1、选修 41 几何证明选讲第 2 课时 圆的进一步认识(对应学生用书(理)182185 页)考情分析 考点新知掌握圆的切线的判定定理和性质定理，弦切角定理割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理，能用这些定理解决有关圆的问题.理解圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理.能应用圆的切线的判定定理和性质定理，圆周角定理，弦切角定理，相交弦定理，割线定理，切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题1. 如图，点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上，且 PBOB2，PC 切圆 O 于 C
2、 点，CDAB 于 D 点，求 PC 和 CD 的长解：由切割线定理得 PC2PBPA12， PC2 ，连结 OC，则 OC OP，312 P30， CD PC .12 32. 如图， AC 为圆 O 的直径，弦 BDAC 于点 P，PC 2，PA8，求 tanACD 的值解：由相交弦定理和垂径定理得 BP2PCPA16，BP4. ACDABP， tan ACDtan ABP 2.APBP 843. 如图，点 A，B，C 是圆 O 上的点，且 AB4，ACB45，求圆 O 的面积解：(解法 1)连结 OA、OB，则AOB 90. AB4，OAOB， OA2 ，则 S 圆 (2 )28.2 2(
3、解法 2)2R 4 R2 ，则 S 圆 (2 )28.4sin45 2 2 24. 如图，点 B 在圆 O 上， M 为直径 AC 上一点，BM 的延长线交圆 O 于N，BNA 45，若圆 O 的半径为 2 ，OA OM，求 MN 的长3 3解： BNA45， BOA90. OM2，BO2 ， BM4. 3BMMNCMMA(2 2)(2 2) 8， MN 2.3 35. 如图，已知 P 是圆 O 外一点，PD 为圆 O 的切线，D 为切点，割线 PEF 经过圆心O，若 PF12，PD4 ，求圆 O 的半径长和EFD 的大小3解：由切割线定理，得 PD2PEPF PE 4 EF8，OD4. PD
4、2PF 16312ODPD，OD PO， P30，POD 60，PDEEFD30.121. 圆周角定理(1) 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半(2) 推论 1：同弧(或等弧)上的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等(3) 半圆(或直径 )上的圆周角等于 90.反之，90的圆周角所对的弦为直径2. 圆的切线(1) 圆的切线的性质与判定 切线的定义：当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆相交；当直线与圆有且只有 1个公共点时，直线与圆相切，此时直线是圆的切线，公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线
5、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等(2) 弦切角 弦切角的定义：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角称为弦切角 弦切角定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半 推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧) 上的弦切角与圆周角相等3. 相交弦定理相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两段的积相等4. 切割线定理(1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等(2) 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项5. 圆内接四边形(1) 圆内
6、接四边形性质定理：圆内接四边形对角互补(2) 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆备课札记题型 1 探求角的关系例 1 如图，AB 是圆 O 的直径，弦 BD、CA 的延长线相交于点 E，EF 垂直 BA 的延长线于点 F.求证： DEA DFA.证明： 连结 AD，因为 AB 为圆的直径，所以 ADB 90.又EFAB，EFA90，所以 A、D、E、F 四点共圆所以DEADFA.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）(2011南通三模)如图，圆 O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P，E 为圆 O 上一点，AEAC，求证：PDEPOC.证明：因为
