1、课题：直线与双曲线的位置关系及中点弦问题1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线 ，双曲线 联立解得)0(:mkxyl )0,(12bayx02)( 22baab若 即 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若 即 ，02kaba)(4)( 222bamkbm直线与双曲线相交，有两个交点；直线与双曲线相切，有一个交点；直线与双曲线相离，无交点；0直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线 l:y=kx+n，圆锥曲线：F( x,y)=0，它们的交点为 P1 (x1,y1)，P 2 (x2,y2)，且由 ，消去 yax 2+bx+c
2、=0（a0 ） ，= b2 4ac。kx),(设 ，则弦长公式为：则,21BA 21214)(|kAB若联立消去 得 的一元二次方程： )02aya设 ，则),(),(21yx 21214(| yk焦点弦长： （点 是圆锥曲线上的任意一点， 是焦点， 是 到相应于|PFed FdP焦点 的准线的距离， 是离心率） 。【例 1】过点 与双曲线 有且只有一个公共点的直线有几条，分别(7,5)2175xy求出它们的方程。解析：若直线的斜率不存在时，则 ，此时仅有一个交点 ，满足条件；(7,0)若直线的斜率存在时，设直线的方程为 则 ，()ykx5ykx， ，22(57)17xk2257x，2 2)(
3、)()50kx当 时，方程无解，不满足条件；k当 时， 方程有一解，满足条件；5721075x当 时，令 ，化简得：2k2224()4()(57)1650kk无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条 和 。7x510yx【例 2】直线 与双曲线 相交于 A、B 两点，当 为何值时，1ky32 aA、B 在双曲线的同一支上？当 为何值时，A、B 分别在双曲线的两支上？a解析：把 代入 整理得： x2y 02)3(2xa当 时， 。3a4由 0 得 且 时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点。63若 A、B 在双曲线的同一支，须 0 ，所以 或 。21ax3a故当 或 时，A 、B 两点在
4、同一支上；当a6时，A、B 两点在双曲线的两支上。3点评：与双曲线只有一个公共点的直线有两种。一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。另一种是与双曲线相切的直线也有两条。【例 3】求直线 被双曲线 截得的弦长；1yx214yx解析：由 得 得 （*）24yx22()0x2350x设方程（*）的解为 ，则有 得，12,11,12 248|() 293dxxx3.中点弦问题：【例】求过定点 的直线被双曲线 截得的弦中点轨迹方程。(0,)214y解：设弦的两个端点坐标为 ，弦中点为 ，则1(,)(,)AxB(,)Pxy得： ，214xy121212124()()y ， 即 ， 即 （图象的一部1212()x4x40xy分）4、最值问题【例 1】在双曲线 上求一点，使到直线 的距离最短。2592yx 3解：设与直线 平行且与椭圆相切的直线方程为：03 0myx联立化简得 （*）056m)(4)50(22m，故切线方程为： 代入双曲线方程解得（ ）,4yx 49,25【例 2】设 ， 为双曲线 =1 的右焦点，在双曲线上求一点 P，使得),3(AF2x3y取得最小值时，求 P 点的坐标.|1|P易解：P 点的坐标为 2,31
