1、3.1.3一、选择题1已知向量 a、b 是平面 的两个不相等的非零向量，非零向量 c 是直线 l 的一个方向向量，则 ca 0 且 cb0 是 l 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C. 充要条件D既不充分也不必要条件答案 B解析 当 a 与 b 不共线时，由 ca0，cb0，可推出 l；当 a 与 b 为共线向量时，由 ca0，cb0，不能够推出 l；l 一定有 ca0 且 cb0，故选 B.2如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是 BC 的中点，那么( )A. AE BC AE CD D. 与 不能比较大小AE BC AE CD 答案 C解析 易知 AEBC， 0，AE BC
2、 ( )AE CD AB BE CD ( ) AB BD BC 12BC CD | | |cos120| | |cos60 | | |cos120 9|b| 2，|a |b|1， a，b60，|a 3b |213 ，|a 3b | .134已知正方体 ABCDABC D的棱长为 a，设 a， b， c，则AB AD AA ， ( )A B B D A30 B60 C90 D120答案 D解析 ，B D BD ABD 为正三角形， ， 120.A B BD 5已知 PA平面 ABC，垂足为 A，ABC 120 ，PAABBC6，则 PC 等于( )A6 B6 2C12 D144答案 C解析 ，P
3、C PA AB BC 2 2 2 22 363636236cos60 144.PC PA AB BC AB BC | | 12.PC 6已知 a、b、c 是两两垂直的单位向量，则| a2b3c|( )A14 B. 14C4 D2答案 B解析 |a2b3c| 2|a| 24|b| 29| c|24ab6ac12bc14，选 B.7已知|a| 2， |b|3， a， b60 ，则|2a3b|等于( )A. B97 97C. D6161答案 C解析 |2a3b| 24a 29b 212ab449912|a|b|cos60971223 61.128空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC ，则
4、 cos ， 等于( )3 OA BC A. B. 12 22C D012答案 D解析 cos ， OA BC OA BC |OA |BC |OA (o(OC,sup6( ) o(OB,sup6( )|OA |BC |OA OC OA OB |OA |BC | .|OA |OC |cos AOC |OA |OB |cos AOB|OA |BC |因为| | |，AOCAOB ，OB OC 3所以 cos ， 0.OA BC 9在空间四边形 ABCD 中，AB、AC、AD 两两垂直，则下列结论不成立的是( )A| | |AB AC AD AB AC AD B| |2| |2| |2| |2AB
5、AC AD AB AC AD C( ) 0AB AD AC BC D. AB CD AC BD AD BC 答案 C解析 A 中，由 | | |，得( )2( )AB AC AD AB AC AD AB AC AD AB AC AD 2，展开得( )2| |22( ) ( )2| |22( ) ，整理得(AB AC AD AB AC AD AB AC AD AB AC AD ) 0，因为 ， ， 两两垂直，所以( ) 0 成立，因此 A 正AB AC AD AB AC AD AB AC AD 确易得 B 正确( ) ( )( ) | |2 AB AD AC BC AB AD AC AC AB
6、AB AC AB AD AC | |2 | |2| |2，当| | |时，| |2| |20，否则不成立，因此AD AB AC AC AB AC AB AC AB AC AB C 不正确 D 中， ( ) 0，同AB CD AB AD AC AB AD AB AC 理 0， 0，因此 D 正确AC BD AD BC 10设 A、B 、C、D 是空间不共面的四点，且满足 0， 0， 0，则BCD 是( )AB AC AC AD AB AD A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定答案 B解析 ， ，BD AD AB BC AC AB ( )( ) | |2BD BC AD AB AC A
7、B AD AC AD AB AB AC AB | |20，AB cosCBDcos ， BC BD 0，BC BD |BC |BD |CBD 为锐角，同理，BCD 与BDC 均为锐角，BCD 为锐角三角形二、填空题11已知|a| 2 ，|b| ，ab ，则a，b_.222 2答案 34解析 cos a，b ，ab|a|b| 22a，b .3412已知正方体 ABCDABC D的棱长为 1，设 a， b， c，则AB AD AA (1) _； ， _；AC DB AC DB (2) _.BD AD 答案 (1)1，arccos (2)113解析 (1) ( a bc )(abc)AC DB a
8、2c 22acb 21，| |2 (abc) 2a 2b 2c 22a b2ac2bc3，| | ，AC AC 3| |2(abc) 2a 2b 2 c22ab2a c2bc3，| | ，DB DB 3cos ， ，AC DB AC DB |AC |DB | 13 ， arccos .AC DB 13(2) (bc a)b| b|2b cb a1.BD AD 13已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 a，则 _.A1B B1C 答案 a 2解析 A1B B1C A1B A1D | | |cos ， A1B A1D A1B A1D a acos60a 2.2 214已知在空间四边形
9、OABC 中，OABC，OBAC，则 _.AB OC 答案 0解析 ( )( )AB OC OB OA OA AC | |2 OB OA OB AC OA OA AC | |2 OB OA OA OA AC 0.OA AB OA AC OA CB 三、解答题15已知 a3b 与 7a5b 垂直，且 a4b 与 7a2b 垂直，求a，b 解析 (a3b)(7 a5b)7| a|2 15|b|2 16ab0，(a4b)(7 a2b )7| a|2 8|b|2 30ab0，解之得，|b| 2 2ab| a|2，cosa，b ， a，b60.ab|a|b| 1216如图所示，已知空间四边形 ABCD，
10、连 AC、BD ，若 ABCD，ACBD，E、F 分别是 AD、BC 的中点，试用向量方法证明 EF 是 AD 与 BC 的公垂线解析 点 F 是 BC 的中点， ( )AF 12AB AC EF AF AE ( ) .12AB AC 12AD 又| | | | |，AC BD AD AB 22 2AC2 AD AD AB AB 同理 2 22 2.AB2 CD AD AC AD AC 由代入可得2 22 22 2，AB AD AC AD AD AB AD AB 2 22 ( )0AD AD AC AB ( )0. ( )0. 0. .AD AC AB AD AD 12AB AC AD AD
11、EF EF AD 同理可得 .EF BC EF 是 AD 与 BC 的公垂线17对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面证明 如图所示，空间四边形 ABCD，E、F 分别为 AB、CD 的中点，利用多边形加法法则可得， ， .EF EA AD DF EF EB BC CF 又 E、F 分别是 AB、CD 的中点，故有 ， .EA EB DF CF 将代入后，两式相加得，2 ，EF AD BC .EF 12AD 12BC 即 与 、 共面，EF BC AD EF 与 AD、BC 可平行于同一平面18如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，求异面直线 A1B 与 AC1 所成的角解析 不妨设正方体的棱长为 1, 设 a， b， c，则AB AD AA1 |a| b| c|1 ，abbc ca0，ac， abc.A1B AC1 ( ac)(abc )(ac)(ac)b( ac )0A1B AC 90.A1B AC1 因此，异面直线 A1B 与 AC 所成的角为 90.说明 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示高考试 题库
