1、13.1 命题、定理与证明第 1 课时1. 能说出命题、真命题、假命题、公理和定理的含义2. 会区分命题的条件(题设)和结论，奠定推理论证的基础3. 能用举反例的方法证明或判断简单的假命题；进一步学习证明，熟悉证明的步骤与书写格式教材知识详析要点 1 命题 可以判断正确或错误的句子叫做命题，或者说，具有判断性的语句叫做命题理解命题的定义要注意两点：命题必须是一个完整的句子，通常是一个陈述句；命题具有明确的判断性，这个判断既可以是肯定的，也可以是否定的命题的判断性是它最明显的特征，而且这个特征要明确、直截了当、毫不含糊如“我很喜欢老师” （叙述句） 、 “这个道理你明白吗？（疑问句） ”这两句话
2、都没有判断性，所以都不是命题要想使之成为命题，都需改为“是”或“不是”的形式：“我是很喜欢老师的学生” 、 “这个道理是很明白的” ，这才是命题.例 1 下列语句中不是命题的是( ) （1）两点之间，线段最短；（2）不许大声说话；（3）连结 A、B 两点；（4）花儿在春天开放；（5）不相交的两条直线叫做平行线；（6）无论 为怎样的自然数，式子n的值都是质数吗？nA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个精析：抓住命题的两层含义：必须是陈述句；能作出肯定或否定的判断故(1)(4)(5)是命题；(2)(3)(6)不是，答案为：C.解答：C.归纳整理：凡是疑问句或命令性语句都不是命题要点
3、 2 命题的结构一个命题由题设和结论两部分构成，题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项一般地，命题都可以写成“如果(若) ，那么(则) ”的标准形式，其中“如果”后面引出的事项是题设， “那么”后面引出的事项是结论有些命题并没有写成“如果(若) ，那么(则) ”的形式，我们可以在保持命题意思不变的情况下，改写成“如果(若) ，那么(则) ”的标准形式，再找出它的题设和结论例 2 请写出下列命题的题设和结论(1)如果两条直线相交，那么一定有一个交点；(2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；(3)等腰三角形的两底角相等精析：按照命题的标准形式”如果，那么”分析题设、结论解答：(1)题设
4、：两条直线相交，结论：它们一定有一个交点(2)这个命题可以直接加上”如果，那么” ，成为标准形式 ”如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等 ”题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：内错角相等(3)这个命题需要断开成两句话，然后扩充成标准形式为” 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等” 题设：一个三角形是等腰三角形，结论：这个三角形的两个底角相等关键提醒：在把(3)改写成标准形式时，不能机械地从命题中间断开，然后加入 ”如果，那么” ，应在理解命题意思的基础上改写，改写注意到：保持命题意思不变；题设、结论的语句完整要点 3 命题的真、假如果一个命题叙述的事情是正确的
5、，则称它为真命题，如果一个命题叙述的事情是假的，则称它为假命题顿有所悟：（1）一个命题要么是真命题，要么是假命题，只能是二者中的一个（2）真命题的条件和结论有着必然的逻辑关系，结论是条件的必然推理结果；而假命题的条件和结论没有必然的逻辑联系，即由条件无法推出结论（3）要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.例 3 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举一个反例加以说明(1)直角都相等；(2)相等的角都是直角；(3)如果|a| |b|，那么 ab.精析：结合已知的数学知识进行判断解答：(1)是真命题，(2) 为假命题，若A
6、B100，但A、B 不是直角；(3)也为假命题，若 a5，b5，此时|a| |b|5，但 ab.关键提醒：构造反例的要点：符合命题的题设，但不符合命题的结论要点 4 公理、定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理本册教材把下列真命题作为公理：两点确定一条直线；两点之间线段最短；过直线外一点有且只有一条直线与之平行；同位角相等，两直线平行；全等三角形的对应边、对应角分别相等.数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理命题、公理、
7、定理之间的关系如下图：（1） 命题Error!（2） 定理都是真命题，但真命 题不一定都是定理，只有那些经过推理是正确的，且有很大实用价值的命题才叫定理.（3） 在数学中与定理有关的名词还有定义、推 论和公式等，推论是由定理派生的，公式是定理的符号化，它们都是真命 题.例 4 下列真命题能作为公理的是（ ）A.等腰三角形的两个底角相等B.平行四边形的对角线互相平分C.经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.全等三角形的对应边、对应角分别相等精析：公理是人们在长期的实践中总结出来的，它不需要证明C 是在作图过程中通过度量得到的， A、B、C 都是利用其他的公理或定理证明出来的，因此 C 是公理
8、解答：D.归纳整理：理解公理需要明确两点：(1)公理是不需要推理证明的真命题； (2)公理可以作为判定其他命题真假的依据理解定理也要明确两点：(1)定理都是真命题，但真命题不一定是定理；(2) 定理可以作为推证其他命题真假的依据要点 5 证明几何命题的一般步骤1. 审题：理解命题的意思，分清题设、结论2. 画图：根据题意画出图形，并在图形上标明相应的字母注意：图形力求准确，且具有一般性，切忌将图形特殊化3. 写出已知、求证：把命题中用文字叙述的题设、结论，结合图形“翻译”成用数学符号表述的“已知” 、 “求证” 4. 探究证明思路：从已知条件出发，结合学过的定义、公理、定理、性质、判定、公式、