7、AEAC，AB 为直径，故OAC OCA OAE.所以POC OACOCA OACOAEEAC.又EACPDE，所以PDE POC.题型 2 求线段长度例 2 如图所示，圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E，EF CB，EF 交 AD 的延长线于点F，FG 切圆 O 于点 G.(1) 求证：DEFEFA；(2) 如果 FG1，求 EF 的长(1) 证明：因为 EFCB ，所以 BCE FED.又BADBCD，所以BAD FED.又EFDEFD，所以DEFEFA.(2) 解：由(1)得 ，即 EF2FAFD.因为 FG 是切线，所以 FG2FDFA ，所以EFFA FDEFEFFG 1.变
8、 式 训 练如图，圆 O 是等腰三角形 ABC 的外接圆，ABAC，延长 BC 到点 D，使 CDAC，连结 AD 交圆 O 于点 E，连结 BE 与 AC 交于点 F.(1) 判断 BE 是否平分ABC，并说明理由；(2) 若 AE6， BE8，求 EF 的长解：(1) BE 平分ABC. CDAC ， DCAD. ABAC ， ABC ACB. EBC CAD， EBCDCAD. ABCABEEBC，ACBD CAD ， ABEEBC，即 BE 平分ABC.(2) 由(1)知CADEBC ABE. AFEABE， AEFBEA. .AEBE EFAE AE6，BE8， EF .AE2BE
9、368 92题型 3 证明线段相等例 3 如图，在ABC 中，已知 CM 是ACB 的平分线， AMC 的外接圆交 BC 于点 N.若 AC AB，求证：BN 2AM.12证明： 在ABC 中，因为 CM 是ACB 的角平分线，所以 .ACBC AMBM又已知 AC AB，所以 .12 ABBC 2AMBM又 BA 与 BC 是圆 O 过同一点 B 的割线，所以 BMBABNBC ，即 .BABC BNBM由可知， ，所以 BN2AM.2AMBM BNBM备 选 变 式 （教 师 专 享 ）如图，圆 O 的直径 AB2 ，C 是圆 O 外一点，AC 交圆 O 于点 E，BC 交圆 O 于点5D
10、，已知 ACAB，BC 4，求 ADE 的周长解： AB 是圆 O 的直径， ADBC.又 ACAB ， AD 是ABC 的中线又 BC4， BDDC2， AD 4.AB2 BD2由 CECACDCB，得 CE .455 AE2 .5455 655由DECBC，所以 DEDC2.则ADE 的周长为 6 .655题型 4 证明线段成比例例 4 如图，在ABC 中，B90，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于 D，过点 D 作圆 O 的切线交 BC 于 E，AE 交圆 O 于点 F.求证：(1) E 是 BC 的中点；(2) ADACAEAF.证明：(1) 连结 BD，因为 AB 为圆 O 的直
11、径，所以 BDAC.又B90，所以 CB切圆 O 于点 B 且 ED 切圆 O 于点 D，因此 EBED，所以EBDEDB，CDEEDB90EBDC ，所以CDEC ，得EDEC ，因此 EBEC，即 E 是 BC 的中点(2) 连结 BF，显然 BF 是 RtABE 斜边上的高，可得ABEAFB，于是有 ABAF，AEAB即 AB2AEAF，同理可得 AB2ADAC，所以 ADACAEAF.备 选 变 式 （教 师 专 享 ）如图，PA 切圆 O 于点 A，割线 PBC 交圆 O 于点 B、C ，APC 的角平分线分别与AB、AC 相交于点 D、E，求证：(1) ADAE；(2) AD2DB
12、EC.证明：(1) AEDEPCC ，ADE APDPAB.因为 PE 是APC 的角平分线，所以EPC APD.又 PA 是圆 O 的切线，故C PAB. 所以AED ADE.所以 ADAE.(2) Error! PCE PAD .Error! PAEPBD .又ECAD PCPA AEDB PAPBPA 是切线，PBC 是割线 PA2PBPC .故 .又 ADAE ，所以PAPB PCPA ECAD AEDBAD2DBEC.1. (2013广东)如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上，延长 BC 到 D 使 BCCD，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB6，ED2
