1、湖北省黄岗市 2012 届优化探究高三数学二轮复习专题检测：随机变量及其分布I 卷一、选择题1已知随机变量 服从正态分布 N(2， 2)，且 P( a2)，则 a 的值为( )A B73 53C5 D3【答案】A10某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动从 2 道文史题和 3 道理科题中不放回地依次抽取 2 道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( )A B925 625C D310 12【答案】DII 卷二、填空题11某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为 p，且三个公司是否让其面
2、试23是相互独立的记 X 为该毕业生得到面试的公司个数若 P(X0) ，则随机变量 X 的数112学期望 E(X)_.【答案】5312已知随机变量 服从正态分布 N(1， 2)， P( 4)0.84，则 P( 2) .【答案】0.1613马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表：请小牛同学计算 的数学期望尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E _.【答案】214甲、乙两人玩套圈游戏，套中的概率分别为 0.7 和 0.8，如果每人都扔两个圈，甲套中两次而乙套中一次的概率是_【答案】0.156815从甲、乙等 10
3、位同学中任选 3 位去参加某项活动，则所选 3 位中有甲但没有乙的概率为_【答案】73016设随机变量 X B(n,0.5)，且 D(X)2，则事件“ X1”的概率为_(用数字作答)【答案】132三、解答题17某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，8，其中 X5 为标准A， X3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数 X1的概率分布列如下所示：X1 5 6 7 8P 0.4 a b 0.1且 X1的数学
4、期望 E(X1)6，求 a， b 的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：产品的“性价比” ；产 品 的 等 级 系 数 的 数 学 期 望产 品 的 零 售 价“性价比”大的产品更具可购买性【答案】(1)因为 E(X1)6，所以 50.46 a7 b80.16，即 6a7 b3.2.又由 X1的概率分布列得 0.4 a b0.11，即 a
5、b0.5.由Error! 解得Error!(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2 3 4 5 6 7 8f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2的概率分布列如下：X2 3 4 5 6 7 8P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1所以 E(X2)3 P(X23)4 P(X24)5 P(X25)6 P(X26)7 P(X27)8 P(X28)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学
6、期望等于 6，价格为 6 元/件，所以其性价比为 1.66因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8，价格为 4 元/件，所以其性价比为 1.2.4.84据此，乙厂的产品更具可购买性18某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于 90 分的有参赛资格，90 分以下(不包括 90 分)的则被淘汰若现有 500 人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图 201.图 201(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率直方图，估算这 500 名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累计答对 3 题或答错3 题即终止，答对 3
7、题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为 ，求甲在初赛中答题个数的分布列及数19学期望【答案】(1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为 500(0.00500.00430.0032)20125 人(2)设 500 名学生的平均成绩为 ，则 0.0065 0.0140 0.0170x x30 502 50 702 70 9020.0050 0.0043 0.00322078.48 分90 1102 110 1302 130 1502(3)设学生甲每道题答对的概率为 P(A)，则(1 P(A)2 ， P(A) 19 23学生甲
8、答题个数 X 的可能值为 3,4,5，则 P(X3) 3 3 ，(23) (13) 13P(X4)C 3C 3 ，13(13)(23) 13(23)(13) 1027P(X5)C 2 2 24(13)(23) 827所以 X 服从分布列E(X) 3 4 5 13 1027 827 1072719今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量例如：家居用电的碳排放量(千克)耗电度数0.785，汽车的碳排放量(千克)油耗公升数0.785 等某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳
9、族” ，否则称为“非低碳族” 这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下：(1)如果甲、乙来自 A 小区，丙、丁来自 B 小区，求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率；(2)A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 人，记 表示 25 人中低碳族的人数，求 E( )【答案】(1)记这 4 人中恰有 2 人是低碳族为事件 A.P(A) 4 12 12 15 15 12 12 45 15 12 12 45 45 33100(2)设 A 小区有 a 人，2 周后非低碳族的概率 P ，a12(1 f(1,5)2a 8252
