1、湖北省黄冈中学 2015 年秋季期中考试高三数学试卷（理科）第卷 选择题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、复数 在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2、已知 aR，则“a3”是“a 23a”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件3、设a n为等差数列，公差 d2，S n为其前 n 项和，若 S10S 11，则a1（ ）A18 B22C20 D244、已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）2 x3，则 f（2）（ ）A1 B
2、1C D5、下图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）Ai10？ Bi10？Ci20？ Di20？6、将函数 f（x）sin（2x）的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于 y 轴对称，则 的一个可能取值为（ ）A B0C D7、求曲线 yx 2与 yx 所围成图形的面积，其中正确的是（ ）8、设 l，m，n 为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）若 l，则 l 与 相交若 m ，n ，lm，ln，则 l若 lm，mn，l，则 n若 lm，m，n，则 lnA1 B2C3 D49、如图，已知 ，点 C 在线段 AB 上，且AOC30，设 ，则
3、 等于（ ）A B3C D10、已知曲线 C：y2x 2，点 A（0，2）及点 B（3，a），从点 A 观察点 B，要使视线不被曲线 C 挡住，则实数 a 的取值范围是（ ）A（4，） B（，4）C（10，）D（，10）11、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，左视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A B4C D12、设函数 f（x）在 R 上存在导数 f（x）， ，有 f（x）f（x）2x 2，在（0，）上 f（x）2x，若 f（2m）4m4f（m），则实数 m 的取值范围为（ ）A1m1 Bm1C2m2 Dm2第卷 非选择
4、题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、已知关于 x 的二项式 展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则实数 a 的值为_14、变量 x、y 满足条件 ，则（x2） 2y 2的最小值为_15、ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 成等比数列，若 ， ，则 ac 的值为_16、设 a 为实常数，yf（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，若 f（x）a1 对一切 x0 成立，则 a 的取值范围是_三、解答题（1721 为必做题）17、（本小题满分 12 分）已知数列a n中，a 13，a 25 且数列a n的前 n
5、项和 Sn满足 SnS n2 2S n1 2（n3）；（1）求证：a n为等差数列；（2）记数列 ，求数列b n的前 n 项和 Tn18、（本小题满分 12 分）将函数 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到 ysinx 的图像（1）求函数 f（x）的解析式；（2）当 x0，3时，方程 f（x）m 有唯一实数根，求 m 的取值范围19、（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）x 33ax 23a 2xa 3（aR）的图像关于点（1，0）成中心对称（1）确定 f（x）的解析式；（2）求函数 g（x）f（x）2x 2在1，1上的最大值和最小值20、（本小题满分
6、 12 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是侧棱 CC1上的一点，CPm；（1）试确定 m，使直线 AP 与平面 BDD1B1所成角的正切值为 ；（2）在线段 A1C1上是否存在一个定点 Q，使得对任意的 m，D 1Q 垂直于 AP，并证明你的结论21、（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）xln（ax）（a0）（1）若 对任意的 x0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）当 a1 时，设函数 f（x）的极值点为 x0，若实数 m，n 满足x0m1，x 0n1，且 mn1求证： 四、选修题：（请考生在下列 22 题、23 题、24 题中任选一题作答，多选以
