1、选修 44 坐标系与参数方程第 1 课时 坐 标 系(对应学生用书(理)192194 页)考情分析 考点新知理解极坐标的概念会正确进 行点的极坐标与直角坐标的互化能运用极坐 标解决相关问题了解极坐标系.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程.会根据所给 条件建立直线、 圆的极坐标方程，并能运用极坐标解题.1. (选修 44P17习题 第 7 题改编)已知点 M 的直角坐标是( 1， )，求点 M 的极坐标3解： (kZ)都是极坐标(2，2k 23)2. (选修 44P32习题 第 4 题改编)求直线 xcosysin0 的极坐标方程解：coscossinsin0，cos()0，取 .23. (选修
2、 44P32习题 第 5 题改编)化极坐标方程 2cos0 为直角坐标方程解：(cos1)0， 0，或 cosx1. 直角坐标系方程为 x2y 20x2 y2或 x1.4. 求极坐标方程 cos2sin2 表示的曲线解：cos4sin cos，cos 0，或 4sin，即 24sin，则 k ，或2x2y 24y. 表示的曲线为一条直线和一个圆5. (选修 44P33习题第 14 题改编) 求极坐标方程分别为 cos 与 sin 的两个圆的圆心距解：圆心分别为 和 ，故 圆心距为 .(12，0) (0，12) 221. 极坐标系是由距离(极径 )与方向(极角) 确定点的位置的一种方法，由于终边
3、相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(，)与点不一一对应这点应与直角坐标系区别开来2. 在极坐标系中，同一个点 M 的坐标形式不尽相同，M(，)可表示为(，2n)(nZ )3. 极坐标系中，极径 可以为负数，故 M(，) 可表示为 (，(2n1)(nZ )4. 特别地，若 0，则极角 可为任意角5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点 M(， ) ，建立等式，化简即得6. 常用曲线的极坐标方程(1) 经过点 A(a，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为 cosa.(2) 经过点 A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为 sina.
4、(3) 圆心在 A(a，0)，且过极点的圆的极坐标方程为 2acos.7. 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位平面内任一点 P 的直角坐标(x ，y)与极坐标(，) 可以互换，公式是和x cos ，y sin ) 2 x2 y2，tan yx. )备课札记题型 1 求极坐标方程例 1 如图，AB 是半径为 1 的圆的一条直径，C 是此圆上任意一点，作射线 AC，在AC 上存在点 P，使得 APAC1，以 A 为极点，射线 AB 为极轴建立极坐标系(1) 求以 AB 为直径的圆的极坐标方程；(2) 求动点 P 的轨迹的极坐标方程；(3) 求点
5、P 的轨迹在圆内部分的长度解：(1) 易得圆的极坐标方程为 2cos.(2) 设 C(0，)，P(，)，则 02cos ，01. 动 点 P 的轨迹的极坐标方程 为 cos .12(3) 所求长度为 .3备 选 变 式 （教 师 专 享 ）求以点 A(2，0)为圆心，且过点 B 的圆的极坐标方程(23， 6)解：由已知圆的半径为AB 2.22 （2 3）2 222 3cos6又圆的圆心坐标为 A(2，0)，所以圆过极点，所以圆的极坐标方程是 4cos.题型 2 极坐标方程与直角坐标方程的互化例 2 在极坐标系中，设圆 3 上的点到直线 (cos sin)2 的距离为 d.求 d3的最大值解：将
6、极坐标方程 3 化为 普通方程，得 圆：x 2y 29.极坐标方程 (cos sin)2 化为普通方程，得直线：x y2.3 3在 x2y 29 上任取一点 A(3cos，3sin)则点 A 到直线的距离为 d ，|3cos 33sin 2|2 |6sin（ 30） 2|2 所求 d 的最大值为 4.变 式 训 练在极坐标系中，圆 C 的方程为 2 sin ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的2 ( 4)正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的方程为 y2x1，判断直线 l 和圆 C 的位置关系解： 2 sin 即 2(sincos) ，两 边同乘以 得 22(sin cos)，得圆2 ( 4)