9、法则等，探索由已知推出结论的思路5. 写出证明过程：把探索的推理思路规范地书写出来，要求每一步有理有据，逻辑严密，最后得出结论注意，不能把结论当作已知条件使用例 5 证明等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高精析：按照证明几何命题的一般步骤进行已知：如图，在ABC 中，ABAC ，点 D 是 BC 边上任意一点，DEAB，垂足为点E，DFAC，垂足为点 F，CG AB，垂足为点 G.求证：DEDFCG.证明：连结 AD. S ABC S ABD S ACD ，又 S ABC ABGC，S ABD ABDE，S 12 12ACD ACDF，12 ABGC ABDE ACDF.12 1
10、2 12 ABAC， DE DFGC.拓展反思：本题运用面积法证明结论， “面积法”是几何解题中的一种重要方法拉分典例探究综合应用题例 1（要点 推断类题型）如图 1，把边长为 4 的正三角形各边四等分，连接各分点得到 16 个小正三角形（1）如图 2，连接小正三角形的顶点得到的正六边形 ABCDEF 的周长= .（2）请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题如果是真命题，请你把它改写成“如果，那么”的形式；如果是假命题，请在图 1 中画图说明精析：（1）正六边形的各边长都等于 1，所以周长=61=6 （2）题中只判断了角，没有确定边，所以是假命题；解答：（1）正六边
11、形的各边长都等于 1，周长=61=6来源:学优高考网（2）命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是假命题，题设为：一个六边形的六个内角相等，结论为：这个六边形是正六边形反例如下图等 探索发现：正六边形的各边长相等，各内角相等证明一个图形是正六边形，应从边和角两方面结合进行判断例 2（要点 叙述类题型）追求真理是人类永恒的目标 数学不仅要回答“什么是数学真理” ，还必须回答“为什么” 它是数学真理 为了证明数学真理，就需要证明，证明就是用人人皆同意的一些“公理”与规定名词的意义，把我们以前仅凭直观或实验探索发现过的结论成为公理的逻辑推论，这样就有很强的说服力 请你在以下 2 个命题中任选一个加以
12、逻辑证明，并在你选证的命题前面括号内打“” （ ）如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边” ） （ ）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简称：内错角相等，两直线平行）.精析：若选择，首先画出图形，分析原命题，找出其条件与结论，然后根据B= C 证明ABC 为等腰三角形，从而得出结论解答：已知：如图，在ABC 中，B=C，求证：AB=AC.证明：在ABC 中，B=C，ABC 为等腰三角形，AB=AC归纳演绎：本题考查命题的证明，命题证明要画图，写出已知、求证，然后进行证明探究创新题例 3（要点 信息给予类题型）对于同一平面内的三条直
13、线 a，b，c，给出下列五个论断：ab；bc；ab；ac；ac ，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题_解析：这是一道探索性问题，题意是从五个论断中选取两个作为题设，剩下三个中取一个作为结论，组成真命题基本思考方法是：先写出可能的命题，再判断真假解答：真命题有：(1)a，b，c 在同一平面内，如果 ab，bc，那么 ac；(2)a，b，c 在同一平面内，如果 ab，ac，那么 bc；(3)a，b，c 在同一平面内，如果 bc，ac，那么 ab；(4)a，b，c 在同一平面内，如果 ab，ac，那么 bc；(5)a，b，c 在同一平面内，如果 ac，bc，那么 ab；(
14、6)a，b，c 在同一平面内，如果 ab，bc，那么 ac.归纳演绎：本题考查了命题的叙述形式，利用了平行线、垂线的判定方法例 4（要点 图表信息类题型） 郭老师在一次”探究性学习”中，设计如下数表：n 2 3 4 5 a 221 321来源:学优高考网 gkstk421 521来源:gkstk.Comb 4 6 8 10 c 221 321 421 521 (1)请你分别观察 a、b、c 与 n 之间的关系，并用含有自然数 n(n1)的代数式表示：a、b、c.(2)猜想：以 a、b、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想精析：(1)仔细观察表中数据不难得到 an 21，b2n， c
15、n 21；(2) 由 n2,3,4,5 时，三角形都是直角三角形，于是猜想：以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理来判断解答：(1)an 21，b2n，cn 21；(2)是直角三角形，证明如下：因为 a2b 2( n21) 2(2n) 2n 42n 21，c 2(n 21) 2n 42n 21，所以 a2b 2c 2，即以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形技法规律：本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可例 5. （要点 推断类题型）甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听 “砰”的一声，
16、球击中了李大爷家的窗户李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了李大爷问：“是谁闯的祸？ ”甲说：“是乙不小心闯的祸 ”乙说：“ 是丙闯的祸 ”丙说：“ 乙说的不是实话 ”丁说：“反正不是我闯的祸 ”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，究竟是谁闯的祸（ ）A、甲 B、乙 C、丙 D、丁精析：若甲说的是实话，则丙说的也是实话，所以甲说的是假话，则一定不是乙闯的祸；若乙说的是真话，则丁说的也是真话，所以乙说的一定是假话，则不是丙闯的祸，所以丙说的话是真话，丁说的是假话则一定是丁闯的祸来源:gkstk.Com解答：本题可分三种情况进行讨论：若甲真，则乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；来源:gkstk.Com若甲假，乙真，则丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；若甲假，乙假，则丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁故选 D技法规律：此类题可以用假设的方法，根据只有一人说的是实话进行逐步推理