7、所选第一题的解答给分）22、（本小题满分 10 分）如图，圆 O 的半径 OB 垂直于直径 AC，M 为AO 上一点，BM 的延长线交圆 O 于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于点P；（1）求证：PM 2PAPC；（2）若 MN2， ，求劣弧长 BN23、（本小题满分 10 分）将单位圆经过伸缩变换 ：得到曲线 C： ；（1）求实数 ， 的值；（2）以原点 O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线 C 上任意一点到极点的距离 （0）表示为对应极角 （02）的函数，并探求 为何值时， 取得最小值？24、（本小题满分 10 分）已知 a，b，cR ，求证：答案与解析：1、C解析： ，故
8、对应点在第三象限2、A解析： 或 a0，故“a3”是“a 23a”成立的充分条件3、C解析： ，又 4、B解析：f（x）为奇函数，故 ，又 ，故5、A6、C解析： 的图像向左平移 后所得的解析式为，其关于 y 轴对称，则 ，k 取 0 时有 7、A解析： 解得 x0 或 x1，又当 x（0，1）时，xx 2，故两曲线所围成的面积为8、C解析：正确，错误9、B解析： ，故 ，即 ，即 3nm10、D解析：由题意，B 点应在过 A 点的切线的下方，易求得曲线过 A 点的切线方程为 y4x2，故 a4321011、C解析：如图，易知BCD 的面积最大12、B解析：令 ，函数 F（x）为奇函数时， ，
9、函数 F（x）在 上为增函数，又由题可知， ，所以函数 F（x）在 R 上为增函数由 可知 ，即 ，所以 13、2解析：二项式系数和为 2n32，有 n5，第 k1 项，令 得 k3，常数项为 14、5解析：作出可行域，当 x0，y1 时， 有最小值为 515、解析：a，b，c 等比，则 b2ac，又 ，ac13， ，故 16、解析：x0 时，f（x）0，又 对一切 x0 恒成立，故a1，当 x0 时， ，且 f（x）为奇函数，故当x0 时， ，当 x0 时， 对 x0 恒成立，即，即 ， 17、解：（1）由 知（2 分）（4 分）又 ，故a n为等差数列 （6 分）（2）由（1）知， （8
10、分）得：（10 分）（12 分）18、解：（1）将 ysinx 的图像向左平移 个单位长度可得的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，可得的图像，故 （6 分）（2）令又 ， 单调递增， 单调递减，f（x）单调递增， ，x0 时 ，时 故方程 有唯一实数根的 m 的取值范围为 （12分）19、解：（1）法 1：化简 f（x）得 （1 分）由 f（x）的图像关于点（1，0）成中心对称，则 （2 分）即 ，代入 f（x）得 ，整理得：对 xR 恒成立，则（6 分）法 2： 是奇函数， 是将 f（x）的图像向左（a0）或向右（a0）平移|a|个单位，由题意平移后的图像关于点（1，0）成中心
11、对称，故 a1（2），又 x1，1，则 时 g（x）递增， 时 g（x）递减，故，（10 分）综上， ， （12 分）20、解法一：（1）如图：（1 分）故 所以 又 （3 分）故 （4 分）在 RtAOG 中， ，即 故当 时，直线 （6 分）（）依题意，要在 A1C1上找一点 Q，使得 D1QAP只需（7 分）设 ，可推测 A1C1的中点 O1即为所求的 Q 点（8 分）因为 D1O1A 1C1，D 1O1AA 1，所以 D1O1面 ACC1A1即 （10 分）又 ，故 D1O1AP即 D1QAP（12 分）解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，（1 分）则 A（1，0，0）， B（1
12、，1，0）， P（0，1，m），C（0，1，0）， D（0，0，0）， B 1（1，1，1）， D 1（0，0，1）所以 ， （2 分）又由 的一个法向量（3 分）设 AP 与面 BDD1B1所成的角为 ，则 （4 分）依题意有： ，解得 （5 分）故当 时，直线 AP 与平面 BDD1B1所成的角的正切值为 （6 分）（2）若在 A1C1上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 x，（7 分）则 （8 分）依题意，对任意的 m 要使 ，只需 对 恒成立（9 分），（11 分）即 Q 为 A1C1的中点时，满足题设的要求（12 分）21、（1）解： 即 在 x0 恒成立令故 时， ，则 h（x）在（0，2）递增，x2 时，则 h（x）在（2，）递减，则 ，依题意（2） ，令 得 ，且 递减，递增，故 则 ，由 递增，则有同理，又，即得 ，即证22、（1）证明：连结 ON，则 ONPN，且OBN 为等腰三角形，则OBNONB，PMNOMB90OBN，PNM90ONB，PMNPNM，PMPN.根据切割线定理，有 PN2PAPC，PM 2PAPC（2）解： ，则在直角OBM 中，BM2x又 ，由相交弦定理得故O 的半径 ， BN 弧长 23、解：（1）由 知（2） ，故当 时， 24、证明：法一： ，相加得 ，即证法二：由柯西不等式得即得