7、C 的直角坐 标方程为(x1) 2 (y1) 22，圆心 C 到直线 l 的距离 d 0) 的一个交点在2极轴上，求 a 的值解：曲线 C1 的直角坐标方程是 xy1，曲 线 C2 的普通方程是直角坐 标方程2x2y 2a 2，因 为曲线 C1：( cossin) 1 与曲线 C2：a(a0)的一个交点在极轴上，所2以 C1 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等，由 y0， x ，知 a .22 221. (2013安徽)在极坐标系中，求圆 2cos 的垂直于极轴的两条切线方程解：在极坐标系中，圆心坐标 1，0，半径 r1，所以左切线方程为 ，右切 线2满足 cos ，即 cos2.22. (2
8、013天津)已知圆的极坐标方程为 4cos ，圆心为 C，点 P 的极坐标为 ，(4， 3)求|CP|.解：由 4cos 得 24cos ，即 x2y 24x，所以(x 2) 2y 24，圆心 C(2，0)点 P的极坐标为 ，即 4， ，所以 xcos4cos 2， ysin4sin 2 ，即(4，3) 3 3 3 3P(2，2 )，所以|CP| 2 .3 33. (2013上海)在极坐标系中，求曲线 cos1 与 cos1 的公共点到极点的距离解：联立方程组得 (1) 1 .又 0，故所求为 .1 52 1 524. 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P ，圆心为直线 sin 与极轴(2，
9、4) ( 3) 32的交点，求圆 C 的极坐标方程解： 圆 C 的圆心为直线 sin 与极轴的交点，( 3) 32 在 sin 中令 0，得 1.( 3) 32 圆 C 的圆心坐标为(1 ，0) 圆 C 经过点 P ，(2，4) 圆 C 的半径为 PC 1.（2）2 12 212cos4 圆 C 经过极点 圆 C 的极坐标方程为 2cos.1. (2013北京)在极坐标系中，求点 到直线 sin2 的距离(2， 6)解：在极坐标系中，点 化为直角坐标为( ，1)，直 线 sin2 化为直角坐标方程(2，6) 3为 y2.( ，1)到 y2 的距离 1，即 为点 到直线 sin2 的距离 1.3
10、 (2，6)2. (2013福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系已知点 A 的极坐标为 ，直线的极坐标方程为 cos a ，且点 A 在(2， 4) ( 4)直线上(1) 求 a 的值及直线的直角坐标方程；(2) 圆 C 的参数方程为 ，( 为参数) ，试判断直线与圆的位置关系x 1 cosy sin )解：(1) 由点 A 在直线 cos a 上，可得 a .(2，4) ( 4) 2所以直线的方程可化为 cossin2，从而直线的直角坐标方程为 xy20.(2) 由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1) 2y 21，所以圆心为(1，0)，半径 r1，因
11、为圆心到直线的距离 d 1，所以直线与圆相交223. 在极坐标系中，已知曲线 C1： 12sin，曲线 C2： 12cos .( 6)(1) 求曲线 C1 和 C2 的直角坐标方程；(2) 若 P、Q 分别是曲线 C1 和 C2 上的动点，求 PQ 的最大值解：(1) 因为 12sin，所以 212sin，所以 x2y 212y0，即曲线 C1 的直角坐标方程为 x2(y6) 236.又 12cos ，所以 212 ，所以( 6) (coscos6 sinsin6)x2y 26 x6y0，即曲线 C2 的直角坐标方程为(x3 )2(y 3) 236.3 3(2) PQmax6 6 18.（33
12、）2 324. 圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 4cos，4sin.(1) 把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 求经过圆 O1、圆 O2 交点的直线的直角坐标方程解：以极点为原点、极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标 系，两坐 标系中取相同的长度单位(1) xcos，ysin，由 4cos 得 24cos ，所以 x2y 24x.即圆 O1 的直角坐标方程为 x2y 24x0，同理 圆 O2 的直角坐标方程为 x2y 24y0.(2) 由 解得 即圆 O1、圆 O2 交于点(0 ，0)和(2，2)，x2 y2 4x 0，x2 y2 4y 0，) x1 0，y1 0，)x2 2，y2 2，)故过交点的直线的直角坐标方程为 yx.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(，) ，(，2)，(，)，(，)，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对于极坐标方程 ，点 M 可以表示为 或 或( 4， 4) ( 4， 4 2 ) ( 4， 4 2 )等多种形式，其中，只有 的极坐标满足方程 .( 4， 54) ( 4， 4)请 使 用 课 时 训 练 （A）第 1课 时 （见 活 页 ）.备课札记
