1、践行“好吃”又“有营养”的数学,赵 东,让孩子们在“好吃”中享受“有营养”的数学-小学教学2008年9月期卷首语,“吴正宪小学数学教师 工作站”挂牌启动2008.6.18,“为什么好吃的东西都没营养，而有营养的东西不好吃呢？”北京市教委副主任 罗杰,“好吃的数学”一定是符合孩子认知特点和年龄特点的数学，是把理性的数学活化为丰富多彩的儿童喜欢且易于接受的数学。,“有营养的数学”一定是抓住数学的本质，对孩子的发展有后劲的数学；,“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题
2、的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益。”,米山国藏,“好吃”的数学,有趣的,联系生活的,数形结合的,动手操作的,不太严格的,“严格的不理解，不如不严格的理解”,王翠菊-圆的认识-直径,“听听大人是怎么说的吧”,以教知识、教技能、教学生解题为目的数学,没营养：,营养价值低。,除数是一位数的除法微课,4.总结方法：除数一位看一位，一位不够看两位，除到哪位商哪位，除数当“姐”余当“妹”。,微课除数是一位数的除法（人教版三上）,1.教学目标：熟练掌握多位数除以一位数的笔算除法；明确每次除后余数必须必除数小；养成完整的计算习惯并使计算又对又快。,2.解释竖式计算流程：（四大环节）： 判（商是几
3、位数）-试商； 估（商大约是几）-范围 算（竖式计算）-格式简便；验（用乘法验算）-准确,3.实例讲解：422= 6705= 2503= 1423=,教什么？ 怎样教？ 效果怎样？,用字母表示数的教学思考,1.理解字母能表示数，字母式表示数又能表示关系；,教学目标,“老师比学生大20岁”,学生,老师,x,X+20,x,X20,表示数量关系,教学目标,1.理解字母能表示数，字母式表示数又能表示关系；,教学目标,学习基础：,习题：a+a+a=60，求a是多少？,把字母看作是特定的未知量，是某个具体的、 可以直接参与运算的未知数的记号；,互逆关系：,a+20=35,；b3=5，,运算定律和计算公式,
4、a+b=b+a c=（a+b）2,把字母看作是广义的数，是一个可以取多个值的数（任意一个字母能表示任意一个数）,教学目标,1.理解字母能表示数，字母式表示数又能表示关系；,教学目标,学习困惑：“式子能表示数？”,全班36人，每9人分为一组，能分成几组？369=4（组）,算式是算式，不能当结果， 问题的结果必须是算出来的具体的数。,369-算式,4-结果,代入计算;,明确告知,教学目标,1.理解字母能表示数，字母式表示数又能表示关系；,教学目标,后继运用，巩固强化：,4张桌子多少人？10张桌子多少人？,44+2 104+2 4n+2,所有的偶数怎么表示？ 2n,教学目标,1.理解字母能表示数，字
5、母式表示数又能表示关系；,教学目标,后继运用，巩固强化：（六上 数与形 习题）,红色：1 2 3 4 蓝色：8 10 12 14,照这样接着画下去，第6个图形有多少个红色小正方形和多少 个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？,2n+6,2n+32,（n+3）2,（n+2）2+2,3（n+2）n,教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（1）什么是函数？,函数是数学的基础概念之一。物质世界常常是一些量依赖另一些量，函数就是这种依赖关系的数学概括抽象。 在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。（对宇宙天体的探索，对热的传导的研究等，都和函数概念有着紧密
6、联系。正是在这些实践中，人们对函数的概念不断深化。),教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（1）什么是函数？,最早提出函数概念的，是17世纪德国数学家莱布尼兹。1755年，瑞士数学家欧拉引入符号f(x)。欧拉认为：由于函数不一定要用公式来表示，所以可以把画在坐标系的曲线叫做函数。他认为：函数是随意画出的一条曲线。,教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（1）什么是函数？,当时有些数学家对于不用公式来表示的函数感到不习惯，有的数学家把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”。,教学目标,田径队某周每天早晨参加训练的人数统计：,2.渗透函数思想；,教学目标,（1）什
7、么是函数？,1837年德国数学家狄里克雷这样定义函数：如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是 x的函数。这个定义抓住了概念的本质属性。不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式。,教学目标,自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的。,2.渗透函数思想；,教学目标,（1）什么是函数？,名称-清朝数学家 李善兰 的著作代数学。,“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”,函数的两种定义方式：,传统定义：从运动变化的观点出发（小学、初中函数概念）,近代定义：是集合、映射的观点出发（高中、大学函数概念）,教学目标,2.渗透函数思想；
