1、经典数学难题挑战你的极限1.不说话的学术报告1903 年 10 月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑板前，没说话，用粉笔写出 267-1，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数字，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。证明了 2 自乘 67 次再减去 1，这个数是合数，而不是两百年一直被人怀疑的质数。有人问他论证这个问题，用了多长时间，他说：“三年内的全部星期天”。请你很快回答出他至少用了多少天？156 天1902,1901,190036531095109571563 最少 156 个星期天2.国王的重赏传说，印度的舍罕国
2、王打算重赏国际象棋的发明人大臣西萨班达依尔。这位聪明的大臣跪在国王面敢说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有 64 格的麦粒，都赏给您的仆人吧？”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的”。说着，他下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了。还没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发明人许下的语言。算算看，国王应给象棋发明人多少粒麦子？264
3、-118446744073709551615 是这些麦子1+2+4+8+2 的 63 次方=2 的 64 次方-1=18446744073709551615(粒)3.王子的数学题传说从前有一位王子，有一天，他把几位妹妹召集起来，出了一道数学题考她们。题目是：我有金、银两个手饰箱，箱内分别装自若干件手饰，如果把金箱中 25的手饰送给第一个算对这个题目的人，把银箱中 20的手饰送给第二个算对这个题目的人。然后我再从金箱中拿出 5 件送给第三个算对这个题目的人，再从银箱中拿出 4 件送给第四个算对这个题目的人，最后我金箱中剩下的比分掉的多 10 件手饰，银箱中剩下的与分掉的比是21，请问谁能算出我的
4、金箱、银箱中原来各有多少件手饰？金箱 50银箱 30把条件归纳一下金箱，一共取出了 25%加 5件，剩下的比分掉的多 10件如果再分掉 102=5件，剩下的就和分掉的一样多原来有：（5+102)（1/2-25%）=40 件银箱，一共取出了 20%加 4件，取出的占总数的：1/(2+1)=1/3原来有：4（1/3-20%）=30 件设金箱有 X件，银箱有 Y件，则有：X-0.25X-5-10=0.25X+5；Y-0.2Y-4=2（0.2Y+4）X=40；Y=30设金箱有 X件，银箱有 Y件，则有：X-0.25X-5-10=0.25X+5；Y-0.2Y-4=2（0.2Y+4）X=40；Y=304.
5、公主出题古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取其余一半又一个给第二人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”第一个人一半就是 2 分之 1，第二个人剩余的一半就是 4 分之 1，第三个人最后所余的一半就是 8 分之 1，然后列方程解决：解：设篮中原有 X 个李子。2 分之 1X+1+4 分之 1X+1+8 分之 1X+1=X解得 X=24 列算式解答 3(1-2 分之 1-4 分之 1-8 分之 1)=245.哥德巴赫猜想哥德巴赫是二百多年前德国的数学家。他发现：每一个大于或等于
6、6 的偶数，都可以写成两个素数的和（简称“11”）。如：1037，16=511 等等。他检验了很多偶数，都表明这个结论是正确的。但他无法从理论上证明这个结论是对的。1748 年他写信给当时很有名望的大数学家欧拉，请他指导，欧拉回信说，他相信这个结论是正确的，但也无法证明。因为没有从理论上得到证明只是一种猜想，所以就把哥德巴赫提出的这个问题称为哥德巴赫猜想。世界上许多数学家为证明这个猜想作了很大努力，他们由“14”“1+3”到 1966年我国数学家陈景润证明了“12”。也就是任何一个充分大的偶数，都可表示成两个数的和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的积。你能把下面各偶数，写成两
7、个素数的和吗？（1）100=（2）50=（3）20=100=53+4750=37+1320=17+3应该对，我也做这个题了！6.贝韦克的七个 7二十世纪初英国数学家贝韦克友现了一个特殊的除式问题，请你把这个特殊的除式填完整。贝韦克的七个 7 的问题在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * 7 * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字
8、偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？答案如下（这里“*”代表原题中是 “7”，以便区别）： 5 8 * 8 1 1 2 5 4 * 3 ) 8 3 * 5 4 2 8 4 1 3 7 2 7 3 6 5 1 1 0 1 7 * 8 1 0 0 3 7 8 4 9 * 9 9 4 4 8 * 8 3 1 1 1 0 1 6 3 3 1 1 0 0 3 * 8 4 1 2 5 4 7 3 1 2 5 4 7 3贝韦克的七个 7 的问题下列除式，是一个整除的算式。除了能看见的七个 7 以外，“*” 是需要你填写上去的数字。试试看。不算简单，但也不复杂。* * 7 * *-* * * * 7 *
