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高中数学人教a版选修(2—2)第二章2.1合情推理与演绎推理测试题(含解析答案).doc

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1、 高中数学人教 A 版选修(22)第二章 2.1 合情推理与演绎推理测试题(含解析答案)一、选择题 1下列符合三段论推理形式的为( )A如果 pq,p 真,则 q 真 B如果 bc,ab,则 acC如果 ab,b c,则 ac D如果 ab,c0,则 acbcB 解析:由三段论的推理规则可以得到 B 为三段论. 2类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列 性质,你认为比较恰当的是( )各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;各面都是面 积相等的三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等A B C D

2、C 解析:由类比原理和思想, 都是合理、恰当的. 3下面使用类比推理恰当的是( )A “若 a3b3,则 ab”类比推出“若 a0b0,则 ab”B “(ab)cacbc”类比推出“ ”a bc ac bcC “(ab)cacbc”类比推出“ (c0)”a bc ac bcD “(ab)na nbn”类比推出“( ab) na nb n”C 解析:由类比推理的特点可知 . 4给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集):“若 a,bR,则 a b0ab”类比推出“若 a,bC ,则ab0ab” ;“若 a,b,c,dR ,则复数 abicdi ac,bd”类比推出“

3、若a,b, c,dQ ,则 a cd a c,bd” ;2 2若“a,bR,则 a b0ab”类比推出“若 a,bC ,则ab0ab” 其中类比结论正确的个数是( )A0 B1 C2 D3C 解析:正确, 错误因为两个复数如果不全是实数,不能比较大小. 5已知b n为等比数列,b 52,则 b1b2b3b4b5b6b7b8b92 9.若a n为等差数列,a5 2,则a n的类似结论为( )Aa 1a2a3a92 9 Ba 1a 2a 3a 92 9Ca 1a2a3a929 Da 1a 2a 3a 929解析: D 根据等差数列中“若 mnpq( m、n、p、qN *),则 ama na pa

4、q”,等比数列中“若 mnpq( m、n、p、qN *),则 amana paq”,可得a1a 2 a 3a 929.6已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式 S ,可推知扇形底 高2面 积公式 S 扇 等于( )A. B. C. D不可类比r22 l22 lr2解析:C 可将扇形的弧长与三角形的底边相类比,将扇形的半径与三角形的高相类比7定义 A*B,B *C,C*D,D*B 分别对应下列图形:那么下列图形中,可以分别表示 A*D,A*C 的是( )A B C D解析 C 依据条件可知: A 为 、B 为 、C 为、D 为 ,A*D,A*C 分别对应,.8如图是网络工作者用来

5、解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 一行;数字 2,3 出现在第二行;数字 6,5,4(从左到右) 出现在第三行; 数字 7,8,9,10 出现在第四行,依此类推数字 2 011 出现在( )A第 63 行,从左到右第 5 个数 B第 63 行,从左到右第 6 个数C第 63 行,从左到右第 7 个数 D第 63 行,从左到右第 8 个数解析 B 从第 1 行到第 63 行共有数字 2 016,依据蛇形模型的规律,631 632数字 2 011 在第 63 行,从左到右第 6 个数9已知 xR ,有不等式 x 2 2,x 3 3,启 1x x1x 4x2 x2 x2 4x2 3x2x2

6、4x2发我们可以推广为 x n 1(nN *,a0) ,则 a 的值为( )axnAn n B2 n Cn 2 D2 n1解析 A 由前面两个式子可得10如果 f(x y)f( x)f(y),且 f(1)1,则 等于( )f2f1 f4f3 f2 012f2 011 f2 014f2 013A1 005 B1 007 C2 007 D2 010解析:Bf(x y)f(x) f(y), f(1)1, 1 007.fn 1fn f2f1 f4f3 f2 014f2 01311已知 ai,b iR(i1,2,3,n) ,a 12a 22a n21,b 12b 22b n21,则 a1b1a 2b2a

7、 nbn 的最大值为( )A1 B2 Cn D22 nA 解析:此结论为“a,b,c,dR,a 2b 21,c 3d 21,则acbd 1”的推广,类比可得 a1b1a 2b2a nbna2 c22 b2 d22a12 b122a22 b2221. an2 bn2212古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:他们研究过图(1)中的 1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图(2)中的 1,4,9,16,这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A289 B1 024 C1 225 D1 378C 解析:设图(1)中数列 1,3,

8、6,10,的通项公式为 an,其解法如下:a 2a 12,a 3a 23,a 4a 34,a na n1 n.故 ana 1234n,a n .nn 12而图(2)中数列的通项公式为 bnn 2,因此所给的选项中只有 1 225 满足 a49b 3535 21 225. 49502二、填空题13观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可以连 3 条弦, 4 个点可以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,由此可以归纳出_解析 设 f(n)为 n 个点可连接的弦的条数,则 f(2) 1,f(3) 3,f (4)6,f (5)10, f(n) .nn 12【答案】 n