8、,教学目标,（1）什么是函数？,教学目标,小学、初中、高中数学课本里的函数： 小学阶段所涉及的几个函数: 线性函数（一次函数）Y=kX+b 特殊地：正比例函数：Y=kx反比例函数：XY=k,2.渗透函数思想；,教学目标,（1）什么是函数？,小学：正比例函数 反比例函数,例：正比例函数的四种表征：,表格：一辆汽车行驶的路程与时间情况路程（千米） 60 120 180 240 300 360 时间（小时） 1 2 3 4 5 6 ,文字：“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系就叫做成正比例关
9、系。,教学目标,教学目标,2.渗透函数思想；,例：正比例函数的四种表征,（1）什么是函数？,小学：正比例函数 反比例函数,关系式： 路程：时间=速度（一定） y/x=k（一定）,教学目标,教学目标,2.渗透函数思想；,初中： 在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一 个值，都有唯一的一个y值与之对应，我们称y是x的函数，其中x自变量，y因变量。,（1）什么是函数？,教学目标,小学和初中对函数的定义侧重运动、变化的角度描述。,教学目标,2.渗透函数思想；,高中：设D为一个非空集合，M也为一个非空集合，f是某对应法则。如果对任意的x D, f唯一地确定出一个元素y M,则称f为定义在D上的函
10、数。,现代数学：两个集合A,B，F是一个从A到B的二元关系，如果对于A中的每一个元素x，都有唯一的y满 足，属于F, 就称F为从A到B的函数，也 称映射。,本质： 两种量 对应 变 不变,（1）什么是函数？,教学目标,教学目标,2.渗透函数思想；,（2）函数思想在小学数学中的渗透与体现。,（1）数数、数的分解与组成，运算等内容中蕴含函数思想。如，一年级第一册中，就有这样的内容：4（ ）=（ ）。如，加法表、减法表中也蕴含着函数思想。,竖着看，斜着看，谁在变？谁不变？,教学目标,教学目标,2.渗透函数思想；,（2）探索规律中蕴含着函数思想。“探索规律”是渗透函数思想的重要内容，在课本中出现的频率
11、也比较高。如，人教版一年级上册 找规律，填数：5，10，15，20，25，（ ） ，（ ）“数列中的数”随着“第几个数”的变化而变化，5倍关系不变,（2）函数思想在小学数学中的渗透与体现。,教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（3）周长、面积、体积公式中蕴含函数思想。 （4）速度、时间、路程等关系式中蕴含函数思想。 （5）统计图中蕴含函数思想。 （6）用字母表示数中蕴含函数思想。 （7）正、反比例的意义中蕴含函数思想。,（2）函数思想在小学数学中的渗透与体现。,教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（3）用字母表示数渗透的函数思想：,荷兰著名数学家、数学教育家弗莱登塔尔认为，字母可以表示
12、两层含义：一是作为专有名词，（例如“KFC”）；另一层是数学含义的，他又可以分为两个方面，一是未知元，二是变元，学生对“变元”的理解是非常困难的。,2.渗透函数思想；,教学目标,英国的儿童数学概念发展水平研究员柯利斯学生对字母表示数的理解方式可以概括为6个水平：,（3）用字母表示数渗透的函数思想：,1、赋予特定数值的字母：从一开始就对字母赋予一个特定的价值；,2、对字母不予考虑：根本忽视字母的存在，或虽然承认它的存在，但不赋予其意义；,3、字母被看成一个具体的对象：认为字母是一个具体物体的速记或其本身就被看作一个具体的物体；,4、字母作为一个特定的未知量：把字母看成一个特定的，但是未知的数量；
13、,5、一般化的数：把字母看成代表了，或至少可以取几个而不只是一个值；,6、字母作为一个变量：把字母看成代表一组未指定的值，并在两 组这样的值之间存在系统的关系。,教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（3）用字母表示数渗透的函数思想：,人教版教材中体现了哪几种水平？,用字母表示 一个未知数,教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（3）用字母表示数渗透的函数思想：,人教版教材中体现了哪几种水平？,教学目标,用字母表示量与量间的关系,2.渗透函数思想；,教学目标,（3）用字母表示数渗透的函数思想：,人教版教材中体现了哪几种水平？,教学目标,用字母表示数的实质：字母概括的是一个量中的一组数。两个
14、有关系的量，当一个字母概括其中一个量时，另一个量就一定能用字母式表示，这时候字母式既能表示数，又反应两个量之间的关系。,2.渗透函数思想；,教学目标,（3）用字母表示数渗透的函数思想：,教学目标,（4）为什么要用“魔盒”教学？（对比教材）,2.渗透函数思想；,教学目标,比“年龄问题”更具趣味性与吸引力，比“举重问题”更易理解。,更好地经历“变化中 抓不变”的全过程。,教学目标,（4）为什么要用“魔盒”教学？（对比教材）,2.渗透函数思想；,教学目标,趣味有余，难度太大,曾考虑 （师大版教材 六下） “变化的量”,蟋蟀一分钟叫的次数 除以7再加3，所得的 结果与当时的气温差 不多。,如果用t表示
