1、选修 44 坐标系与参数方程第一节 坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：Error!的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向( 通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为 ；以极轴 Ox为始边，射线 OM 为
2、终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 .有序数对( ， )叫做点 M 的极坐标，记为 M(， )一般地，不做特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设 M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是( x，y )，极坐标是( ， )(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点 M 直角坐标(x，y) 极坐标 (， )互化公式Error! Error!4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆 r (02)圆心为( r,0)，半径为 r 的圆2 rcos_( 2 2)圆心为 ，半径为 r 的圆(r，2) 2rsin_ (0 )过极点，
3、倾斜角为 的直线(1) (R) 或 ( R) (2)(0)和 (0)过点(a,0) ，与极轴垂直的直线 cos_a (2 2)过点 ，与极轴平行的直线(a，2)sin_ a(0 )1在将直角坐标化为极坐标求极角 时，易忽视判断点所在的象限 (即角 的终边的位置) 2在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视注意极坐标( ，)( ， 2k )，( ， 2k)(k Z)表示同一点的坐标试一试1点 P 的直角坐标为(1， )，求点 P 的极坐标3解：因为点 P(1， )在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为3 ，所以点 P 的极坐标为 .3 (2， 3)2求极坐标方程 sin 2
4、cos 能表示的曲线的直角坐标方程解：由 sin 2cos ，得 2 sin 2cos ，x 2y 22x y0.故故极坐标方程 sin 2cos 表示的曲线直角坐标方程为x2y 22xy0.1确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可2直角坐标(x，y)化为极坐标( ，)的步骤(1)运用 ，tan (x0)x2 y2yx(2)在0,2) 内由 tan (x0) 求 时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限yx练一练1在极坐标系中，求圆心在( ，)且过极点的圆的方程2解：如图，O 为极点，OB 为直径，A( ， )，则ABO 90，OB2 ，化简得 2 cos
5、 .2sin 90 22已知直线的极坐标方程为 sin ( ) ，求极点到该直线的距离4 22解：极点的直角坐标为 O(0,0)，sin( ) ，sin 4 2sincos 22cos 1，化为直角坐标方程为 xy10.点 O(0,0)到直线 xy 10 的距离为d ，即极点到直线 sin 的距离为 .12 22 ( 4) 22 22考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为 Error!求在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x 的方程解：Error! Error!代入 ysin x 得 y3sin 2x.2求函数 ysin(2x )经伸缩变换E
6、rror!后的解析式4解：由Error! 得Error! 将代入 ysin(2x )，得 2ysin(2 x )，4 12 4即 y sin(x )12 43求双曲线 C：x 2 1 经过 ：Error!变换后所得曲线 C的焦点坐标y264解：设曲线 C上任意一点 P(x，y ) ，由上述可知，将 Error!代入 x2 1 得y264 1，化简得 1，x 29 4y 264 x 29 y 216即 1 为曲线 C的方程，可见仍是双曲线，则焦点 F1(5,0)，F 2(5,0)为所x29 y216求类题通法平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛
7、物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆考点二 极坐标与直角坐标的互化典例 (2013石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 3212cos 10( 0)(1)求曲线 C1 的直角坐标方程；(2)曲线 C2 的方程为 1，设 P，Q 分别为曲线 C1 与曲线 C2 上的任意一点，求x216 y24|PQ|的最小值解 (1)曲线 C1 的方程可化为 3(x2y 2)12x10，即(x2) 2y 2 .23(2)依题意可设 Q(4cos ，2sin )，由(1) 知圆 C1 的
8、圆心坐标为 C1(2,0)故|QC 1| 4cos 22 4sin2 12cos2 16cos 82 ，3(cos 23)2 23|QC1|min ，263所以|PQ| min .63类题通法直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行针对训练(2013安徽模拟)在极坐标系中，判断直线 cos sin 10 与圆 2sin 的位置关系解：直线 cos sin 10 可化成 xy 10，圆 2sin 可化为 x2y 22y ，即 x2(y1) 2 1.圆心(0,1) 到直线 xy10 的距离 d 00)所表示的图形的交4点的极坐标解：
9、圆 2cos 可转化为 x22x y 20，直线 可转化为 yx( x0)，两个方程联4立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是( ， )242(2013惠州模拟)在极坐标系中，已知两点 A，B 的极坐标分别为(3， )、(4 ， )，3 6求AOB( 其中 O 为极点)的面积解：由题意知 A，B 的极坐标分别为(3， )、(4， )，则AOB 的面积 S3 6AOB OAOBsinAOB 34sin 3.12 12 63(2013天津高考改编)已知圆的极坐标方程为 4cos ， 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ，求|CP |的值(4，3)解：由 4cos 可得圆的直角坐标方程为 x2y 2
10、4x，圆心 C(2,0)点 P 的直角坐标为(2,2 )，所以 |CP|2 .3 34在极坐标系中，求圆： 2 上的点到直线： (cos sin )6 的距离的最小3值解：由题意可得，圆的直角坐标方程为 x2y 24，圆的半径为 r2，直线的直角坐标方程为 x y60，圆心到直线的距离 d 3，所以圆上的点到直线的3|0 30 6|2距离的最小值为 dr321.5(2013银川调研)已知直线 l：Error!( t 为参数) 与圆 C： 4 cos( )24(1)试判断直线 l 和圆 C 的位置关系；(2)求圆上的点到直线 l 的距离的最大值解：(1)直线 l 的参数方程消去参数 t，得 xy
11、10.由圆 C 的极坐标方程，得 24 cos( )，化简得 24cos 4sin ，所以圆 C24的直角坐标方程为 x2y 24 x4y，即(x2) 2(y2) 28，故该圆的圆心为 C(2,2)，半径r2 .2从而圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，|2 2 1|12 12 322显然 1，所以直线与圆相离，即曲线 C1 和 C2 没有公共点32(2)设 Q(0， 0)，P(，)，则Error!即Error! 因为点 Q(0， 0)在曲线 C2 上，所以 0cos 1，(0 3)将代入，得 cos 1，2 ( 3)即 2cos 为点 P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为 2 21，因( 3
12、) (x 12) (y 32)此点 P 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的圆(12， 32)6(2014苏州模拟)在极坐标系下，已知圆 O： cos sin 和直线 l：sin ( 4).22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0 ，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解：(1)圆 O： cos sin ，即 2cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为：x 2y 2xy，即 x2y 2x y0，直线 l：sin ，即 sin cos 1，( 4) 22则直线 l 的直角坐标方程为： yx1，即 xy10.(2)由Error!得Error!故直线 l 与圆 O 公共
13、点的一个极坐标为 .(1，2)第二节 参数方程1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 xf( t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg(t)，那么，Error!就是曲线的参数方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程 参数方程直线 yy 0tan (x x 0) Error!(t 为参数)圆 x2y 2r 2 Error!( 为参数)椭圆 1(a b0)x2a2 y2b2 Error!( 为参数)1不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程Error!(t 为参数)注意：t 是参数， 则是直线的倾斜角2参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性试一试1若直线的参数方程为Error!( t 为参数)，求直线的斜率解： ，tan .即直线的斜率为 .y 2x 1 3t2t 32 32 322(2013辽宁模拟)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线 l： 与曲线 C：Error!( t 为参数) 相交于 A，B 两点求射线 l 的参4数方程和曲线 C 的直角坐标方程解：由题意得射线 l 的直角坐标方程为 yx(x0) ，
