1、第七专题 机械振动与机械波,解题知识与方法研究,疑难题解答研究,例1、质点运动中的部分运动属于谐振动的问题.,例2、非惯性系中的简谐振动问题,一、简谐振动的三种等价定义（对线量、角量均适用）,三、非简谐的周期振动,四、一般情况（含纵、横向）的多普勒效应,二、简谐振动的势能计算,解题知识与方法研究,一、简谐振动的三种等价定义（对线量、角量均适用）,1、谐振动的运动学定义,2、谐振动的动力学定义,式中，,称为振动系统的振动系数(不一定等于劲度系数) .,3、谐振动的机械能定义,例1 悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳，绳长均为l，下面挂一质量为M的 光滑匀质薄平板. 平板中央有一质量为m的光滑小
2、木块. 开始时系统处于静止悬挂状态， 两绳互相平行，如图. 而后在两绳平面内给平板一个小的水平扰动，使其获得水平速度 v0，此板即作小角度摆动. 求小摆动的周期.,解,取平衡位置为零势能位置.,系统各物运动如图.,系统动能为,m与M具有相同的向上运动速度,即,系统势能为,系统的总机械能,于是,因其符合谐振动能量的表达式, 且守恒. 故题述的 振动为谐振动.,其周期为,二、简谐振动能量的计算,2-1、动能计算：,2-2、势能计算：,方法一（各种势能统一计算）：,方法二（各种势能分别计算）：,重力势能的零势能位置是可任选的（弹性势能不任选）.,注意：,方法一中：,k不一定是弹簧的劲度系数.,x不一
3、定是弹簧的伸长.,零势能位置即平衡位置.,方法二中：,ki是弹簧的劲度系数.,Li是弹簧的伸长.,例如 在右图（c）中, 计算系统的势能.,按方法一计算：,按方法二计算：,（1）若取小球的平衡位置为零重力势能位 置, 弹簧处于自然伸长为零弹性势能位置.,得知,（2）若弹性势能、重力势能零位置均取小 球的平衡位置.,得知,则,则,4-3、总机械能（势能按方法一计算）：,即,三、非简谐的周期振动,也存在大量不满足谐振动定义式：,（1）非小角度的摆（复摆、单摆）是非简谐的周期振动；,例如：,（2）行星在太阳引力下的椭圆轨道运动在长轴和短轴方向的分运动也是非简谐的周期振动.,的周期振动.,例2 在光滑
4、的水平面上有两根质量可忽略的相同的弹簧，它们的一个端点连接着同 一个光滑小物体，另外两个端点A1，A2被固定在该水平面上，并恰好使两弹簧处于自由 长度且在同一直线上，若小物体在光滑水平面上沿着垂直于A1、A2连线的方向受扰动稍 稍偏离初始位置，试分析小物体是否能做简谐振动.,解,小物体的运动、受力、位置情况如图.,四、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计算,1、纵向多普勒效应计算（波源、观察者在波线上相对介质运动）,何谓横向？,2、横向（无）多普勒效应：,波源的速度（发出某波的瞬时）、观察者（接受该波的瞬间）的速度均垂直某波线 方向.,横向的理解：,3、一般情况下（含纵、横向）的多普勒效应计
5、算,如图.,观察者O在t2时刻于A2处收到波源S于 之前的t1时刻在B1处发出的波.,观察者O在t2时刻于A2处收到波源S发 出的波时波源已运动到B2处.,速度分量vO、 vS不影响观察者收到的频率.,例3 两辆汽车A与B，在t =0时在十字路口分别以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路匀速前进，如图所示. 汽车A持续地以固定的频率f0鸣笛，求在任意时刻t汽车B的司机所监测到的笛声频率f . 已知声速为u，且当然有u vA 、vB.,解,如图，,由几何关系可知,即,以t1为变量，解方程得,B车在(b,t)收到A车在(a1,t1)发出的笛声.,如图，有,将 代入 ，再将 代入多普勒效应公式,得
6、,例1 一个大容器中装有互不相容的两种液体，它们的密度分别为1和 2 （1 2 ）. 现让一长为L、密度为 = (1 +2)/2的均匀 木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离 两液体界面的距离为3L/4，由静止开始下落. 试计算木棍到达最低处所需的时间. 假定由 于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液 体内部运动，既未露出液面，也未与容器底部相碰.,解,（1）如图，在上层液体中匀加速运动.,设木棍横截面积为S，长度为L.,疑难题解答研究,木棍运动如图,由,得,（2）如图，当木棍经过两层液体分界面时.,则有,即,得到,所以当棍的质心C（即中心）到分界面时，为
7、其平衡位 置.,如图，建立坐标.,当棍质心坐标为x（|x|L/2）时，,棍受力为,棍通过分解面时的运动是某振动区间为(A -A)的谐 振动的在(L/2 -L/2)之间的一部分.,该谐振动的角频率,该振动的振幅,棍下端抵达液体分界面时（开始进入振动状态）的速度,在旋转矢量图中，木棍的部分振动对应于矢量 从P1点转到P2点.,可知,（3）木棍在下层液体中匀减速运动.,其运动过程与在上层液体中情况是对称的.,所用时间为,所以棍通过界面的时间为,综上可知木棍运动的总时间为,例2 如图所示，放在水平地面上高1cm的三角形支架上一固定的水平横杆，横杆下 用细线悬挂一个小球A，A通过一根轻弹簧与另一相同的小
8、球B相连，B静止不动时，弹 簧伸长l0=3.0cm，今将悬挂球A的细线烧断，A、B便与弹簧一起往下运动，假设B触及 地面上的橡皮泥前的瞬时，弹簧的伸长量也正好是3.0cm，而后B即与橡皮泥发生完全非 弹性碰撞. 考虑到A球将会继续朝下运动，试求弹簧相对其自由长度的最大压缩量l=？,解,设两球的质量各为m.,所以弹簧的劲度为,烧断线后质心C（始终为弹簧中点）作自由落体运动.,A、B球相对质心参照系作仅受半根弹簧弹力作用的谐振动.,对应的劲度为,静止时有,振动的周期为,题设B球触地前的瞬间弹簧的伸长量又成为起初时的 3.0cm, 表明系统恰好完成了若干个全振动.,质心C下落的距离为,可算得,所以质心C实际下落的距离仅为h1（系统仅完成一个全振动）.,在B球触地前的瞬间，两球对地的速度同为质心C对地的 速度,此时两球的动能均为,系统的弹性势能为,B球与地面完全非弹性碰撞后，动能变为零. 在以后过 程中，系统能量守恒.,设弹簧最大压缩量为 .,代入h1、l0的值，解得,有,如图所示.,
