1、物理学 3 章习题解答3-1 用榔头击钉子，如果榔头的质量为 500 g，击钉子时的速率为 8.0 ms1，作用时间为 2.0103 s，求钉子所受的冲量和榔头对钉子的平均打击力。解 对于榔头：,式中 i1 是榔头所受的冲量， 是榔头所受钉子的平均打击力；对于钉子：,式中 i2 是钉子受到的冲量， 是钉子所受的平均打击力，显然 = 。题目所要求的是 i2 和 ：,i2 的方向与榔头运动方向一致。,的方向与榔头运动方向一致。3-2 质量为 10 g 的子弹以 500 ms1 的速度沿与板面垂直的方向射向木板，穿过木板，速度降为 400 ms1 。如果子弹穿过木板所需时间为 1.00105 s，试
2、分别利用动能定理和动量定理求木板对子弹的平均阻力。解 (1)用动能定理求解：, (1)其中 是木板对子弹的平均阻力，d 为穿过木板的厚度，它可用下面的关系求得：, (2). (3)由式(2)和式(3)联立所求得的木板厚度为&nb .根据式(1)，木板对子弹的平均阻力为.(2)用动量定理求解：,.与上面的结果一致。由求解过程可见，利用动量定理求解要简便得多。3-4 质量为 m 的小球与桌面相碰撞，碰撞前、后小球的速率都是 v，入射方向和出射方向与桌面法线的夹角都是 ，如图 3-3 所示。若小球与桌面作用的时间为 t，求小球对桌面的平均冲力。解 设桌面对小球的平均冲力为 f，并建立如图所示的坐标系
3、，根据动量定理，对于小球可列出,.由第一个方程式可以求得,由第二个方程式可以求得.根据牛顿第三定律，小球对桌面的平均冲力为,负号表示小球对桌面的平均冲力沿 y 轴的负方向。3-5 如图 3-4 所示，一个质量为 m 的刚性小球在光滑的水平桌面上以速度 v1 运动，v 1 与 x 轴的负方向成角。当小球运动到 o 点时，受到一个沿 y 方向的冲力作用，使小球运动速度的大小和方向都发生了变化。已知变化后速度的方向与 x 轴成 角。如果冲力与小球作用的时间为t，求小球所受的平均冲力和运动速率。解 设小球受到的平均冲力为 f，根据题意，它是沿 y 方向的，小球受到撞击后，运动速率为 v2。根据动量定理
4、，在 y 方向上可以列出下面的方程式,图 3-3图 3-4由此得到. (1)小球在 x 轴方向上不受力的作用，动量是守恒的。故有,由此求得小球受到撞击后的运动速率为. (2)将式(2)代入式 (1)，即可求得小球所受的平均冲力.3-7 求一个半径为 r 的半圆形均匀薄板的质心。解 将坐标原点取在半圆形薄板的圆心上，并建立如图 3-5 所示的坐标系。在这种情况下，质心 c 必定处于 y 轴上，即,.质量元是取在 y 处的长条，如图所示。长条的宽度为 dy，长度为 2x。根据圆方程,故有.如果薄板的质量密度为 ，则有.令 , 则 ，对上式作变量变换，并积分，得.3-8 有一厚度和密度都均匀的扇形薄
5、板，其半径为 r，顶角为 2，求质心的位置。图 3-5解 以扇形的圆心为坐标原点、以顶角的平分线为 y 轴，建立如图 3-6 所示的坐标系。在这种情况下，质心 c 必定处于 y 轴上，即,.质量元可表示为,式中 为扇形薄板的质量密度，ds 为图中黑色方块所示的扇形薄板面元。整个扇形薄板的质量为,于是.将 代入上式，得.3-9 一个水银球竖直地落在水平桌面上，并分成三个质量相等的小水银球。其中两个以 30 cms1 的速率沿相互垂直的方向运动，如图 3-7 中的 1、2 两球。求第三个小水银球的速率和运动方向 (即与 1 球运动方向的夹角 )。解 建立如图 3-8 所示的坐标系。在水平方向上，水
