1、 数学与创新思维杨凤 2012212575 数学与统计学院全国科技大会指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是国家 兴旺发达的不竭动力。 一个没有创新 能力的 民族难于屹立于世界民族之林。 ” “建立创新型国家。 ”教育部的一个报告指出： “实施素质教育重点是改变 教育观念，尤其是要以培养 学生的创新意识和创造精神为 主。 ”恩格斯指出：一个民族要想站在科学的最高峰，就一 刻也不能没有理论思维。创造性人才的创造活动是在相应的创造 性思维的支配下，所进行的一种积极的能 动的活动。创造性思维是一切创造活动的 核心和灵魂。H 格拉斯曼说：“数学除了锻炼 G 敏锐的理解力，发现真理外，它还 有另一个训练全
2、面考查科学系统的 头脑的开发功能。 ” 赫巴特说：“数学一般通过直接激 发创造精神和活跃思维的方式来提 供最佳服务。 ” 因此我认为： 数学教学不但应该传授 数学知识，还应该培养 学生的创新思维。数学离不开创新。数学着重强调五个问题分别是：1、归纳思维 二、类比思维 三、发散思维 四、逆（反）向思维 五、 （数学）猜想 其中三四五都是与创新思维紧密相连的。发散思维所谓具有发散特性的思维是指信息处理 的途径灵活多变，求结果的丰富多样。它是 一种开放性的立体思维，即围绕某一问题， 沿着不同方向去思考探索，重组眼前的信息 和记忆中的信息，产生新的信息并获得解决 问题的多种方案。因此，也把发散思维称为
3、 求异思维。它是一种重要的创造性思维。 用一题多解，一题多变等方式， 发散式地思考问题。数学王子高斯高斯被誉为： 能从九霄云外的高 度按某种观点掌握星 空和深奥数学的天才 和数学王子。特别是高斯非常重视培养自己的发散 思维，并且善于运用发散思维。他非常 重视一题多解、一题多变。例 如：他对 代数基本定理 ，先 后给出 了4种不同的证明；他对数论中的二次 互反律 ，先后给出了8种不同的证明 （高斯称二次互反律是数论中的一 块宝石，数论的酵母，是黄金定理） 。 欧拉 勒让德第一个证明是用归纳法； 第二个证明是用二次型理论； 第三个和第五个证明是用高斯引理； 第四个证明是用高斯和； 第六个和第七个证
4、明是用分圆理论； 第八个证明是用高次幂剩余理论。 他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其 后 19 世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、 艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给 出了新的证明并发展了该理论。有人曾问高斯：你为什么能对数学作 出那样多的发现？高斯答道：假如别 人和我一样深刻和持久地思考数学真理， 他也会作出同样的发现。 高斯还说：绝对不能以为获得一个证 明以后，研究便告结束，或把另外的证明 当作多余的奢侈品。 有时候一开始你没有得到最简和最美 妙的证明，但恰恰在寻求这样的证明中才 能深入到真理的奇妙联想中去。这正是吸 引我去继续研究的主动力，并且最能使我 们有所发现。高斯这些
5、言行，很值得我 们学习和深思。因此，我们在高等数学教学中，应利 用一题多解、一题多变来培养训练发散思 维，下边我们举几个例子一题多解：计算 解法： Ix3x31 x2dx21 x dx d (x2 ) 2 2 1 x2 1 x1 x2 1 1 d (1 x 2 ) 2 1 x21 1 d (1 x ) 2 2 1 x d (1 x ) 2 2 1 x22第 一 类 换 元 积 分 法1 (1 33 x2 ) 2 (1 1 x2 ) 21 2 2 1 x ( x 2) C 3一题多解：计算 解法：x3 21 xdxIx3 21 xdx x x x31 x2dx2x ( x 2 1) x 1 x2
6、第 一 类 换 元 积 分 法x 1 x2 dxdx x 1 x dx 1 1 x 2 ( x 2 2) C 3一题多解：计算 解法：Ix31 x2dx第 一 类 换 元 积 分 法x3 1 x2dx x 2d 1 x 2 ( x 2 1 1)d 1 x 2 ( x 1)d 1 x d 1 x2 221 2 2 1 x ( x 2) C 3逆向思维 一则小 故事: 一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨 伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。 于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她 担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她 怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。后来有一位聪明的人劝她：老太太，你 真
7、好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆； 大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都 有好消息啊。 这么一说，老太太生活的色 彩竟焕然一新。逆向思维（又称反向思维）是相对于 习惯性思维的另一种思维形式。它的基 本特点是从已有的思路的反方向去思考 问题。它对解放思想、开阔思路、解决 某些难题、开创新的方向，往往能起到 积极的作用。（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考 虑逆推。 （2）如果遇到某些问题直接解决困难，想 法间接 解决。 （3）正命题研究过后，研究逆命题。 （4）探讨可能性发生困难时，而探讨不 可能性。下面举几个高等数学中的例子:dy 1 求解微分方程： dx y (2 x y 2 )若将
