1、第 36 课时 函数模型及其应用（二）【学习目标】1能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题；2提高学生根据实际问题建立函数关系的能力【课前导学】1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息 （就是人们常说的“利滚利” ） 设本金为 ，每期利率为 ，存期为 ，则本金与利息和 prx答案： (1)xyr2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金设本金为 ，每期利率为 ，存期pr为 ，则本金与利息和 x答案： ()3在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为 ，平均增N长率为 ，则对于时间 的总产值 ，可以用公式 表示pxy答
2、案： 1yN【课堂活动】一建构数学：总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义二应用数学：例 1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是 ,经过一定OT时间 后的温度是 ,则tT,1()(2thaoaT其中 表示环境温度, 称为半衰期 .ah现有一杯用 热水冲的速容咖啡,放在 的房间中,如果咖啡降到 需要8c 4c 40c,那么降温到 时,
3、需要多长时间?20min35解：由题意知 ,即 ,解之,得 ,故 20140284()h201()h10,0()tT当 时,代入上式, 得 ,35 103524(8)(2t即 ， 两边取对数,用计算器求得10()264t5.4t因此,约需要 ,可降温到 .minc【解后反思】本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例 2 现有某种细胞 个，其中有占总数 的细胞每小时分裂一次，即由 个细胞分裂成10121个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超
4、过 个？（参考数据：0） .lg30.47,l.3分析：现有细胞 个，先考虑经过 、 、 、 个小时后的细胞总数134解： 小时后，细胞总数为 ；102102小时后，细胞总数为 ；2 9小时后，细胞总数为 ；3197428小时后，细胞总数为 ;4711002086可见，细胞总数 与时间 （小时）之间的函数关系为： ，yx 3xyN由 ，得 ，两边取以 10 为底的对数，得 ，103102x83102 lg82 ， ，8lg45.lg.47.31 . 45x答：经过 小时，细胞总数超过 个.610【解后反思】本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数 与时间 之间的函数关系式；解类似yx这类的不等式，通
5、常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解xab这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法” ，是高中数学中非常重要的一种方法例 3 某公司拟投资 万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率 ，按单利计算，10 10%年后收回本金和利息；另一种是年利率 ，按每年复利一次计算， 年后收回本金和利59%5息哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资 年可多得利息多少元？参考数据：5， 1.09.8646.9.,1.0.7分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣解：本金 万元，年利率 ，按单利计算， 年后收回的本息和是10
6、10%5万元，(5)本金 万元，年利率 ，按每年复利一次计算， 年后收回的本息和是9万元，3.86因此，按年利率 的复利一次计算要比按年利率 的单利计算更有利， 年后多得利息105万元3.86【解后反思】我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄例 4 容器中有浓度为 m的溶液 a 升，现从中倒出 b 升后用水加满，再倒出 b 升后用水加满，求这样进行了 10 次后溶液的浓度解：（1 ） 10mba例 5 在经济学中,函数 的边际函数 定义为 = .某公司每月()fx()Mfx()fx1)(fx最多生产 台报警系统装置, 生产 台( )的收入函数 (单位:元),0N230R其成
7、本函数为 (单位:元),利润是收入 与成本之差.()540C（1 ）求利润函数 及边际利润函数 ;PP（2 ）利润函数 与边际利润函数 是否具有相同的最大值?x)x解：由题意知, ,且 .1(1) = ()R，230(504)xx20540xMPP2 2(1)1x；48x(2) 205401()7当 或 时, 的最大值为 (元).6x3()Px7120因为 是减函数, 所以当 时, 的最大值为 (元).2480MPx)MPx240因此, 利润函数 与边际利润函数 不具有相同的最大值.()()例 6 某个经营者把开始六个月试销 A B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资 A 种商品金额
8、(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.651.391.85 21.841.40投资 B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元)0.250.490.76 11.261.51该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品，但不知投入 A B 两种商品各多少才最合算. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字 ).解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y = a (x 4)2 + 2 (a0) y
9、= bx 把 x = 1，y = 0.65 代入式，得0.65 = a (1 4)2 + 2，解得 a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资 A 商品的金额的函数关系式可近似地用 y = 0.15(x 4)2 + 2 表示，再把 x = 4，y = 1 代入式，得 b = 0.25，故前六个月所获利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系可近似地用 y = 0.25x 表示.设下月投资 A 种商品 x 万元，则投资 B 种商品为(12 x)万元，可获纯利润y = 0.15 (x 4)2 + 2 + 0.25 (12 x) = 0.15x2 + 0.95x + 2.6，当 0.95(1)
