1、3 月 13 日 归纳推理（1）高考频度： 难易程度：给出下面的等式：；192；31；4；1295；361由此猜测 24597A B C D131210【参考答案】C【试题解析】观察题干中给出的等式可知，第 1 个等式：等号左边变化的为 1 和 2，等号右边为 2 个 1；第 2 个等式：等号左边变化的为 12 和 3，等号右边为 3 个 1；第 3 个等式：等号左边变化的为 123 和 4，等号右边为 4 个 1；第 4 个等式：等号左边变化的为 1234 和 5，等号右边为 5 个 1；第 5 个等式：等号左边变化的为 12345 和 6，等号右边为 6 个 1因此，当等号左边为 1234
2、56 和 7 时，对应右边应为 7 个 1故选 C【解题必备】 （1）猜 想 往 往 依 据 直 觉 ， 而 归 纳 是 先 研 究 已 知 的 或 最 简 单 、 最 特 殊 的 情 况 ， 从中 发 现 规 律 ， 得 到 猜 想 由 归 纳 推 理 得 到 的 猜 想 更 合 乎 情 理 ， 更 准 确 此 类 型 问 题 主 要 包括 数 字 归 纳 型 和 式 子 归 纳 型 ： 数字归纳型是数字特点的归纳猜想问题，常见的有数表、数阵等；式子归纳型是代数式特点的归纳猜想问题，涉及等式、不等式等（2）对于选择题和填空题，要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程，因此要求结果必须准确而归
3、纳推理的结论并不一定正确，一般情况下需要对所得结论进行证明1观察下列式子：；213；5；227134则归纳猜想一般的不等式为A 2211(2)3nB 22()nC 2211(2)3D 22()n2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是A B289 1024C D15 3783已知如下等式：；246；8102416；2830以此类推，则 2018 出现在第_个等式中1D 【解析】观察题中给出的不
4、等式，易知每个不等式的不等号左边的最后一项的分母的底数等于右边的分母，不等号左边的最后一项的分母的底数与指数的乘积减去 等于右边的1分子，故一般的不等式为 ，故选 D2211(2)3n2C 【解析】记三角形数构成的数列为 ，则 ，na1， ， ，易得通项公式为312a3612a410234a；同理可得正方形数构成的数列 的通项公式为()nn nb将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得 都为正整数的只有2b故选 C15331 【解析】观察所给等式的特征和规律：所有等式中的数都是偶数；等式中数字的个数构成以 3 为首项，2 为公差的等差数列，所以第 个等式中有 个数字，前 个n21nn等
5、式中有 个数字，易知 是第 个数字，且(1)(2)nn20189， ，由此可得 在第 个等式30(2)9603320183中【名师提醒】推理和证明是高中数学的重要内容之一，也高考的重要考点之一，本题考查的是合情推理中归纳推理和数列的求和问题3 月 14 日 归纳推理（2）高考频度： 难易程度：（1）如图(a)，(b)，(c)，(d) 为四个平面图形，数一数每个平面图形含有多少个顶点、多少条边，它们将平面分成多少个区域?（2）由（1）推断一个平面图形的顶点数 、边数 和分平面所得区域的个数 之间有什VEF么关系?（3）现已知某个平面图形有 999 个顶点，且将平面分成了 999 个区域，试根据上
6、述关系确定这个平面图形有多少条边?【参考答案】见试题解析【试题解析】 （1）图(a)中平面图形的顶点数、边数和分平面所得区域的个数分别为3，3，2；图(b)中平面图形的顶点数、边数和分平面所得区域的个数分别为 8，12，6；图(c)中平面图形的顶点数、边数和分平面所得区域的个数分别为 6，9，5；图(d)中平面图形的顶点数、边数和分平面所得区域的个数分别为 10，15，7（2）对于图(a)：易知 ；32对于图(b)：易知 ；861对于图(c)：易知 ；59对于图(d)：易知 072通过观察可推断，顶点数 、边数 和分平面所得区域的个数 之间的关系为VEF2VFE（3）由已知 ， ，代入（2）中
7、所述关系式，得 ，故这个平面图形99F196E有 条边196【解题必备】猜想往往依据直觉，而归纳是先研究已知的或最简单、最特殊的情况，从中发现规律，得到猜想由归纳推理得到的猜想更合乎情理，更准确此类型问题主要包括图形数目归纳型和图形变化规律归纳型，归纳的途径有两条：按每个图形中单位图形的数目，按图形的变化特点1观察如图所示图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为A BC D2图中的线段按下列规则排列，试猜想第 9 个图形中的线段条数为A510 B512C1021 D10233用火柴棒摆“金鱼” ，如下图所示：按照上面的规律，第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为nA B82n 62nC D
8、1A 【解析】图形涉及圆、三角形、长方形三种符号，其中三角形与圆各有 3 个，且各有两黑一白，所以缺一个 故选 A2C 【解析】通过观察易知，第 1 个图形有 条线段；第 2 个图形有 条线段；2第 3 个图形有 条线段；4第 4 个图形有 条线段；182易知第 9 个图形有 条线段故选 C(4163412856)0213D 【解析】观察易知：第 1 个“金鱼”图中需要火柴棒 8 根，第 2 个“金鱼”图中比第 1 个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒 6 根，第 3 个“金鱼”图中比第 2 个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒 6 根，由此可猜测第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第 个“金鱼”图需要
