1、第 3 章 3.2 第 4 课时一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 是 AA1的中点，则点 A1到平面 MBD 的距离是( )A. a B. a66 306C. a D. a34 63解析： 以 D 为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为 a，则 A1(a,0， a)， A(a,0,0)， M ， B(a， a,0)， D(0,0,0)，(a， 0，12a)设 n( x， y， z)为平面 BMD 的法向量，则 n 0，且 n 0，BM DM 而 ， .BM (0， a， 12a) DM (a， 0， 12a)所以Error!
2、所以Error!令 z2，则 n(1,1,2)， ( a,0， a)，DA1 则 A1到平面 BDM 的距离是 d a.|DA1 n|n| 66答案： A2.如图所示，在几何体 A BCD 中， AB面 BCD， BC CD，且AB BC1， CD2，点 E 为 CD 中点，则 AE 的长为( )A. B.2 3C2 D. 5解析： ，AE AB BC CE | | |1| |，AB BC CE 且 0.AB BC AB CE BC CE 又 2( )2，AE AB BC CE 23，AE AE 的长为 .故选 B.3答案： B3若正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为 1， AB1
3、与底面 ABCD 成 60角，则 A1C1到底面 ABCD 的距离为( )A. B133C. D.2 3解析： 如图， A1C1面 ABCD，所以 A1C1到平面 ABCD 的距离等于点 A1到平面 ABCD 的距离，由 AB1与面 ABCD 所成的角是 60， AB1. BB1 .3答案： D4.如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1， O 是底面A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1的距离是( )A. B.12 24C. D.22 32解析： 取 B1C1的中点 E，连结 OE，则 OE C1D1. OE面 ABC1D1， O 点到面 ABC1D1的距离等于
4、 E 点到平面 ABC1D1的距离过 E 作 EF BC1，易证 EF面 ABC1D1EF ，点 O 到平面 ABC1D1的距离为 ，故选 B.24 24答案： B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5.如图， P 为矩形 ABCD 所在平面外一点， PA平面 ABCD，若已知AB3， AD4， PA1，则点 P 到 BD 的距离为_解析： 作 AE BD 于 E，连结 PE， PA面 ABCD. PA BD BD面 PAEBD PE，即 PE 的长为点 P 到 BD 的距离在 Rt PAE 中， AE ，125PE .12 (125)2 135答案： 1356如图所示，在直二面角 l
5、中，A， B l， AC ， AC l， BD ， BD l， AC6， AB 8， BD24，则线段 CD 的长为_解析： AC AB， BD AB， AC BD， 0， 0， 0，AC AB BD AB AC BD ，CD CA AB BD 2( )2676，CD CA AB BD | |26.CD 答案： 26三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7在正方体 ABCD A1B1C1D1中棱长为 1，利用向量法求点 C1到 A1C 的距离解析： 如图所示，以 A 点为坐标原点，以 AB、 AD、 AA1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(
6、0,0,1)， C(1,1,0)， C1(1,1,1)，所以 A1C 的方向向量为 (1,1，1)， C1与直线 A1C 上一点 C(1,1,0)的向量A1C (0,0,1)CC1 所以 在 上的投影为： .CC1 A1C CC1 A1C |A1C | 13所以点 C1到直线 A1C 的距离 d|CC1 |2 |CC1 A1C |A1C |2 .1 13 638已知正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 a， E、 F、 G 分别是 CC1、 A1D1、 AB 的中点，求点A 到平面 EFG 的距离解析： 如图建立空间直角坐标系，则 A(a,0,0)， E ， F ， G ，(0， a，a
7、2) (a2， 0， a) (a， a2， 0) ，EF (a2， a， a2) ，EG (a， a2， a2) ，GA (0， a2， 0)设 n( x， y， z)是平面 EFG 的法向量，则Error!，Error!， x y z，可取 n(1,1,1)， d a.|GA n|n|a23 36即点 A 到平面 EFG 的距离为 a.36 尖子生题库9(10 分)如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形， ACB90，侧棱 AA12， CA2， D 是 CC1的中点，试问在 A1B 上是否存在一点 E 使得点 A1到平面AED 的距离为 ？263解析： 以点 C
8、为坐标原点， CA， CB， CC1所在直线为 x 轴， y 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)， A1(2,0,2)， D(0,0,1)， B(0,2,0)，设 ， (0,1)，则 E(2 ，2(1 )，2 )BE BA1 又 (2,0,1)， (2( 1)，2(1 )，2 )，AD AE 设 n( x， y， z)为平面 AED 的法向量，则Error!Error! ，取 x1，则 y ， z2，1 31 即 n .(1，1 31 ， 2)由于 d ，|AA1 n|n| 263 263 45 (1 31 )2又 (0,1)，解得 .12所以，存在点 E 且当点 E 为 A1B 的中点时， A1到平面 AED 的距离为 .263