10、3.2 时， 2max4.6095y 4.1.故下月分别投资 A B 两种商品 3.2 万元和 8.8 万元，可获最大纯利润 4.1 万元.【解后反思】信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等【注意点】1在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求2在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化3对于建立的各种数学模型，要能够模型
11、识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功本节涉及的函数模型有：一次函数二次函数分段函数及较简单的指数函数和对数函数其中，最重要的是二次函数模型三理解数学：1某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20，要使水中杂质减少到原来的 5以下，则至少需要过滤的次数为 14 （参考数据lg20.3010 ，l g30.4771 ） 2有一批材料可以建成 200m 的围墙，如果用此材料在一边靠
12、墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示） ，则围成的矩形最大面积为_m 2（围墙厚度不计） 解：设矩形宽为 xm，则矩形长为（ 2004 x）m，则矩形面积为S x（200 4x）4（x25） 22500（0x 50 ） ，x 25 时，S 有最大值 2500m23一家人（父亲母亲孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，23试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表
13、达式，比较选择哪家更优惠？解：设两家旅行社的原价为 a（a0） ，家庭孩子个数为 x（x N*） ，甲乙两家旅行收费分别为 f（ x）和 g（x） ，则 f（x ）a（x1） x a（x N*） ，a2 a2 32g（x ）（ x2） x （x N*） ， 2a3 2a3 4a3g（x ）f（x） ，得 x x ，x1a2 3a2 2a3 4a3因此，当家庭只有 1 个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于 1 个时，应选择甲旅行社4某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的 80出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额的范围 200，400）400，5
14、00） 500，700） 700，900）获得奖券的金额 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价 400 元的商品，则消费金额为 320 元，获得的优惠额为 4000.230110 元，设购买商品的优惠率试问：购 买 商 品 获 得 的 优 惠商 品 的 标 价（1 ）若购买一件标价为 1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于 的优惠率？13答案：（1）优惠率为 33；（2 ）标价在625，750内的商品，购买时可获得不小于 的优惠率135经市场调查，某商
15、品在近 100 天内，其销售量和价格均为时间 t 的函数，且销售量近似地满足关系 g（t ） t ， （t N，0t100） ，在前 40 天里价格为 f（t） t22 （t13 1093 14N，0t40） ，在后 60 天里价格为 f（t ） t52（t N，40t100） ，求这种商品12的日销售额的最大值解：由题意知，当 0t 40，h （t ） （t10.5） 2 ；112 3880948当 40t100，h （t） （t106.5 ） 2 ；t10 或 11 时，这种商品的日销售额16 2524的最大值为 808.5【课后提升】1.一种商品连续两次降价 10%后，欲通过两次连续提价
16、恢复原价，则每次应提价 11.1% 2某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加 ，第三年比第二年增加 ，求21%4%这两年的平均增长率 解：设该产品第一年的年产量为 ，两年的平均增长率为 ，则 ax211%4ax解得 .323按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息 8，零存每月利息 2，现把 2 万元存入银行 3 年半，求取出后本利的和解：3 年半本利和的计算问题，应转为 3 年按年息 8计算，而半年按 6 个月（月息 2）计算，又由于是复利问题，故取出 2（1 8） 3（1 2） 6 万元4某租赁公司拥有汽车 辆当每辆车的月租金为 元时，可全部租出当每辆车的00月租金每增加 元时，未出租
17、的车将会增加一辆租出的车每辆每月需要维护费 元，未5 150租出的车每辆每月需要维护费 元5（1 ）当每辆车的月租金定为 时，能租出多少辆车？36（2 ）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：（1）当每辆车的月租金定为 时，0未租出的车辆数为 ，0125租出了 辆车8（2 ）设每辆车的月租金为 元，则租赁公司月收益为x(3)整理后得30(10)5xy21605xy24375当 时， 的最大值为 ，即当每辆车的月租金定为 元时，租赁公司的0x 405月收益最大为 元点评：月收益 每辆车的租金 租出车辆数 车辆维护费最值问题一定要考察取最值的条件，因此，求定义域是必不可少的环节5为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形 ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园 POCR（公园的两边分别落在 BC 和 CD 上） ，但不能超过文物保护三角形 AEF 的红线 EF问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积已知 ABCD200m，BCAD160m，AE 60m ，AF40m 解：设 POx ，则 S （x190） 2 1902，0x 200，23 23即 x190 时，最大面积为 24067m2w.w.w.st.c.o.m高 考试题|库
