1、高新一中 2013 高考数学一轮复习单元练习-点、直线、平面之间的位置关系I 卷一、选择题1设有直线 m、n 和平面 、 ,下列四个命题中，正确的是（ ）A若 /,/则B若 /,/, 则nmnC若 则, D若 /,则【答案】D2高为 的四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同2一球面上，则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为( )A B 102 2 32C D32 2【答案】A3若 /l， ，则下列说法正确的是（ ）A过 在平面 内可作无数条直线与 l平行B 过 在平面 内仅可作一条直线与 平行C 过 在平面 内可作两条直线与 l
2、平行D 与 A的位置有关【答案】B4若三个不同的平面 、 满足 ，则它们之间的位置关系是（ ）A B C 或 D 或 与 相交【答案】D5已知三条直线 a,b,c 和平面 ，则下列推论中正确的是（ ）A若 a/b,b ,则 a/B /，b/ ，则 a/bC若 ab/共面，则 a/bD c,b，则 a/b【答案】C6 “直线 l垂直于平面 内的无数条直线”是“ l”的 ( ）A充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】B7 已知直线 l与平面 成 30角，则在 内 ( ） A没有直线与 垂直 B至少有一条直线与 l平行 C一定有无数条直线与 l异面 D有且只有一条直线
3、与 l共面【答案】C8已知三条不重合的直线 m、n、l 两个不重合的平面 ,，有下列命题若 /,/,/,/l且 则 ,/,/lml若 且 则若 /则若 ,n则 n其中真命题的个数是（ ）A4 B3 C2 D 1【答案】C9已知 、 是两上不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：若 ,则 ；若 /n，则 /如果 ,是异面直线，那么 n 与 相交；若 ,/,m且 则 /且 。其中正确的命题是 ( ）A B C D【答案】D10 设 ,n是两条不同的直线， ,是三个不同的平面，给出下列四个命题：若 m， /，则 n 若 /， /， m，则 若 /， n，则 m/ 若 ， ，则 /其中正
4、确命题的序号是 ( )A和 B和 C和 D和【答案】A11已知 a、 b、 c为三条不重合的直线，下面有三个结论： 若 cab,则 ；若 ,则 ；若 a ,bc则 a.其中正确的个数为 ( ）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 【答案】B12已知 ， 是三个不同的平面，命题“，且 ”是真命题如果把， 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】CII 卷二、填空题13如图，AB 为圆 O 的直径，点 E 在圆 O 上，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直求证：AE平面 CBE.【答案】 平面 AB
5、CD平面 ABE，CBAB，平面 ABCD平面 ABE=AB，CB 平面ABE，AE 平面 ABE，AECB，AB 为圆 O 的直径，AEBE ，又 BECB=B，AE平面 CBE.14已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=_.【答案】315设 ， 是空间两个不同的平面，m ，n 是平面 及平面 外的两条不同直线从“mn；n ；m ”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_( 填序号) 【答案】(或)16在空间中，有如下命题：互相平行的两条直线在同一个平面内的射
6、影必然是互相平行的两条直线；若平面 平面 ，则平面 内任意一条直线 m平面 ；若平面 与平面 的交线为 m，平面 内的直线 n直线 m，则直线 n平面 ；若平面 内的三点 A，B，C 到平面 的距离相等，则 .其中正确命题的个数为_【答案】1三、解答题17如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB BB1BC，AC1平面 A1BD，D 为 AC 的中点(1)求证：B1C平面 A1BD；(2)求证：B1C1平面 ABB1A1；(3)在 CC1 上是否存在一点 E，使得BA1E45，若存在，试确定 E 的位置，并判断平面 A1BD与平面 BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由【答案】(1)
7、连结 AB1 与 A1B 相交于 M，则 M 为 A1B 的中点连结 MD，又 D 为 AC 的中点，B1CMD ，又 B1C平面 A1BD，MD 平面 A1BD，B1C平面 A1BD.(2)AB B1B，平行四边形 ABB1A1 为正方形，A1BAB1. 又AC1 平面 A1BD，AC1A1B ，A1B 平面 AB1C1，A1BB1C1.又在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB1B1C1，B1C1平面 ABB1A1.(3)设 ABa，CEx，B1C1A1B1，在 RtA1B1C1 中有 A1C1 a，同理 A1B1 a，2 2C1Eax，A1E ，BE ，2a2 (a x)2 x2 3a2
