1、必修 1 第一章 集合与函数概念1.1集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2 ）常用数集及其记法表示自然数集， 或 表示正整数集， 表示整数集， 表示有理数集， 表示实数集.NNZQR（3 ）集合与元素间的关系对象 与集合 的关系是 ，或者 ，两者必居其一.aMaaM（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： | 具有的性质，其中 为集合的代表元素.xx图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做
2、无限集.不含有任何元素的集合叫做空集( ).【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程 的所有实数根组成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整数.2(3)0x解：（1）用描述法表示为： ；用列举法表示为 .2|(3)0xRx0,13（2）用描述法表示为： ；用列举法表示为 .7Z3,456【例 2】用适当的符号填空：已知 ， ，则有：|,AkZ|,BxmZ17 A； 5 A； 17 B.解：由 ，解得 ，所以 ；由 ，解得 ，所以 ；317kk1273k5A由 ，解得 ，所以 .6m3Z7【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P6 练习题 2， P13 A 组题 4
3、）（1）一次函数 与 的图象的交点组成的集合； （2）二次函数 的函数值组yx26yx 24yx成的集合；（3）反比例函数 的自变量的值组成的集合.解：（1） .（2 ） .（3 ） .3(,)|(1,4)26yx2|4|4yxy2|0xyx点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为 ，也注意对比1,4（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例 4】已知集合 ，试用列举法表示集合 A2|1xaA有 唯 一 实 数 解解：化方程 为： 应分以下三种情况：21xa()0方程有等根且不是 ：由 =0，得 ，此时的
4、解为 ，合94a12x方程有一解为 ，而另一解不是 ：将 代入得 ，此时另一解 ，合2xa12x方程有一解为 ，而另一解不是 ：将 代入得 ，此时另一解为 ，合22 ABBAABABA B C D综上可知， 9,24A点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称 记号 意义 性质 示意图子集BA（或 )A 中的任一元素都属于 B (1)A A(2)(3)若 且B，则C(4)若 且A，则BA(B)或B A真子集A B（或 B A），且 B 中至少有一元素不属于 A（1 ） （A 为非空子
5、集）(2)若 且，则CB A集合相等 ABA 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)（7）已知集合 有 个元素，则它有 个子集，它有 个真子集，它有 个非空子集，它(1)n2n21n21n有 非空真子集.2n【例 1】用适当的符号填空：（1） 菱形 平行四边形 ； 等腰三角形 等边三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.2|xR解：（1） ， ；（2）=， ， ， .【例 2】设集合 ，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（ 1, ,2| |nxnZZ）.解：简单列举两个集合的一些元素， ， ，313,0,2231,2易知 B A，故答案选 A
6、另解：由 ，易知 B A，故答案选 A21,|nxBZ【例 3】若集合 ，且 ，求实数 的值.|60,|10MNxaNMa解：由 ，因此， .（i）若 时，得 ，此时， ；2603或 2,3M0aNM（ii）若 时，得 . 若 ,满足 ，解得 .a1Na或 123或故所求实数 的值为 或 或 .23点评：在考察“ ”这一关系时，不要忘记“ ” ，因为 时存在 . 从而需要分情况讨ABAB论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A=a,a+b,a+2b，B =a,ax,ax2. 若 A=B，求实数 x 的值.解：若 a+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0，即 a
7、=0 或 x=1.2abx当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去.若 2ax2-ax-a=0.bx因为 a0，所以 2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x +1)=0. 又 x1，所以只有 .1经检验，此时 A=B 成立. 综上所述 .2点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.【1.1.3】集合的基本运算（8 ）交集、并集、补集名称 记号 意义 性质 示意图交集 AB且|,xA（1 ） A（2 ） （3 ） BBA并集 AB或|,xA（1 ） A（2 ） （3 ） BBA补集 UA|,