6、银求不受力的作用，所以动量守恒，故可列出下面的两个方程式,.式中 v 是 1、 2 两球的运动速率， v3 是第三个水银小球的运动速率。由上两方程式可解的,.图 3-6图 3-8图 3-73-10 如图 3-9 所示，一个质量为 1.240 kg 的木块与一个处于平衡位置的轻弹簧的一端相接触，它们静止地处于光滑的水平桌面上。一个质量为10.0 g 的子弹沿水平方向飞行并射进木块，受到子弹撞击的木块将弹簧压缩了 2.0 cm。如果轻弹簧的劲度系数为 2000 nm1 ，求子弹撞击木块的速率。解 设木块的质量为 m；子弹的质量为 m，速度为 v；碰撞后的共同速度为 v。此类问题一般分两步处理：第一
7、步是子弹与木块作完全非弹性碰撞，第二步是子弹在木块内以共同的速度压缩弹簧。第一步遵从动量守恒，故有. (1)第二步是动能与弹力势能之间的转换，遵从机械能守恒，于是有. (2)有式(2)解得.将 v 值代入式 (1)，就可求得子弹撞击木块的速率，为.3-11 质量为 5.0 g 的子弹以 500 ms1 的速率沿水平方向射入静止放置在水平桌面上的质量为 1245 g 的木块内。木块受冲击后沿桌面滑动了 510 cm。求木块与桌面之间的摩擦系数。解 这个问题也应分两步处理：第一步是子弹与木块作完全非弹性碰撞过程，第二步是子弹处于木块内一起滑动而克服桌面的摩擦力作功的过程。第一步遵从动量守恒，有.式
8、中 v 是木块受冲击后沿桌面滑动的速度。第二步遵从功能原理，可列出下面的方程式.由以上两式可解得3-12 一个中子撞击一个静止的碳原子核，如果碰撞是完全弹性正碰，求碰撞后中子动能减少的百分数。已知中子与碳原子核的质量之比为 1:12。图 3-9解 设中子的质量为 m，与碳核碰撞前、后的速度分别为 v1 和 v2；碳核的质量为m，碰撞前、后的速度分别为 0 和 v。因为是正碰，所以 v1、v 2 和 v 必定处于同一条直线上。完全弹性碰撞，动量守恒，故有, (1)总动能不变，即(2)以上两式可分别化为,(3). (4)式(4)除以式(3)，得. (5)由式(1)和式(5)解得.于是，可以算得中子
9、动能的减少,因为 m = 12m，所以.3-13 质量为 m1 的中子分别与质量为 m2 的铅原子核(质量 m2 = 206 m1 )和质量为m3 的氢原子核( 质量 m3 = m1 )发生完全弹性正碰。分别求出中子在碰撞后动能减少的百分数，并说明其物理意义。解 求解此题可以利用上题的结果：.对于中子与铅核作完全弹性正碰的情形：.铅核的质量比中子的质量大得多，当它们发生完全弹性正碰时，铅核几乎保持静止，而中子则以与碰前相近的速率被反弹回去，所以动能损失极少。对于中子与氢核作完全弹性正碰的情形：.氢核就是质子，与中子质量相等，当它们发生完全弹性正碰时，将交换速度，所以碰撞后，中子静止不动了，而将
10、自身的全部动能交给了氢核。3-14 如图 3-10 所示，用长度为 l 的细线将一个质量为 m 的小球悬挂于 o 点。手拿小球将细线拉到水平位置，然后释放。当小球摆动到细线竖直的位置时，正好与一个静止放置在水平桌面上的质量为 m 的物体作完全弹性碰撞。求碰撞后小球达到的最高位置所对应的细线张角 。解 小球与物体相碰撞的速度 v1 可由下式求得. (1)小球与物体相碰撞，在水平方向上满足动量守恒，碰撞后小球的速度变为 v2，物体的速度为 v，在水平方向上应有. (2)完全弹性碰撞，动能不变，即. (3)碰撞后，小球在到达张角 的位置的过程中满足机械能守恒，应有. (4)由以上四式可解得.将上式代入式(4)，得,.图 3-10