10、周后低碳族的概率 P1 ，825 1725依题意 B(25， )，所以 E( )25 17.1725 172520甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在 7,8,9,10 环，且每次射击成绩互不影响射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题(1)求甲运动员在 3 次射击中至少有 1 次击中 9 环以上(含 9 环)的概率；(2)若甲、乙两运动员各自射击 1 次， 表示这 2 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数，求 的分布列及数学期望【答案】(1)甲运动员击中 10 环的概率是：10.10.10.450.35.设事件 A 表示“甲运动员射击一次，恰好命
11、中 9 环以上(含 9 环，下同)” ，则 P(A)0.350.450.8.事件“甲运动员在 3 次射击中，至少 1 次击中 9 环以上”包含三种情况：恰有 1 次击中 9 环以上，概率为 P1C 0.8(10.8) 20.096，13恰有 2 次击中 9 环以上，概率为 P2C 0.82(10.8) 10.384，23恰有 3 次击中 9 环以上，概率为 P3C 0.83(10.8) 00.512，3因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击 3 次，至少 1 次击中 9 环以上的概率为 0.992.(2)记“乙运动员射击 1 次，击中 9 环以上”为事件 B，则 P(B)10.10.150.7
12、5.因为 表示 2 次射击击中 9 环以上(含 9 环)的次数，所以 的可能取值是 0,1,2，因为 P( 2)0.80.750.6；P( 1)0.8(10.75)(10.8)0.750.35，P( 0)(10.8)(10.75)0.05，所以 的分布列是 0 1 2P 0.05 0.35 0.6所以 E( )00.0510.3520.61.55.21一次数学模拟考试，共 12 道选择题，每题 5 分，共计 60 分小张所在班级共有 40 人，此次考试选择题得分情况统计表：得分(分) 40 45 50 55 60百分率 15% 10% 25% 40% 10%现采用分层抽样的方法从此班抽取 20
13、 人的试卷进行选择题质量分析(1)应抽取多少张选择题得 60 分的试卷？(2)若小张选择题得 60 分，求他的试卷被抽到的概率【答案】(1)得 60 分的人数 4010%4.设抽取 x 张选择题得 60 分的试卷，则 ，4020 4x x2，故应抽取 2 张选择题得 60 分的试卷(2)设小张的试卷为 a1，另三名得 60 分的同学的试卷为 a2， a3， a4，所有抽取 60 分试卷的方法为：( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， a4)，( a2， a3)，( a2， a4)，( a3， a4)共 6 种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有 3 种，小张的试卷被抽到的概率为 P 3
14、6 1222设 S 是不等式 x2 x60 的解集，整数 m， n S.(1)记使得“ m n0 成立的有序数组( m， n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件(2)记 m2，求 的分布列及其数学期望 E( )【答案】(1)由 x2 x60 得2 x3，即 S x|2 x3，由于整数 m， n S 且 m n0，所以 A 包含的基本事件为(2,2)，(2，2)，(1,1)，(1，1)，(0,0)(2)由于 m 的所有不同取值为2，1,0,1,2,3，所以 m2的所有不同取值为 0,1,4,9，且有 P( 0) ， P( 1) ， P( 4) ， P( 9) ，16 26 13 26 13
15、 16故 的分布列为所以 E( )0 1 4 9 16 13 13 16 19623已知关于 x 的一元二次方程 x22( a2) x b2160.(1)若 a、 b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；(2)若 a2,6， b0,4，求方程没有实根的概率【答案】(1)基本事件( a， b)共有 36 个，方程有正根等价于 a20,16 b20， 0，即 a2，4 b4，( a2) 2 b216.设“方程有两个正根”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4 个，故所求的概率为 P(A) ；436 19(2)试验的全部结果构成区域
16、 ( a， b)|2 a6,0 b4，其面积为 S( )16.设“方程无实根”为事件 B，则构成事件 B 的区域为B( a， b)|2 a6,0 b4，( a2) 2 b216，其面积为 S(B) 4 24，14故所求的概率为 P(B) 416 424有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排列组成.设随机变量 表示密码中不同数字的个数(1)求 P( 2)；(2)求随机变量 的分布列和它的数学期望【答案】(1)密码中不同数字的个数为 2 的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第 1,2 列分别总是 1,2，即只能取表格第 1,2 列中的数字作为密码 P( 2) 2343 18(2)由题意可知 的取值为 2,3,4 三种情形若 3，注意表格的第一排总含有数字 1，第二排总含有数字 2，则密码中只可能取数字1,2,3 或 1,2,4. P( 3) ，2(33 23)43 1932若 4，则 P( 4) 或 P( 4)1 ，A13A2 A23A243 932 18 1932 932 的分布列为： E( )2 3 4 18 1932 932 10132
