1、有理数的历史定义数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比，例如 3/8，通则为 a/b，故又称作分数。所有有理数的集合表示为 Q，Q+,或 。定义如下：有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。有理数在希腊文中称为 ，原意是“ 成比例的数”。英文 取其意，以 ratio 为字根，在字尾加上-nal 构成形容词，全名为 rational number，直译成汉语即是 “可比数” 。对应地，无理数则为“不可比数” 。但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方几何原本 ，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译
2、几何原本前 6 卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（“”）译为“ 理”，这个“理”指的是“ 比值”。日本在 明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值” 。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“ 无理数”。当有理数从日本传回中国时又延续错误。清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“ 无理数”的说法可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。运算编辑有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下：两个有理数 和 相等当且
3、仅当有理数中存在加法和乘法的逆：时，古埃及分数编辑主条目：古埃及分数古埃及分数是分子为 1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。形式构建编辑数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上 的等价类，这里 不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：为了使 ，定义等价关系 如下：这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将 Q 定义为整数有序对关于等价关系的商集： 。例如：两个对 (a, b)和 (c, d)是相同的，如果它们满足上述等式。 （这种构建可用
4、于任何整数环，参见商域。 ）Q 上的全序关系可以定义为：当且仅当1. 并且2. 并且有理数集是可数的集合 ，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数 的商域。有理数是特征为 0 的域最小的一个：所有其他特征为 0 的域都包含 的一个拷贝（即存在一个从 到其中的 同构映射） 。的代数闭包 ，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。所有有理数的集合是可数的，亦即是说 的基数（或势）与自然数集合 相同，都是阿列夫数 。因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。有理数是个稠密的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。实数编辑有理数是实数的紧密
5、子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量 ，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是 的完备集。p 进数编辑除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将 转化到拓扑域：设 是素数，对任何非零整数 设 ，这里 是整除 的 的最高次幂；另外 。对任何有理数 ，设 。则 在 上定义了一个度量。度量空间 不完备，它的完备集是 p 进数域 。