9、火柴棒的根n1n数多 6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以 8 为首项，6 为公差的等差数列，易求得通项公式为 故第 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ，故选62nan62nD名校简介之南京大学校训：诚朴雄伟，励学敦行一所源远流长的高等学府，源自三国吴永安元年的南京太学近代校史肇始于 1902 年筹办的三江师范学堂，历经多次变迁，1949 年“国立中央大学”易名为“国立南京大学” ，翌年径称“南京大学” ，沿用至今这里是“中国科学社”的大本营，是泰戈尔、罗素、赛珍珠等西方名流所敬仰的东方学府3 月 15 日 类比推理类比定义高考频度： 难易程度：等和数列的定义是：若数列 从第二项起，以后每
10、一项与前一项的和都是同一常数，则此na数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和如果数列 是等和数列，且 ，na1a，则数列 的一个通项公式是_23an【参考答案】 2(1)n【试题解析】由定义知公和为 ，且 ，则 ，4142()na1(2)nna故 ，因为 ，所以 ，1()nnaa1n因为 符合上式，所以数列 的一个通项公式为 1 n ()nn【解题必备】 （1）在求解类比某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解（2）对于本题，解题的前提是正确理解等和数列的定义，将问题转化为一个等比数列来求解（3）选择题和填空题要求直接写出结果，不必写出计算或推理过程，因此要求结果必须准
11、确而类比推理的结论并不一定正确，类比的形式和方法不正确可能会造成结论错误，一般需要对所得结论进行证明（4）类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误1设 的三边长分别为 ， ， ， 的面积为 ，内切圆半径为 ，则ABC abcABC Sr；类比这个结论可知：若四面体 的四个面的面积分别为 ， ，2SrabcP 1S2， ，内切球的半径为 ，四面体 的体积为 ，则34rAB VrA B1234VSS 1234SSC D1234VSS 1234VSS2设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数列类nan4S848162比以上
12、结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ，_，_，bnT成等比数列162T1C 【解析】 的三条边长 ， ， 类比为四面体 的四个面的面积 ，ABC abcPABC 1S， ， ，三角形面积公式中的系数 类比为三棱锥体积公式中的系数 ，从而可2S34123知选 C （证明如下：以四面体各面为底，内切球的球心 为顶点的各三棱锥体积的和为O，则 ，所以 ）V123413SrSrr1234VSS2 【解析】等比数列类比等差数列时，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类84T12比结论为：设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， ， 成等比数列nbnT4812T63 月 16 日 类比推理类比性质高考频
13、度： 难易程度：平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件_；充要条件_【参考答案】见试题解析（符合题意即可） 【试题解析】 （1）类比平行四边形的两组对边分别平行可得：两组相对侧面分别平行是一个四棱柱为平行六面体的充要条件（2）类比平行四边形的两组对边分别相等可得：两组相对侧面分别全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件（3）类比平行四边形的一组对边平行且相等可得：一组相对侧面平行且全等是一个四棱柱为平行六面体的充要条件（4）类比平行四边形的对角线互相平分可得：主对角线互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充
14、要条件（5）类比平行四边形的对角线互相平分可得：对角面互相平分是一个四棱柱为平行六面体的充要条件（备注：此题答案不唯一，所填答案符合题意即可）【解题必备】 （1）从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程由平行四边形的性质类比到平行六面体的性质，注意结论类比的正确性（2）将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形点 直线 平面 边长 面积 三角形 线线角平行四边形圆立体图形点、线直线、平面几何体边长、面积体积 四面体 面面角平行六面体球1试根据等式的性质猜想不等式的性质：等式 不等式（1）
15、猜想： _；abcab（2） 猜想： _；（3） 猜想： _2 2三角形与四面体有下列相似性质：（1）三角形是平 面 内 由 直 线 段 围 成 的 最 简 单 的 封 闭 图 形 ； 四 面 体 是 空 间 中 由 三 角 形 围成 的 最 简 单 的 封 闭 图 形 （2）三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形的三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心1 【解析】类比等式的性质可得不等式acb(0)ac2(|)ab的性质注意等式成立的条件2 【解析】三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面（以任意三条棱的中点为顶点的三角形） ，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表：三角形 四面体
