1、基本不等式（第一课时）授课教师：浙江省桐乡第一中学 石小丽教材：人教版高中数学必修 5 第三章一、教学目标1通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；2进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；3结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；4借助例 1 尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 2ba的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体
2、会方法与策略以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2ba 的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式三、教学过程：1动手操作，几何引入如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？在正方形 ABCD中有 4 个全等
3、的直角三角形设直角三角形两条直角边长为 ba,，那么正方形的边长为 2于是，4 个直角三角形的面积之和 abS1，正方形的面积 22aS由图可知 1，即 ab探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）假设两个正方形的面积分别为 a和 b（ ），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现： 2ba2代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若 Rba,，则 ab22若 ,，则 学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形
4、动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若 Rba,，则 ab2；（2）若 Rba,，则 2ba请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明证法一（作差法）： 0)(22baba，当 时取等号（在该过程中，可发现 ba,的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于 R,，于是ab要证明 ab2，只要证明 ， 即证 0ab，即 )(2a，该式显然成立，所以 ab2，当 时取等号得出结论，展示课题内容基本不等式:若 Rba,，则 2ba（当且仅当 ba时，等号成立）若 ,，则 （当且仅当 时，等号成立）深化认识：称 ab为 ,的几何平均数；称 2ba为 ,的算术平均数
5、基本不等式 2ba又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数3几何证明，相见益彰探究三：如图， AB是圆 O的直径，点 C是 AB上一点， aC， bB过点 C作垂直于 AB的弦 DE，连接 ,根据射影定理可得： abC由于 Rt O中直角边 斜边 OD，于是有 2ba当且仅当点 C与圆心 重合时，即 ba时等号成立故而再次证明：当 0,ba时， 2ab（当且仅当 时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）4应用举例，巩固提高例 1.（1）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？DCA BEO（2
6、）一段长为 36 米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例 1 的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于 Ryx，（1）若 p（定值） ，则当且仅当 ba时， yx有最小值 p2；（2）若 syx（定值） ，则当且仅当 时， 有最大值 4s（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神）例 2.求 )0(1xy的值域变式 1. 若 2，求 2的最小值在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示 )0(1xy的函数图象，使学生再次感受数形结合的数学思想并通过例
7、 2 及其变式引导学生领会运用基本不等式 2ba的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略练一练（自主练习）：1.已知 0,yx，且 182yx，求 xy的最小值2.设 R,，且 ，求 3的最小值5归纳小结，反思提高基本不等式：若 ba,，则 ab22（当且仅当 ba时，等号成立）若 R,，则 （当且仅当 时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法媒体展示，渗透思想：若将算术平均数记为 21yxz，几何平均数记为 xyz2利用电脑 3D 技术，在空间坐标系中向学生展示基本不等式的几何背景：平面 21yxz在曲面 xyz2的上方6布置作业，课后延拓（1）基本作业：课本 P100 习题 A组 1、2 题（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他几何解释，整理并相互交流（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量这种说法对吗？并说明你的结论.精品资料。欢迎使用。学优高考网w。w-w*GkStK学优高考网w。w-w*GkStK高考 试题库