9、个点可以连 条弦nn 1214如下图,对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,52 的“分裂”中最大的数是 ,53 的“分裂”中最小的数是 .解析:由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是 9,53 的“分裂”中最小的数是 21.答案:9 2115在平面上,若两个正三角形的边长的比为 12,则它们的面积比为 14.类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 12,则它们的体积比为_解析 棱长比与面积比棱比与体积比面积比是棱长比的平方,体积比是棱长比的立方,可知它们的体积比为 18.【答案】 1816现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有

10、两个边长都是 a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类a24比 到空间:有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两 个正方体重叠部分的体积恒为_解析 本题考查类比推理知识可取特殊情况研究,将一个正方体的一个顶点垂直 放在另一个正方体的中心时,易知两正方体的重叠部分占整个正方体的, 故其体积为 .18 a38【答案】 a38四、解答题17在三角形中有下面的性质:(1)三角形的两边之和大于第三边;(2)三角形的中位线等于第三边的一半;(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心;(4)三角形的面积为 S (a b

11、c )r(r 为三角形内切圆半径, a、b、c 为三边长) 12请类比出四面体的有关相似性质解析:(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面 )的面积等于第四个面的面积的四分之一;(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心;(4)四面体的体积为 V (S1 S2S 3S 4)r(r 为四面体内切球的半径,S 1、S 2、S 3、S 4 为 13四面体的四个面的面积)18若函数 f(x) ,g( x) ,分别计算 g(4)2f(2) g(2)和 g(6)2f(3)g(3) 的ex e x2 ex e x2值,由此归纳出

12、函数 f(x)和 g(x)的对于所有实数 x 都成立的一个等式,并加以证明解析 g(4)2f (2)g(2)0,g(6) 2f (3)g(3)0,由此归纳出 g(2x)2f (x)g(x)0.证明如下:g(2x)2f(x)g(x) 2 e2x e 2x2 ex e x2 ex e x2 e2x e 2x20.e2x e 2x219已知数列a n中,a 1 且 an1 (n1,2,) ,写出 a2,a 3,a 4,a 5 的值,12 2an1 an观 察并归纳出这个数列的通项公式解析:a 1 ,a n1 , a 2 ,a 3 ,12 2an1 an2121 12 232231 23 45a4 ,

13、a 5 ,2451 45 892891 89 1617又a 1 ,a 2 ,a 3 ,12 2020 1 23 2121 1 45 2222 1a4 ,a 5 ,89 2323 1 1617 2424 1a n . 2n 12n 1 120某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4) 为她们刺绣最简单的四 个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规 律刺绣(小正方形的摆放规律相同 ),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形(1)求出 f(5);(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系,并根据你得到的关系式求

14、 f(n)的表达式解析:(1)f(1)=1 ,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,f(5)=25+4 4=41.(2)f(2)-f(1)=4=41, f(3)-f(2)=8=42, (4)-f(3)=12=43,f(5)-f(4)=16=44,由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n.f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4(n-2), f(n-2)-f(n-3)=4(n-3),f(2)-f(1)=41,f(n)-f(1)=4(n-1)+(n-2)+ +2+1=2(n-1)n,f(n)=2n2-2n+1.21设a n是集合2 t2 s|0 st ,且

15、s、tZ 中所有的数从小到大排列成的数列,即 a13,a 25,a 36,a 49,a 510,a 612,将数列a n各项按照上小下大, 左小右大的原则写成如下所示的三角形数表:(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行;(2)求 a100.解析:(1)用(s,t)表示 s、 t 的取值,那么数列 an中的项对应的(s,t)也构成一个三 角形表:第一行右边的数是“1” ;第二行右边的数是“2” ;第三行右边的数是“3” ;于是第四行右边的数便是“4” ;第五行右边的数自然就是“5”了而左边的那个数总是从“0”开始逐个递增因此第四行的数是:2 02 417,2 12 418,2 22 420,2

16、 32 424;第五行的数是:2 02 533,2 12 534,2 22 536,232 540,2 42 548.(2)由 1213 91,知 a100 是第十四行中的第 9 个数,于是 a1002 8 1313 122 1416 640.22已知双曲线 1,F 1,F 2 分别是双曲线的两个焦点,点 M 在双曲线上x24 y29(1)若F 1MF290,求F 1MF2 的面积;(2)若F 1MF2120,F 1MF2 的面积是多少?若F 1MF260,F 1MF2 的面积又是 多少?(3)观察上述运算结果,你能看出随F 1MF2 的变化,F 1MF2 的面积将怎样变化吗(不 要求证明)?

17、解析 (1)由双曲线方程知 a2,b3,c ,13设|MF 1|r 1,|MF 2|r 2(r1r 2),由双曲线定义,有 r1r 22a4,两边平方得 r r 2r 1r216,21 2F 1MF290,r r | F1F2|2,SF 1MF2 r1r2,21 212|F 1F2|24SF 1MF216,即 52164SF 1MF2,解得 SF 1MF29.(2)若F 1MF2120,在MF 1F2 中,由余弦定理得|F 1F2|2r r 2r 1r2cos 120,21 2|F 1F2|2( r1 r2)23r 1r2,r 1r212,求得 SF 1MF2 r1r2sin 1203 ,12 3同理可求得若F 1MF260 , SF 1MF29 .3(3)由以上结果猜想,随着F 1MF2 的增大,F 1MF2 的面积将减小

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