13、，求 BC 的值解：依题意易知ABCCDE，所以 ，又 BCCD，所以ABCD BCDEBC2ABDE12，从而 BC2 .32. (2013重庆)如图，在 ABC 中，C 90，A 60 ，AB 20，过 C 作ABC的外接圆的切线 CD，BDCD，BD 与外接圆交于点 E，求 DE 的长解：延长 BA 交切线 CD 于 M.因为C90，所以 AB 为直径，所以半径为 10.连结 OC，则 OCCD，且 OCBD.因为OAC60，所以AOC60，OBE60，即 BEOB10 且M30 .所以 OM2OC20，所以 AM10.所以 BD (AMAB) 15，12 10 202即 DEBDBE1
14、5105.3. (2013江苏)如图，AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C ，AC 经过圆心 O，且BC2OC. 求证： AC2AD.证明：连结 OD， AB、BC 分别与圆 O 相切于点 D、C， ADOACB90. AA， Rt ADORtACB. .BCOD ACAD BC2OC 2OD， AC2AD.4. (2013新课标) 如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D.(1) 证明：DB DC；(2) 设圆的半径为 1，BC ，延长 CE 交 AB 于点 F，求BCF 外接圆的半径3(1) 证
15、明：连结 DE，交 BC 与点 G.由弦切角定理得，ABEBCE， ABECBE， CBE BCE，BECE. DBBE， DE 是直径，DCE90 .由勾股定理可得 DBDC.(2) 解：由(1)知，CDEBDE，BD DC，故 DG 是 BC 的中垂线， BG .32设 DE 中点为 O，连结 BO，则BOG60，ABEBCECBE 30 ， CF BF， Rt BCF 的外接圆半径等于 .321. 如图，圆 O 与圆 O内切于点 T，点 P 为外圆 O 上任意一点， PM 与内圆 O切于点M.求证： PMPT 为定值证明：设外圆半径为 R，内圆半径为 r，作两圆的公切线 TQ.设 PT
16、交内圆于 C，连结 OP， OC，则 PM2PCPT，所以 .PM2PT2 PCPTPT2 PCPT由弦切角定理知POT2PTQ，COT2PTQ，则POTCOT ，所以 POCO ，所以 ，即 ，为定值PCPT OOOT R rR PMPT R rR2. 如图， 弦 AB 与 CD 相交于O 内一点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线相交于点 P.已知 PD2DA2, 求 PE.解： BC/PE BCD PED.且在圆中BCDBAD PEDBAD.EPD APE PE2PAPD326.所以 PE .PEPA PDPE 63. 如图，正三角形 ABC 外接圆的半径为 1，点 M、N
17、 分别是边 AB、AC 的中点，延长 MN 与ABC 的外接圆交于点 P，求线段 NP 的长解：设正三角形 ABC 的边长为 x，由正弦定理，得 2，所以 x .延长 PN 交xsin60 3圆于 Q，则 NANCNPNQ. 设 NPt ，则 t .所以 t ，即 NP(t 32) ( 32)2 15 34.15 344. 如图，在ABC 中，C90 ，BE 是角平分线，DEBE 交 AB 于 D，圆 O 是BDE 的外接圆(1) 求证：AC 是圆 O 的切线；(2) 如果 AD6，AE6 ，求 BC 的长2(1) 证明：连 OE，BEDE ，O 点为 BD 的中点OBOE，OEBOBE.OE
18、COEBCEB OBECEB CEBCBE90，即 OEAC.又 E 是 AC 与圆 O 的公共点， AC 是圆 O 的切线(2) 解：AE 是圆的切线， AEDABE.又A 共用，ADEAEB， ，即 ，解得 AB12，ADAE AEAB 662 62AB圆 O 的半径为 3.又OEBC， ，即 ，解得 BC4.OEBC AOAB 3BC 912几个重要定理的符号语言及图形(1) 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等符号语言： 在圆 O 中，弦 AB、CD 相交于点 P， PAPBPCPD.(图)图形语言：推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项符号语言： 在圆 O 中，直径 ABCD，垂足为 E， CE 2AEBE.( 图)(2) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等符号语言： 在圆 O 中，PB、PE 是割线， PC PBPDPE.( 图)(3) 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项符号语言： 在圆 O 中，PA 是切线，PB 是割线， PA 2PCPB.(图)请 使 用 课 时 训 练 （B）第 2课 时 （见 活 页 ）.备课札记