15、蟋蟀每分 叫的次数，用h表示当 时的气温，你能用式子 表示出这个近似关系吗？,（h=t7+3）,教学目标,（4）为什么要用“魔盒”教学？,2.渗透函数思想；,教学目标,“魔盒”的原型,教学目标,2.渗透函数思想；,教学目标,（5）用字母表示数的三度起稿。,抓住学科教学的根 坚守“有营养”的数学,不断批判、不断推翻的过程，就是自我提高的过程,教学目标,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,一次设计：参加昌平区中青年教师评优课。,教学目标的侧重点：,具体的情境中学会利用字母表示数进行表达和交流,体验用字母表示数的简明性和概括性,并学会用字母式表示数量关系,培养学生的符号感。,三次设计：怎样挖掘“营养”
16、成分？,一次设计：参加昌平区中青年教师评优课。,环节描述：,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,一次设计：参加昌平区中青年教师评优课。,1.导入谈话，揭示概括性：图标,2.复习沟通: 想一想生活当中哪些地方用到过字母？,3.探索建构：给出学生年龄和师生年龄差，由学 生用字母表示学生年龄和教师年龄。,4.延伸建构：数青 蛙儿歌中的应用。 5.巩固提高：练习用字母式表示一些数量关系。,环节描述：,学生兴趣盎然，课堂轻松顺畅；展现符号的简明、概括性；字母“自发”地使用,课后感受：,第一个环节，学生学的积极主动，（好吃的数学）。但选择讨论的内容同用字母表示数的实质相差甚远，在这里字母被看成一个具体的对象
17、：认为字母是一个具体物体的速记或其本身就被看作一个具体的物体；把目标锁定在这个层次有些浅了。学生掌握了技能技巧，能解“燃眉之急”。但对于学生后续的发展缺乏后劲。一节课的开始对于学生来说至关重要，学生会先入为主，从课堂教学的有效性考虑，占用大量的时间放在简明、概括、便于交流上有些不合理。,师傅的评价：,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,教学目标的侧重点：,用字母表示数的必要性和重要性、简明性和概括性为教学重点之一,强调学生对用字母式表示数量关系的知识、方法。,二次设计：参加昌平区邀请赛。,初步建构：数学“超级模仿秀”,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,二次设计：参加昌平区邀请赛。,环节描述：,2
18、+33+2,5+77+5,9+88+9,a+bb+a,1、对于“超级模仿秀”，学生迅速进入字母表示数 的研究； 2、对于加法交换率，符合学生的认知规律。 3、环节紧凑，顺畅自然，学生兴趣盎然乐意参与。 4、问题有思维价值，能考虑到了学生的答案。,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,二次设计：参加昌平区邀请赛。,课后感受：备课真正备到了学生的内心深处,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,二次设计：参加昌平区邀请赛。,师傅的评价：,同第一次相比简化了环节，加强了用字母表示数的过程教学，关注了学生的生成性资源。但由于没有抓住本节课的根，所以教学的本质同上一节课比还是以知识技能为主的，仍然忽略学生对规律的
19、探究、思索、表述的过程。,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,三次设计：参加北京市青年教师评优课。,1找准核心思想：,2确定教学重、难点：,3寻找合适的模型：,对照用字母表示数的6种水平描述，核心应当是函数思想。,理解用字母可以表示数、数量关系和变化规律。,蟋蟀与温度 魔盒,三次设计：怎样挖掘“营养”成分？,先知道教什么，再考虑怎么教,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（1）重视数学的符号语言。,符号语言：简练性、准确性、直观性、概括性 。,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（1）重视数学的符号语言。,数学符号的理解和运用，能有
20、效的帮助学生进一步学习数学,以及应用数学解决实际问题。,“数学就是符号加逻辑。” 罗素,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,“学生觉得数学枯燥，数学难，很多孩子没有真正认识理解数学符号表示的意义，不会从具体的问题中抽取出表示关系和规律的数学符号。”,高中数学教师：“与小学数学相比，初、高中数学更多的利用抽象学习抽象；数学课本里更多的是天书般的符号。”,）,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（2）符号意识及其建立。,主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号
