1、1,离散数学(Discrete Mathematics),2,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),1.5.1 命题公式的分类 1.5.2 重言式(Tautology)与矛盾式(contradictory)的性质 1.5.3 蕴含式( Implication),3,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),1.5.1 命题公式的分类复合命题 (compound propositions)定义1.5.1 设
2、A为任一命题公式， （1）若A在其各种赋值下的取值均为真，则称A是重言式或永真式, 记为T或1。 （2）若A在其各种赋值下的取值均为假，则称A是矛盾式或永假式, 记为F或0。 （3）若A不是矛盾式则称A为可满足式(satisfiable)。注: 由定义可知,重言式一定是可满足式,反之不真.,4,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),判别命题公式的类型有两种方法: 真值表法和等值 演算法.等值演算法是将所给命题公式通过等值演算化为最 简单的形式, 然后再进行判别. 例1.判别下列命题公式的类型. (
3、1). Q(PQ)P) (重言式) (2). (PP) (QQ)R (矛盾式) (3). (P Q)P. (可满足式),5,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),1.5.2 重言式(Tautology)与矛盾式(contradictory)的性质定理1.5.1:任何两个重言式的合取或析取,仍然是一重言式.（由幂等律立得） 证明:设A和B为两个重言式,则不论A和B的分量指派任何真值,总有A为T,B为T,故A B T,A B T 定理1.5.2:一个重言式(矛盾式),对同一分量都用任何合式公式置换,其
4、结果仍为一重言式(矛盾式). 证明: 由于重言式(矛盾式)的真值与对变元的赋值无关，故对同一变元以任何合式公式置换后，重言式(矛盾式)的真值仍永为T（F）。,6,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),定理1.5.3： A,B是两个命题公式，A B的充要条件是A B为重言式。 证明: 若AB为重言式，则AB永为T，即A，B的真值表相同，所以AB。反之，若A B，则A，B真值表相同， 所以AB永为T，所以AB为重言式。 1.5.3 蕴含式( Implication) 定义1.5.2：当且仅当P Q是一
5、个重言式时，我们称“P蕴含Q”，并记作P Q.,7,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),它们之间具有如下关系:PQ Q P 由P21 表1-5.1QP P Q 可以得出 因此, 要证明P Q有三种方法: 1)真值表法:即列出PQ的真值表,观察其是否为永真。 2)直接证法:假定前件P是真，推出后件Q是真。 3)间接证法:假定后件是假，推出前件是假,即证 Q P 。,8,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implicatio
6、n),例: 证明Q（PQ）P 1) 法1：真值表 2) 法2：若 Q(PQ)为真，则 Q，PQ为真，所以Q为假，P为假，所以P为真。 3) 法3：若P为假，则P为真，再分二种情况：若Q为真，则Q为假,从而Q（PQ）为假. 若Q为假，则PQ为假，则Q（PQ）为假. 根据 ，所以 Q（PQ）P P21 表1-5.2给出了14个蕴含式, 它们都可以用上述方法加以推证.,9,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),等价式与蕴含式的关系: 定理1.5.4: 设P,Q为任意两个命题公式,PQ的充要条件为PQ且Q
7、P. 证：若PQ，则PQ为永真式因为 PQ （PQ）（QP）所以 PQ，QP为永真式,从而 PQ，QP.反之，若PQ，QP，则PQ，QP为永真式,所以（PQ）（QP）为永真式，从而 PQ为永真式，即PQ.,10,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),蕴含的性质: 设A，B，C为任意wff, 1) 若AB，且A为永真式，则B必为永真式. 2) 若AB，BC，则AC. 3) 若AB，AC，则ABC. 4) 若AB且CB，则ACB. 证：1)因为AB，A永为T,所以B必永为T.2)由I11 （AB)(B
8、C）AC,所以若AB，BC，则（AB)(BC）永为T,从而AC永为T, 故AC.,11,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),3) （AB）（AC） （AB）（AC） A（BC） ABC 4) （AB）（CB） （AB）（CB） （AC）B （AC）B ACB,12,第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.5重言式与蕴含式(Tautology and Implication),小结：本节介绍了命题公式的分类，重言式、矛盾式与蕴含式的概念及其性质，等价式与蕴涵式的关系。 重点掌握:（1）用等值演算法判别命题公式的类型。（2）重言式、矛盾式与蕴涵式的性质。（3）等价式与蕴涵式的关系。 作业: P23 (1)c,d ,(2) a ,(9). 预习:1.6 思考题:1) 为什么要引入联结词 ? 2) 什么是最小联结词组?,