8、xA且（1 ） ()U（2 ）（3） ()()UUBA（4） A【例 1】设集合 .,|15,|39,()UURAxBxAB求 解：在数轴上表示出集合 A、 B，如右图所示：，|35ABx，(),9UC或【例 2】设 ， ，求：|6Zx1,23,456C（1） ； （2） .()A解： .6,54,3,0,45,6（1）又 ， ；BB（2）又 ，得 .1,6C (),54,32,10A .()A 2,1【例 3】已知集合 ， ，且 ，求实数 m 的取值范围.|4x|xmAB解：由 ，可得 .BB在数轴上表示集合 A 与集合 B，如右图所示：由图形可知， .4m点评：研究不等式所表示的集合问题，
9、常常由集合之间的关系， 得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例 4】已知全集 ， ， ，求 ， ，*|10,UxN且 2,458A1,358B()UCAB()U， ，并比较它们的关系. ()UCAB()CAB解：由 ，则 .,2345,8()6,79UC由 ，则 (),3U由 ， ，1,679U2则 ，(),.34,CAB由计算结果可以知道， ，()()UUCABA.()U另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究 与 ，在理解的基础记住()()C()()UUCBA此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.例 5设集合 ， .|
10、40,AxaR|140Bx（1）求 ， ；B（2）若 ，求实数 a 的值；（3）若 ，则 的真子集共有 个, 集合 P 满足条件 ，写出所有可a ()ABP()AB能的集合 P.解：（1） .当 时， ，则 ， ；1,44A1,4B4当 时， ，则 ， ；当 且 时， ，则A1,Ba,a， .,ABa（2）若 ，由上易知 或 .a（3）当 时， ， ，其真子集有 7 个. 5,5,45，则满足 的集合 P 有： .441,P1,45【例 1】设集合 ，若 ，求实数 的值.2,9,ABa9ABa解：由于 ，且 ，则有：2a当 解得 ，此时 ，不合题意，故舍去；29 a 时 ， 5 =4, 5=9
11、, 04A ， 当 时，解得 . 3 或 不合题意，故舍去；3 =4, 9,2AB 时 ， ， ，合题意.7 8, ， ， ， -2 4 m xB A 4 m xA B-1 3 5 9 x所以， .3a 【例 2】设集合 ， ，求 , .（教材 P14 |(3)0,AxaR|(4)10BxABB 组题 2）解： .1,4当 时， ，则 ， ；3a1,4BA当 时， ，则 ， ；,31当 时， ，则 ， ；A,4B当 且 且 时， ，则 ， .14aa,3aAB点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分
12、析，不多不少是分类的原则.【例 3】设集合 A = | ， B = | ， ，若 A B=B，求实数x20x22(1)0xR的值a解：先化简集合 A= . 由 A B=B，则 B A，可知集合 B 可为 ，或为0，或 4 ，或 .4,4,0(i)若 B= ，则 ，解得 ；2(1)()aa(ii)若 B，代入得 =0 =1 或 = ，01当 =1 时，B=A，符合题意；a当 = 时，B=0 A，也符合题意1(iii)若 4 B，代入得 =7 或 =1，2870aa当 =1 时，已经讨论，符合题意；当 =7 时，B=12，4，不符合题意综上可得， =1 或 1点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合
13、间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 【例 4】对集合 A 与 B，若定义 ，当集合 ，集合|,xAB且 *|8,AxN时，有 = . （由教材 P12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补集|(2)5(6)0Bxx为 ”而拓展）,UC且解：根据题意可知， ，1,2345,6780,256由定义 ，则|x且.1,3478A点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创
14、新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从 A 中排除 B 的元素. 如果再给定全集 U，则 也相当于 .AB()UCB【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1 ）含绝对值的不等式的解法不等式 解集|(0)xa|xa|或|,|(0)axbcc把 看成一个整体，化成 ，axb|xa型不等式来求解|(0)（2 ）一元二次不等式的解法判别式 24bac000二次函数 2(0)yx的图象O =OL O一元二次方程20()axbca的根21,24bacx（其中 12)x12bxa无实根2()的解集或1|x2|x2R20()axbca的解集12|x1.2函数及其表示【1.
