2组合数的性质 2： + mn11mn一般地，从 这 n
17、+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为,a mnC1两类：一类含有元素 ，一类不含有 含有 的组合是从 这 n 个元素中取出 m 1 个111a32,a元素与 组成的，共有 个；不含有 的组合是从 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的，1a1mnC1a132,a共有 个根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳mnC思想， “含与不含其元素”的分类思想证明： )!1()!(!1 nnn )!1(mnmC + mnC11n说明：公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与大的相同的一个组合数；此
18、性质的作用：恒等变形，简化运算 例 11一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球，（1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1） ,或 ， ；（2） ；（3） 568C87C3217357C例 12 （1）计算： ；6958473（2）求证： + + nm21nm2解：（1）原式 ；456564899102CC证明：（2）右边 左边1212()()nnnnmmmmC例 13解方程：（1） ；（2）解方程： 313xx 3320xxxA解：（1）由原
19、方程得 或 ， 或 ，145又由 得 且 ，原方程的解为 或2xN8xNx上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 和 代入检验,这样运算量小得多.4x5（2）原方程可化为 ，即 ， ，23310xxCA53310CA()!(3)!210xx ，10()!()!x ，解得 或 ，210x4x3经检验： 是原方程的解 4例 14证明： 。pnmpnmC证明：原式左端可看成一个班有 个同学，从中选出 个同学组成兴趣小组，在选出的 个同学中，nn个同学参加数学兴趣小组，余下的 个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在p个同学中选出 个同学参加数学兴趣小组，在余下的 个同学中选出 个同学参
20、加物理兴趣pmpn小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例 15证明： （其中 ） 。10mnnCnmnC0证明：设某班有 个男同学、 个女同学，从中选出 个同学组成兴趣小组，可分为 类：男1m同学 0 个，1 个， 个，则女同学分别为 个， 个，0 个，共有选法数为1 。又由组合定义知选法数为 ，故等式成立。1mnnC0mn mn例 16证明： 。321nnC12n证明：左边= = ，n 3121nnCCn1其中 可表示先在 个元素里选 个，再从 个元素里选一个的组合数。设某班有 个同学，选出若干inC1 ii人（至少 1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选
21、法按取到的人数 分类（ ） ，i，2in则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有 种选法，再决定剩下的 人是否参加，每n1n人都有两种可能，所以组员的选法有 种，所以选法总数为 种。显然，两种选法是一致的，故左12n 12边=右边，等式成立。例 17证明： 。3221nnC22)1(nn证明：由于 可表示先在 个元素里选 个，再从 个元素里选两个（可重复）的组iii1ii合数，所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有种选法；若组长和副组长不是同一个人，
22、则有 种选法。共有 +12n 2)1(n12n2)(n种选法。显然，两种选法是一致的，故左边 =右边，等式成立。2)(n例 18第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支球队有幸参加，他们先分成 8 个小组循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强） ，这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？答案是： ，这题如果作为习题课应如何分析642824C解：可分为如下几类比赛：小组循环赛：每组有 6 场，8 个小组共有 48 场；八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、
23、二名组成 16 强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出 8 强，共有 8 场；四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8 强中每两个队比赛一场，可以决出 4 强，共有 4 场；半决赛：根据抽签规则，4 强中每两个队比赛一场，可以决出 2 强，共有 2 场；决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名 共有 2 场.综上，共有 场64282C五、课堂练习：1判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2 名同
24、学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ）7 AB1C7D63如果把两条异面直线看作“一对” ，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） 对 对 对 对15530204设全集 ，集合 、 是 的子集，若 有 个元素， 有 个元素，且 ，,UabcdABUABABa求集合 、 ，则本题的解的个数为 （ ） A2B21C7D5从 位候选人中选出 人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法66从 位同学中选出 人去参加座谈会，有 种不同的选法7圆上有 10 个点：（1）过每 2 个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形8
25、 （1）凸五边形有 条对角线；（2）凸 五边形有 条对角线n9计算：（1） ；（2） 15C346810 个足球队进行单循环比赛， （1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则,ABDE冠、亚军的可能情况共有多少种？ 11空间有 10 个点，其中任何 4 点不共面， （1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？12壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13写出从 这 个元素中每次取出 个的所有不同的组合,abcde54答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 3
26、0 6. 15 7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2） (3)/2n9. 455； 10. 10； 20711. ； 3102C410212. 44513. ； ； ； ； ,abcd,abce,abde,acde,bcde六、小结 ：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 学生探究过程：（完成如下表格）名 称 排 列 组 合定义 种数 符号 计算公式关系 性质 ，七、课后作业： 八、板书设计（略） 九、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生名称内容分类原理 分步原理定 义相同点不同点