9、 ) * * 7 * * * * * * * * * * * *-* * * * * 7 * * * * * * *-* 7 * * * * 7 * * * *-* * * * * * * * * * 7 * *-* * * * * * * * * * * -0答案如下（这里以“*”代表原题中是 “7”，以便区别）：5 8 * 8 1-1 2 5 4 * 3 ) 8 3 * 5 4 2 8 4 1 37 2 7 3 6 5-1 1 0 1 7 * 81 0 0 3 7 8 4-9 * 9 9 4 48 * 8 3 1 1-1 0 1 6 3 3 11 0 0 3 * 8 4-1 2 5 4 7
10、 31 2 5 4 7 3 -0贝韦克的七个 7 的问题下列除式，是一个整除的算式。除了能看见的七个 7 以外，“*” 是需要你填写上去的数字。试试看。不算简单，但也不复杂。* * 7 * *-* * * * 7 * ) * * 7 * * * * * * * * * * * *-* * * * * 7 * * * * * * *-* 7 * * * * 7 * * * *-* * * * * * * * * * 7 * *-* * * * * * * * * * * -0答案如下（这里以“*”代表原题中是 “7”，以便区别）：5 8 * 8 1-1 2 5 4 * 3 ) 8 3 * 5 4
11、 2 8 4 1 37 2 7 3 6 5-1 1 0 1 7 * 81 0 0 3 7 8 4-9 * 9 9 4 48 * 8 3 1 1-1 0 1 6 3 3 11 0 0 3 * 8 4-1 2 5 4 7 31 2 5 4 7 3 -07.刁藩都的墓志铭刁藩都是公元后三世纪的数学家，他的墓志铭上写到：“这里埋着刁藩都，墓碑铭告诉你，他的生命的六分之一是幸福的童年，再活了十二分之一度过了愉快的青年时代，他结了婚，可是还不曾有孩子，这样又度过了一生的七分之一；再过五年他得了儿子；不幸儿子只活了父亲寿命的一半，比父亲早死四年，刁藩都到底寿命有多长？8.遗嘱传说，有一个古罗马人临死时，给怀
12、孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的 2/3 给儿子，母亲拿 1/3；生下来的如果是女儿，就把遗产的 1/3 给女儿，母亲拿 2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢？古罗马法学家萨尔维昂尤利昂对这个问题作了一个有法律根据的解决办法；根据立遗嘱人的要求，女儿得到的遗产应是母亲得到遗产的二分之一 ，儿子得到的遗产应是母亲得到遗产的 2 倍。这样应把遗产分成 7 份，母亲可得到 2 份，女儿得到 1 份，儿子得到 4 份。9.布哈斯卡尔的算术题公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来，在甲花上落下 1/5，在乙花上落下 1/3，如果落在两种花上的蜜蜂的差的三倍再
13、落在花上，那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞欣赏花香，算算这里聚集了多少蜜蜂？10.马塔尼茨基的算术题有一个雇主约定每年给工人 12 元钱和一件短衣，工人做工到 7 个月想要离去，只给了他 5 元钱和一件短衣。这件短衣值多少钱？11.托尔斯泰的算术题俄国伟大的作家托尔斯泰，曾出过这样一个题：一组割草人要把二块草地的草割完。大的一块比小的一块大一倍，上午全部人都在大的一块草地割草。下午一半人仍留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一块，这一块由一个割草人再用一天时间刚好割完。问这组割草人共有多少人？（每个割草人的割草速度都相同）12.涡卡诺夫斯基的算术题（一）一只狗追赶一匹
14、马，狗跳六次的时间，马只能跳 5 次，狗跳 4 次的距离和马跳 7 次的距离相同，马跑了 5.5 公里以后，狗开始在后面追赶，马跑多长的距离，才被狗追上？13.涡卡诺夫斯基的算术题（二）有人问船长，在他领导下的有多少人，他回答说：“2/5 去站岗，2/7 在工作，1/4 在病院，27 人在船上。”问在他领导下共有多少人？14.数学家达兰倍尔错在哪里传说 18 世纪法国有名的数学家达兰倍尔不加?#鞯呐 砹讼旅嬲飧鲂奈侍猓?br/拿两个五分硬币往下扔，会出现几种情况呢？情况只有三种：可能两个都是正面；可能一个是正面，一个是背面，也可能两个都是背面。因此，两个都出现正面的概率是 13。你想想，错在哪
15、里？15.埃及金字塔世界闻名的金字塔，是古代埃及国王们的坟墓，建筑雄伟高大，形状像个“金”字。它的底面是正方形，塔身的四面是倾斜着的等腰三角形。两千六百多年前，埃及有位国王，请来一位名子叫法列士的学者测量金字塔的高度。法列士选择一个晴朗的天气，组织测量队的人来到金字塔前。太阳光给每一个测量队的人和金字塔都投下了长长的影子。当法列士测出自己的影子等于它自己的身高时，便立即让助手测出金字塔的阴影长度（CB）。他根据塔的底边长度和塔的阴影长度，很快算出金字塔的高度。你会计算吗？16.一笔画问题在 18 世纪的哥尼斯堡城里有七座桥（如右图）。当时有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。这就