15、2.1】函数的概念（1）函数的概念设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个数 ，在集合ABfAx中都有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则()fx B）叫做集合 到 的一个函数，记作 f :fAB函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2 ）区间的概念及表示法设 是两个实数，且 ，满足 的实数 的集合叫做闭区间，记做 ；满足,ababxbx,ab的实数 的集合叫做开区间，记做 ；满足 ，或 的实数 的集合叫xx(,)abxx做半开半闭区间，分别记做 ， ；满足 的实数 的集合
16、分别记做,),xx,)(,(ab注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须|xa(,)abbb（3 ）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 是整式时，定义域是全体实数()fx 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数()fx 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 中， tanyx()2kZ零（负）指数幂的底数不能为零若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数()f的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，
17、其复合函数 的()fx,ab()fgx定义域应由不等式 解出()agxb对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4 ）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函
18、数的值域或最值判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程()yfxyx，则在 时，由于 为实数，故必须有2()()0ayxbc0ay,，从而确定函数的值域或最值4()y不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【例 1】求下列函数的定义域： （1 ） ；（2） .1yx312xy解：（1）由 ，解得 且 ，20x3所以原函数定义域为
19、.(,3)(,)(,)（2）由 ，解得 且 ，31xx9所以原函数定义域为 .3,9)(,)【例 2】求下列函数的定义域与值域：（1） ； （2） .354xy2yx解：（1）要使函数有意义，则 ，解得 . 所以原函数的定义域是 .540x 5|4x，所以值域为 .3813()23054 4xxy x 3|y（2） . 所以原函数的定义域是 R，值域是 .2294 9(,【例 3】已知函数 . 求：（1 ） 的值； （2） 的表达式 ()xf()f()f解：（1）由 ，解得 ，所以 .12313（2）设 ，解得 ，所以 ，即 .xt1tx()tft()xf点评：此题解法中突出了换元法的思想.
20、这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数 .2(),fxR（1）求 的值；（2）计算： .1()f 11(1)2(3)4()()234ffff解：（1）由 .22222()xxxfx（2）原式 1117(1)()(3)(4()32ffff点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.例 5已知函数 ， 同时满足： ； ， ，fxg ()gxygyfxy1)f(0)f，求 的值.(1)f(0),()g解：令 得 . 再令 ，即得 . 若 ，令 时，得y22(0)fy00,(g1xy不合题意
21、，故 ； ，即 ，所以 ；那么f 11()1()f2)()， .()()f 21)1ggf【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 、 是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中任何一个元素，在集合 中都有ABfAB唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）叫做集合 到BfA的映射，记作 :f给定一个集合 到集合 的映射，且 如果元素 和元素
22、对应，那么我们把元素AB,aAbab叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象ba【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积 V 以 x 为自变量的函数式是 _，这个函数的定义域为_ 解：盒子的高为 x，长、宽为 ，所以体积为 V . 2x 2()ax又由 ，解得 .20a a所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是 ，定义域为 .2()x |02ax【例 2】已知 f(x)= ，求 ff(0)的值.32,1()解： ， f(0)= .又 1， 0,1)332 f( )=( )3+( )-3=2+ = ，即 ff(
23、0)= .32255【例 3】画出下列函数的图象：（1） ； （教材 P26 练习题 3）|yx（2） . 124|解：（1）由绝对值的概念，有 .2,|xy所以，函数 的图象如右图所示.|yx（2） ，3,1|1|24|52,x所以，函数 的图象如右图所示. |yx点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数 的函数值表示不超过 x 的最大整数，例如 ， ，当()f 3.542.1时，写出 的解析式，并作出函数的图象. (2.5,3xx解： . 函数图象如右：,25110(),23,f
24、xx点评：解题关键是理解符号 的概念，抓住分段函数的m 对应函数式.1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 定义 图象 判定方法如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x 2,当x1f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数y=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数 ，令 ，若 为增， 为增，则 为增；()yfgx()ugx()yfu()gx()yfgx若 为减， 为减，则 为增；若 为增， 为减，则()yfuffu为减；若 为减， 为增，则 为减gx()yf()x()yx（2 ）打“”函数 的图象与性质()0afx分别在 、 上为增函数，分别在 、 上为减函数()fx(,a,),0)a(,（3 ）最大（小）值定义一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：（1）对于任意的 ，都有()yfxIMxI；（2）存在 ，使得 那么，我们称 是函数 的最大值，记作()fxM0I0()fx()fy xo
