1、听课随笔第 4 课时 余弦定理（1）知识网络 三角形中的向量关系余弦定理学习要求 1 掌握余弦定理及其证明；2 体会向量的工具性；3 能初步运用余弦定理解斜三角形【课堂互动】自学评价1余弦定理：(1) ， ， .Acosb2a2Bacos22 Ccosab22(2) 变形： ， ， as bsC2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【精典范例】【例 1】在 中，ABC（1）已知 ， ， ，求 ；3b1c06a（2）已知 ， ， ，求 （精确到 ） 4a5A0.1【解】 （1）由余弦定理，得 ，2220cos31c
2、os67b所以 7（2）由余弦定理，得 ，564cos .75a所以， 041.A点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角【例 2】 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点 ，测得,BC182,Am6,CB，求 两地之间的距离（精确到 ） 063C, 1m【解】由余弦 定理，得CBAAcos2218.7所以， 68()A答 两地,B之间的距离约为 1【例 3】用余 弦定理证明：在 中，当 为锐角时，ABC；22abc当 为钝角时， 22abc【证】当 为锐角时， ，由余弦定理，得 ，Ccos0 2oscab即 同
3、理可证，当 为钝角时， 22abc点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广追踪训练一在中，（）已知，求 a；（）已知 a，求略解：（1）a 37略解：（2） 2A若三条线段的长为，则用这三条线段（ ） 能组成直角三角形能组成锐角三角形能组成钝角三角形 不能组成三角形在中，已知 ，试求的大小22cab略解： 32C两游艇自某地同时出发，一艇以的速度向正北行驶，另一艇以的速度向北偏东的方向行驶，问：经过，两艇相距多远？略解：两艇相距 4.71km【选修延伸】【例 4】在ABC 中， = ， = ，且 ， 是方程 的两根，BCaAba0232x。1cos2A（1） 求角 C 的度数；（2） 求 的长；
4、（3）求ABC 的面积。解：(1) cosABcosAB012C听课随笔听课随笔（2）因为 ， 是方程 的两根，所以ab0232x23ab20cos1AB110abAB（3） 23inCabSC【例 5】在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 ， ， ，证明：abc。cbasin2证明：由余弦定理知：，Aco22Bacbos22则 ab，2cs2csaB整理得:，cAbcbao2又由正弦定理得:， ，CAsinBsin2cosiniabABcCsiAC追踪训练二1在ABC 中，已知 ， ，B= ，则 （ B ）2b1c045aA 2 B 6C D 622在ABC 中，已知 AB=5，AC=6，BC= ，则 A= （ A ）31A B C D 32643在ABC 中，若 ， ，C= ，则此三角形有 一 解。10b5c6提示：由余弦定理得： 22cosaCb230a210351负值不合题意，舍去。4、 ABC 中，若 ，22bca则 A= 。3【师生互动】学生质疑教师释疑