16、是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？16.一笔画问题这个问题，实际上是一笔画问题。一笔画就是一笔可以画成一个图。判断一笔画的方法：是连通的。一个图，如果图上任意二点总有线段连接着，就称为连通的。不是连通的就不能一笔画出。奇点个数是 0 或者是 2。图上线段的端点可以分成二类，奇点和偶数。一个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。一个图是否是一笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是一笔画，否则就不是一笔画。哥尼斯桥问题，就是一笔画问题。但因 A、B、C、D 四个点都是奇点即奇点的个数是 4，而不是 0 或 2，所以不是一笔画
17、，也就不能一次走遍，而又不重复。17.韩信点兵传说汉朝大将韩信用一种特殊方法清点士兵的人数。他的方法是：让士兵先列成三列纵队（每行三人），再列成五列纵队（每行五人），最后列成七列纵队（每行七人）。他只要知道这队士兵大约的人数，就可以根据这三次列队排在最后一行的士兵是几个人，而推算出这队士兵的准确人数。如果韩信当时看到的三次列队，最后一行的士兵人数分别是 2 人、2 人、4 人，并知道这队士兵约在三四百人之间，你能很快推算出这队士兵的人数吗？17.韩信点兵（1）由于被 3 和 5 除都余 2，所以这个数应该是：35A2（A 是整数），为了使35A2 的得数能满足再除以 7 余 4 的条件，只好假
18、设 A=1、A2、A3逐一去试，看哪个数能满足被 7 除余 4 这个要求。假设，当 A1 时，即 35l217，（17723，不符合要求）；当 A2 时，即 352232（327=44，符合被 7 除余 4 的要求）。（2）如果这队士兵人数在三四百人之间，应该用 357 的积乘以 3 再加此题一系列答案中最少的一个 32。即：357332347（人）数学上把这类问题称为不定方程问题。18.共有多少个桃子著名美籍物理学家李政道教授来华讲学时，访问了中国科技大学，会见了少年班的部分同学。在会见时，给少年班同学出了一道题：“有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家同意先去睡觉，明天再说。
19、夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起来，又睡觉去了。第二只猴子爬起来也扔了一个桃子，刚好分成五份，也把自己那一份收起来了。第三、第四、第五只猴子都是这样，扔了一个也刚好可以分成五份，也把自己那一份收起来了。问一共有多少个桃子？注：这道题，小朋友们可能算不出来，如果我给增加一个条件，最后剩下 1020 个桃子，看谁能算出来。19.九章算术里的问题九章算术是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有 246 个题目。其中一道是这样的：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车曰行 25 千米，不装米的空车曰行 35 千米，5 日往返三次，问二地相距多少千
20、米？20.张立建算经里的问题张立建算经是中国古代算书。书中有这样一题：公鸡每只值 5 元，母鸡每只值 3元，小鸡每三只值 1 元。现在用 100 元钱买 100 只鸡。问这 100 只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？20.张立建算经里的问题从现代数学的观点来看，百鸡问题是一个求不定方程整数解的问题。有三种可能性：（1）公鸡 4 只，母鸡 18 只，小鸡 78 只（2）公鸡 8 只，母鸡 11 只，小鸡 81 只（3）公鸡 12 只，母鸡 4 只，小鸡 84 只21.算法统宗里的问题算法统宗是中国古代数学著作之一。书里有这样一题：甲牵一只肥羊走过来问牧羊人：“你赶的这群羊大概有 100 只吧”
21、，牧羊人答：“如果这群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的 1/4，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只。”请您算算这只牧羊人赶的这群羊共有多少只？22.洗碗（中国古题）有一位妇女在河边洗碗，过路人问她为什么洗这么多碗？她回答说：家中来了很多客人，他们每两人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗 65只。你能从她家的用碗情况，算出她家来了多少客人吗？23.和尚吃馒头（中国古题）大和尚每人吃 4 个，小和尚 4 人吃 1 个。有大小和尚 100 人，共吃了 100 个馒头。大、小和尚各几人？各吃多少馒头？24.百蛋（外国古题）两个农民一共带了 100 只蛋到市场上去出卖。他们两人所卖得的钱是一样的。第一个人对第二个人说：“假若我有象你这么多的蛋，我可以卖得 15 个克利采（一种货币名称）”。第二个人说：“假若我有了你这些蛋，我只能卖得 6 又三分之二个克利采。”问他们俩人各有多少只蛋？