8、 2ax a2 x2在A1BE 中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1BA1Ecos45 ，即a2x22a2x23a2 2ax2 a ，2 3a2 x2 2ax22 2a x，3a2 x2 2axx a，即 E 是 C1C 的中点，12D、E 分别为 AC、C1C 的中点，DE AC1.AC1平面 A1BD，DE平面 A1BD.又 DE平面 BDE，平面 A1BD平面 BDE.18如图，平面四边形 ABCD的四个顶点 ABCD，均在平行四边形 ABCD所确定的平面外，且 ABCD，互相平行求证：四边形 是平行四边形【答案】四边形 ABCD是平行四边形，且 ， 是平面 AD内的两条相交直线
9、， B， C是平面 B内的两条相交直线，平面 AD 平面 BC又 ，分别是平面 与平面 A，平面 的交线，故 四边形 ABCD是平行四边形19已知平面 平面 ，平面 平面 ，且 a，求证：a。【答案】证法 1:如图 1：在 内取一点 P，作 PA 于 A，PB 于 B，则 PAa，PBa ，又 PA，PB ，PAPBP， a。证法 2：如图 2，在 a 上任取一点 Q，作 QC 于 C，a，Q，又 ，QC ，同理可证 QC ，QC 为 与 的交线 a， a。证法 3：如图 3，在 a 上取点 R，在 内作 RD 垂直于 、 的交线 l 于 D，RD，同法在 内，作 RE 垂直于 ，交 与 的交
10、线 m 于 E，则 RE，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，RD、RE 重合，则它既包含于 ，又包含于 ， a。证法 4：如图 4，在 、 内分别取 M、N 分别作 、 的交线 l 和 、 的交线 m 的垂线c，d，则 c，d，cd ， ca， a。20如图，在四面体 ABOC 中，OCOA，OCOB，AOB120，且 OAOBOC1.(1)设 P 为 AC 的中点，证明：在 AB 上存在一点 Q，使 PQOA ，并计算 的值ABAQ(2)求二面角 OAC B 的平面角的余弦值【答案】解法一：(1)证明：在平面 OAB 内作 ONOA 交 AB 于 N，连结 NC.又 OAOC，OA平面
11、 ONC.NC平面 ONC，OANC.取 Q 为 AN 的中点，则 PQ NC.PQOA.在等腰AOB 中，AOB120，OABOBA30.在 Rt AON 中，OAN30 .ON ANAQ.12在ONB 中，NOB1209030NBO ，NBONAQ. 3.ABAQ(2)连结 PN、PO.由 OCOA，OCOB 知：OC 平面 OAB.又 ON平面 OAB，OCON.又由 ONOA 知：ON平面 AOC.OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影在等腰 RtCOA 中，P 为 AC 的中点，ACOP.根据三垂线定理，知：ACNP.OPN 为二面角 OAC B 的平面角在等腰 RtCOA 中，O
12、C OA 1，OP 22在 Rt AON 中，ONOAtan30 33在 RtPON 中，PN ，OP2 ON2306cosOPN POPN22306 155解法二：(1)证明：取 O 为坐标原点，分别以 OA，OC 所在的直线为 x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz( 如图所示 )则 A(1,0,0)，C(0,0,1)，B( ， ，0)12 32P 为 AC 中点， P( ，0， )12 12设(0,1)，( ， ，0)，32 32(1,0,0)( ， ，0) (1 ， ，0)32 32 32 32( ， ， )12 32 32 12PQOA，0，即 0， 12 32 13存在点 Q
13、( ， ，0)使得 PQOA 且 3.12 36 ABAQ(2)记平面 ABC 的法向量为 n(n1 ，n2，n3)，则由 n，n，且(1,0， 1)，得Error! 故可取 n(1 ， ，1)3又平面 OAC 的法向量为 e (0,1,0)，cosn，e (1， r(3)， 1)(0， 1， 0)51 35二面角 OACB 的平面角是锐角，记为 ，则 cos 15521如图所示，AB 为圆 O 的直径，点 E、F 在圆 O 上， ABEF，矩形 ABCD 所在的平面和圆 O所在的平面互相垂直，且 AB2，ADEF1.(1)求证：AF平面 CBF；(2)设 FC 的中点为 M，求证：OM平面
14、DAF.【答案】 (1)平面 ABCD 平面 ABEF，CB AB ，平面 ABCD平面 ABEFAB，CB平面 ABEF.AF平面 ABEF，AFCB.又AB 为圆 O 的直径，AFBF.AF平面 CBF.(2)设 DF 的中点为 N，连结 MN、AN ，则 MN 綊 CD.又 AO 綊 CD，则 MN 綊 AO.12 12四边形 MNAO 为平行四边形OMAN.又AN平面 DAF，OM平面 DAF，OM平面 DAF.22如图，已知直角梯形 ABCD的上底 2，1/,2BCAD， CAD，平面PDC平面 ， P是边长为 的等边三角形。(1）证明： ABP；(2）求二面角 D的大小。(3）求三棱锥 的体积。【答案】 （1）在直角梯形 C中，因为 2AD， 2BC， ,D所以2()6AB。因为 CD，平面 P平面 B，平面 P平面 A，所以 BC平面P，因此在 Rt中，26C。因为 /,BA所以 平面 D，所以在 RtD中，22()1D。所以在 P中， 2BP，所以 ABP。
