1、课时作业 53 椭圆时间：45 分钟 分值：100 分一、选择题(每小题 5 分，共 30 分)1已知椭圆 1，长轴在 y 轴上若焦距为 4，则 m 等于( )x210 m y2m 2A4 B5C7 D8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为 1，y2m 22 x2 10 m2椭圆的长轴在 y 轴上，m210m，即 m6.由( )2( )22 2，m 2 10 m解得 m8.答案：D2已知椭圆 1(ab0)的一个焦点是圆 x2y 26 x80 的圆心，且短轴长为x2a2 y2b28，则椭圆的左顶点为( )A(3,0) B(4,0)C(10,0) D( 5,0)解析：圆的标准方程为(x3) 2y 2
2、1，圆心坐标为(3,0)，c3，又 b4，a 5.b2 c2椭圆的焦点在 x 轴上，椭圆的左顶点为(5,0)答案：D3(2010济南模拟)设 P 是椭圆 1 上一点，M、N 分别是两圆：(x2) 2y 21x29 y25和(x2) 2y 2 1 上的点，则 |PM|PN |的最小值、最大值分别为( )A4,8 B2,6C6,8 D8,12解析：设椭圆的左，右焦点分别为 F1，F 2，两圆的半径为 R，则由题意可知|PM| PN|的最大值为|PF 1| PF2|2R ，最小值为|PF 1|PF 2|2R ，又因为|PF1| PF2|2 a6，R 1，所以|PM| |PN|的最大值为 8，最小值为
3、 4.故选 A.答案：A4.(2011诸诚模拟)如右图，有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆与的长半轴的长分别为 a1 和 a2，半焦距分别为 c1 和 c2.则下列结论不正确的是( )Aa 1c 1a 2c 2 Ba 1c 1a2c 2Ca 1c2a2c1 Da 1c2 .c1a1 c2a2 c1a1c2a2c 1a2c2a1， D 正确，故选 C.答案：C5(2011金华十校联考)方程为 1(ab0)的椭圆的左顶点为 A，左、右焦点分x2a2 y2b2别为 F1、F 2， D 是它短轴上的一个端点，若 3 2 ，则该椭圆的离心率为( )DF1 DA DF2 A. B.12 13C. D.1
4、4 15解析：设点 D(0，b)，则 (c，b)， (a，b)， (c ，b)，由 3DF1 DA DF2 2 得3ca2c，即 a5c ，故 e .DF1 DA DF2 15答案：D6(2010全国)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率为x2a2 y2b2 32k(k0)的直线与 C 相交于 A、 B 两点，若 3 ，则 k 等于( )AF FB A1 B. 2C. D23解析：由椭圆 C 的离心率为 ，得 c a，b 2 ，32 32 a24椭圆 C： 1.x2a2 4y2a2设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，F( a,0)，32 3 ，AF FB
5、( ax A， yA)3(x B a，y B)32 32Error!即Error! 将 A、B 代入椭圆 C：Error!9得 8，9xB2 xA2a28，3xB xA3xB xAa23x Bx A a.433联立得Error!解得 xA a， xB a，33 539y A a， yB a.66 618k .yB yAxB xA618a 66a539a 33a 2答案：B二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)7(2010广东六校联考)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为 (4,0)和(4,0)，且经过点 (5,0)，则该椭圆的方程为_解析：由题意，c4，且椭圆焦点在 x 轴
6、上，椭圆过点(5,0)a5，b 3.a2 c2椭圆方程为 1.x225 y29答案： 1x225 y298已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_解析：设正方形边长为 1，则 AB2c1，c .12ACBC1 2a，2a ，e 1.2 12 ca122 12 2答案： 129.(2009江苏)如右图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2 为椭圆 1( ab0)的四个顶点， F 为其右焦点，直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T，线段 OTx2a2 y2b2与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点，则该椭圆的离心率为_解析：A
7、 1(a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，b)，B 2(0，b) ，A1B2 的方程：y xb，baB1F 的方程：y xb，bc联立解得交点 T( ， )，2aca c ba ca c又中点 M 在椭圆上，则(aca c，ba c2a c) 13a 2 c210ac0，( aca c)2a2ba c2a c2b2即 e210e30，e 2 5.7答案：2 57三、解答题(共 55 分)10(15 分)(2011温州十校模拟)如右图，已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆，它的中心在坐标原点，左焦点为 F( ，0)，且右顶点为 D(2,0)设点 A 的坐标是3(1， )12(1)求该椭
8、圆的标准方程；(2)过坐标原点 O 的直线交椭圆于点 B、C ，求ABC 的面积的最大值解：(1)由题意知 a2，c ，故 b1，又椭圆的焦点在 x 轴上，3椭圆的标准方程为 y 21.x24(2)当 BC 垂直于 x 轴时，|BC |2，S ABC 1，当 BC 不垂直于 x 轴时，设直线 BC 的方程为 ykx，代入 y 21，得 x2 ，x24 41 4k2|BC| |x2x 1|4 ，1 k21 k21 4k2又点 A 到直线 BC 的距离 d ，|k 12|1 k2 |2k 1|21 k2S ABC |BC|d ，12 |2k 1|1 4k2 1 4k4k2 1当 k0 时， k1，
9、当 kb0)的左、右焦点，x2a2 y2b2过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF 2|， |AB|，| BF2|成等差数列(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB| ，求 E 的方程解：(1)由椭圆定义知| AF2|BF 2| AB|4a，又 2|AB|AF 2|BF 2|，得|AB| a.43l 的方程为 y xc，其中 c .a2 b2设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 A，B 两点坐标满足方程组Error!化简得(a 2b 2)x22a 2cxa 2(c2b 2)0，则 x1x 2 ，x 1x2 . 2a2ca2
10、b2 a2c2 b2a2 b2因为直线 AB 的斜率为 1，所以| AB| |x2x 1| ，2 2x1 x22 4x1x2得 a ，故 a22b 2.43 4ab2a2 b2所以 E 的离心率 e .ca a2 b2a 22(2)设 AB 的中点为 N(x0，y 0)，由(1)知x0 c， y0x 0c .x1 x22 a2ca2 b2 23 c3由|PA| |PB|得 kPN1.即 1，得 c3，从而 a3 ，b3.y0 1x0 2故椭圆 E 的方程为 1.x218 y29探究提升12(20 分) 已知椭圆 C1： 1( ab0)的离心率为 ，直线 l：y x2 与以x2a2 y2b2 6
11、3 2原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切(1)求椭圆 C1 的方程；(2)过点 M(0，t)的直线 l(斜率存在时)与椭圆 C1 交于 P、Q 两点，设 D 为椭圆 C1 与y 轴负半轴的交点，且| | | |.求实数 t 的取值范围DP DQ 解：(1)e ，e 2 ，a 23b 2，63 c2a2 a2 b2a2 23直线 l：y x2 与圆 x2y 2b 2 相切， b，2222b2，b 24，a 212，椭圆 C1 的方程是 1.x212 y24(2)由(1)可知 D(0，2)，设直线 l：ykxt，()当 k0 时，显然20，可得 t2412k 2，设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，PQ 的中点为 H(x0，y 0)，则 x0 ，y 0kx 0t ，x1 x22 3kt1 3k2 t1 3k2H( ， )，由| | |，得 DHPQ，即 kDH ，3kt1 3k2 t1 3k2 DP DQ 1k ，即 t13k 2，t1 3k2 2 3kt1 3k2 0 1k将代入，得 0t4.综上，t 的取值范围为(2,4)
