1、章末总结知识点一 圆锥曲线的定义和性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F 1，F 2 为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且F 1PF260 ，SPF 1F212 ，求双曲线的标准方程3知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不
2、同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行) ，反映在消元后的方程上，该方程是一次的例 2 如图所示，O 为坐标原点，过点 P(2，0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y22x 于M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)两点(1)求 x1x2 与 y1y2 的值；(2)求证：OM ON.知识点三 轨迹问题轨迹是解
3、析几何的基本问题，求解的方法有以下几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y)，根据几何条件直接寻求 x、y 之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点 P(x，y) 的坐标 x，y 所满足的关系式时，借助第三个变量 t，建立
4、t 和 x，t 和 y 的关系式 x(t) ，y(t)，再通过一些条件消掉 t就间接地找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x，y)所形成的曲线的普通方程例 3 设点 A、B 是抛物线 y24px (p0)上除原点 O 以外的两个动点，已知OAOB，OMAB ，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数
5、量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量例 4 若直线 l：ykxm 与椭圆 1 相交于 A、B 两点(A 、B 不是左、右顶点) ，x24 y23A2 为椭圆的右顶点且 AA2BA 2，求证：直线 l 过定点知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解(2)目标函数法建立目标函数
6、解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值例 5 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆 1 内的两定点，点 M 是椭圆上的动点，求x225 y29MAMB 的最值来源:学优高考网例 6 已知 F1、F 2 为椭圆 x2 1 的上、下两个焦点，AB 是过焦点 F1 的一条动弦，y22求ABF 2 面积的最大值章末总结重点解读例 1 解 如图所示，设双曲线方程为 1 (a0 ，b0)x2a2 y2b2e 2，c 2a.ca由双曲线的定义，得|PF 1PF 2|2ac ，在PF 1F2 中，由余弦定理，得：F1F PF PF 2PF
7、 1PF2cos 602 21 2(PF 1PF 2)22PF 1PF2(1cos 60)，即 4c2c 2PF 1PF2.又 SPF 1F2 12 ，3 PF1PF2sin 6012 ，12 3即 PF1PF248.由，得 c216，c 4，则 a2，b 2c 2a 212，所求的双曲线方程为 1.x24 y212例 2 (1)解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为：yk(x 2)把 yk(x2)代入 y22x ，消去 y 得 k2x2 (4k22)x 4k 20，由于直线与抛物线交于不同两点，故 k20 且 (4k 22) 216 k416k 240，x1x24，x 1x 24
8、，2k2M、N 两点在抛物线上，y y 4x 1x216，21 2而 y1y20.2k7当 m12k 时，l 的方程为 yk (x2) ，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当 m2 时，l 的方程为 yk ，直线过定点 ，2k7 (x 27) (27，0)直线 l 过定点例 5 解 因为 A(4,0)是椭圆的右焦点，设 A为椭圆的左焦点，则 A(4,0) ，由椭圆定义知 MAMA10.如图所示，则 MAMB MAMAMBMA10 MBMA10AB.当点 M 在 BA的延长线上时取等号所以当 M 为射线 BA与椭圆的交点时，(MAMB) max10AB102 .10又如图所示，MAMB MAMAM
9、AMB10(MAMB)10AB ，当 M 在 AB 的延长线上时取等号所以当 M 为射线 AB 与椭圆的交点时，(MAMB) min 10A B102 .10例 6 解 由题意，F 1F22.设直线 AB 方程为 ykx1，代入椭圆方程 2x2y 22，得(k 2 2)x22 kx10，则 xAx B ，x AxB ，2kk2 2 1k2 2|x A xB| .8k2 1k2 2SABF 2 F1F2|xAx B|2 12 2 k2 1k2 22 2 .21k2 1 1k2 1 2 12 2当 ，即 k0 时，k2 11k2 1SABF 2 有最大面积为 .2章末总结知识点一 圆锥曲线的定义和
10、性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识， “回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用例 1 已知双曲线的焦点在 x 轴上，离心率为 2，F 1，F 2 为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且F 1PF260 ，SPF 1F212 ，求双曲线的标准方程3知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同
11、的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行) ，反映在消元后的方程上，该方程是一次的例 2 如图所示，O 为坐标原点，过点 P(2，0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y22x 于M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)两点(1)求 x1x2 与 y1y2 的值；(2)求证：OM ON.知识点三 轨迹问题轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下
12、几种：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y)，根据几何条件直接寻求 x、y 之间的关系式(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标 x、y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标 x、y 之间的关系式(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程(4)参数法：当很难找到形成曲线的动点 P(x，y) 的坐标 x，y 所满足的关系式时，借助第三个变量 t，建立 t 和 x，t 和 y 的关系式
13、x(t) ，y(t)，再通过一些条件消掉 t就间接地找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x，y)所形成的曲线的普通方程例 3 设点 A、B 是抛物线 y24px (p0)上除原点 O 以外的两个动点，已知OAOB，OMAB ，垂足为 M，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？来源:gkstk.Com知识点四 圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例
14、关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量例 4 若直线 l：ykxm 与椭圆 1 相交于 A、B 两点(A 、B 不是左、右顶点) ，x24 y23A2 为椭圆的右顶点且 AA2BA 2，求证：直线 l 过定点知识点五 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值、范围问题，是高考热点，主要有以下两种求解策略：(1)平面几何法平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解(2)目标函数法建立目标函数解与圆锥曲
15、线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值例 5 已知 A(4,0)，B(2,2)是椭圆 1 内的两定点，点 M 是椭圆上的动点，求x225 y29MAMB 的最值例 6 已知 F1、F 2 为椭圆 x2 1 的上、下两个焦点，AB 是过焦点 F1 的一条动弦，y22求ABF 2 面积的最大值章末总结重点解读例 1 解 如图所示，设双曲线方程为 1 (a0 ，b0)x2a2 y2b2e 2，c 2a.ca由双曲线的定义，得|PF 1PF 2|2ac ，在PF 1F2 中，由余弦定理，得：F1F PF PF 2PF 1PF2cos 602
16、21 2(PF 1PF 2)22PF 1PF2(1cos 60)，即 4c2c 2PF 1PF2.又 SPF 1F2 12 ，3 PF1PF2sin 6012 ，12 3即 PF1PF248.由，得 c216，c 4，则 a2，b 2c 2a 212，所求的双曲线方程为 1.x24 y212例 2 (1)解 过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线方程为：yk(x 2)把 yk(x2)代入 y22x ，消去 y 得 k2x2 (4k22)x 4k 20，由于直线与抛物线交于不同两点，故 k20 且 (4k 22) 216 k416k 240，x1x24，x 1x 24 ，2k2M、N 两点在抛物线上，y y 4x 1x216，21 2而 y1y20，y 1y24.（2）证明 (x1，y 1)， ( x2，y 2)，OM ON x 1x2y 1y244 0.OM ON ，即 OMON.OM ON 例 3 解 设直线 OA 的方程为 ykx (k1，因为当 k1 时，直线 AB 的斜率不存在)，则直线 OB 的方程为 y ，xk进而可求 A 、B(4pk 2，4pk)(4pk2，4pk)于是直线 AB 的斜率为 kAB ，k1 k2