21、意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,“符号意识”（课程标准2011版）,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,“理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律”,（2）符号意识及其建立。,表示“魔盒”、“数青蛙”中的规律。,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（2）符号意识及其建立。,1、体会到字母表示数具有简明、概括的优点，从内心接受这种符号语言。,本课建立符号意识的落脚点：,2、初步理解字母和字母式可以表达一定的数 量关系，表示一定的语言含义。,“理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律”,3.体会字母表
22、达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（2）符号意识及其建立。,“知道符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”,如：,“带计算”,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（2）符号意识及其建立。,“知道符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”,如：,“带计算”,一个圆柱底面半径3厘米，高5厘米，它的表面积是多少平方厘米？,332+325=18+30=48,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（2）符号意识及其建立。,“知道符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”,如：,谁走的路长？,简单推理,D
23、,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,（2）符号意识及其建立。,“a” 和 “a+10” “n”“n”“2n”“4n” 蕴含的意义,3.体会字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（3）帮助学生建立符号意识的建议。,首都师范大学 王尚志教授 符号意识,（小学数学教育2012第7、8期 ）,三个建议：1、梳理小学需要学习的符号，把这些符号列出来；2、符号分类，讨论他们之间的联系，体会每一类符号带给我们的好处。3、学会综合地使用符号，逐步形成符号体系，形成表述问题的符号语言。,3.体会
24、字母表达的简明、概括性，建立符号意识；,教学目标,教学目标,（3）帮助学生建立符号意识的建议。,首都师范大学 王尚志教授 符号意识,（小学数学教育2012第7、8期 ）,数字符号：1、2、3、4、5 运算符号：+、 ， 运算时表示顺序（ ）、 变量符号：（ ）、x、y、a、b、c 象形符号：、/、 关系符号：= 、 、 符号串：a+b=b+a,教师心中有数：明确意义，讨论好处，综合使用。,4.经历由具体思维到抽象概括过程，积累活动经验。,教学目标,教学目标,所谓“抽象”直白说就是把若干具体的内容 （事物的本质属性）用概括的方法表达出来，课上提的问题： “一组组输入与输出的数永远也 写不完，用一
25、种简明概括的方法表示出来”学生思 考表示的过程就是抽象的过程。符号：是概括抽象之后的简明表达形式。函数渗透：是引导学生从具体数的观察上升到“量”的关系的研究。,关于教学效果：,关注思维过程 启迪学生智慧 与赵东老师对话用字母表示数,专家评课：吴老师点明了什么？,欣喜一：魔盒很神秘，学生真喜欢！,欣喜二：学生很会想，表达真清楚！,困惑：这节课还有不少内容来不及讲了！,3.一堂课教学目标的定位是什么？,1.创设问题情境的价值是什么？,2.怎样突出学生的主体地位？,我的感受：,吴老师归纳：,专家评课：吴老师点明了什么？,用字母表示数练习课,补充、巩固、深化,目标定位：1、熟练用字母表示数量关系的方法
26、，学会简写、代入计算。2、经历寻找较复杂的寻找规律的过程，进一步体会用字母表示数的简洁实用性。,他们30天共投报多少份？,他们c天共投报多少份？,一、基本练习：,问题一：,4b,x5,ac,1,1a1b,= 4b,=,= ac,= 5x,= a+b,张大爷家一块正方形菜地的边长为a（单位：米）。,C表示周长；S表示面积。,一、基本练习：,问题二：,C表示周长；S表示面积。,正方形菜地的一条边拓长20米，另一条边不变。,（1）现在的菜地一共多少平方米？,（2）当a5时，求菜地总面积。,一、基本练习：,问题二：,三角形个数,小棒的根数,3,6,9,12,15,n,3n,3n=380240,n=80,二、拓展提高：,小棒摆三角形,3,5,7,9,二、拓展提高：,小棒摆三角形,5,6,11,13,二、拓展提高：,小棒摆三角形,5,6,11,13, ,二、拓展提高：,小棒摆三角形,二、拓展提高：,小棒摆三角形,思考题：, ,面对一节课的思考：,1、学生的学习基础与困惑有哪些？2、教学目标中除知识技能外还应涉及哪些思想方法与活动经验的获得？3、设计怎样的情境（活动）促进学生的参与？4、还有哪些内容需要进一步弥补、落实？,谢谢倾听！,