8、x 视为自变量，y 视为未知函数，解此方 程就比较困难。因为它既不是可分离变量方 程，也不是齐次方程，也不是全微分方程， 也不是线性方程和伯努里方程。 但是，如果利用逆向思维，即反过来将 x 视 为未知函数, y 视为自变量，将方程变为dx 2 y (2 x y ) dy它就是未知函数 x 的线性微分方程。很容易 求出其通解。1 2 y2 C x e ( y 1)e 2y2n! 若直接解决困难， 例 1： 试求 lim n ? 想法间接解决。 n n 解法：用间接的方法，即转化为判断级数n! nn n 1u n 1 1 1 lim lim 1 1 n e n u n n (1 ) n故知级数
9、n!nn 1n收敛 .级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是n! lim un lim n 0 n n n解法:利用夹逼定理n! 1 n, n n nn! 1 1 n! 1 ,即 n n n n n n n n1 n! lim 0, 故 lim n 0. n n n n1 而 lim n 0, n n当两条直线相交于非常遥远的地方时， 就无法判断这两条直线是否平行，因此不 具有直观的明显性。因此没有得到公认， 于是就有人提出来把它作为定理来证明。 但是许多数学家经历了2000多年都以失败 告终，他们不是证明有错误，就是用另一 条等价的公理代替了第五公设。达朗贝尔曾把第五公设的证明称为几何原理中
10、的家丑。直到19世纪初，数学家们着手研究它的 反问题欧几里得第五公设不可证。特别 是德国的高斯、匈牙利的鲍耶、俄国的罗巴 切夫斯基他们各自总结了前人和自己试证第 五公设的失败教训。高斯(1799,1813)罗巴切夫斯基(1826,1829)鲍耶（1832）罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否 依赖于第五公设（平行公设）分为两部分： 不依赖于第五 公设得到证明的命 题（绝对几何） 。 依赖于第五 公设才能证明的 命题。“在一个平面上，过直线 AB 外一点至少可以作一条直线与 AB 不相交” 。 1. 仅可作一条（第五公设） 欧氏几何； 2. 可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的 命题，
11、这就无异于证明了第五公设。 可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙 的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但 又和欧氏几何不同的新的几何体系。他们首先肯定了欧几里得第五公设是不 能用其它公理作出证明，然后用一个与 它相反的命题来代替它。即在平面上， 过直线外一点至少可引两条直线与已知 直线平行。从而建立了一种与欧几里得不同的新 的几何体系。 高斯称之为反欧几里得几何 罗巴切夫斯基称之为想象的几何 后他又称之为泛几何 今天称之为罗巴切夫斯基几何（又称双 曲几何） 。后来德国数学家黎曼用一个既与欧 几里德第五公设的命题相反又与罗巴切 夫斯基平行公理相反的命题来代替它们，
12、即在平面上，过直线外一点不可能引 一直线与已知直线平行。 黎l从而建立了一种与欧 几里得几何、罗巴切夫斯 基几何都不同的新的几何 体系，现称为黎曼几何 （又称椭圆几何） 。黎曼(1854)现在人们把罗巴切夫斯基几何与黎曼 几何统称为非欧几里得几何。20世纪伟大的数学家希 尔伯特指出: “19世纪最富启 发性和最值得注意的成就是 非欧几里得几何的发现。 非欧几里得几何的创立是几何学上的革命， 它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数 学分支的产生，它的重要意义还在于使数学 哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使 人们对空间的认识更深刻，更完全了。例如， 它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学 工具
13、。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙 的几何模型。(太平洋)欧几里得： 黎曼：三角形内角和 = 两直角 三角形内角和 两直角, 2r=c ， a2+b2=c2 , 2rc ，a2+b2c2罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角后来许多几何理论都建立在改变和推广欧 几里得几何概念的基础之上。例如：1844年格 拉斯曼建立的 n 维仿射空间和度量空间几何。1871年克来因关于五次及五次以上代数方 程根式求解问题在16世纪之前，数学家们就成功地找到 了一般的一次、二次、三次、四次以及某些 特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。 如： 2 b b 4ac 2 ax bx c 0, x1, 2 2a那么，一般五次及五次以上的代数方程是 否也存在根式解法呢？这个问题吸引着众多的数学家，他们相 信这种解法一定存在，包括：卡当 （Cardano） 、韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、 莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了 两百多年的努力都未能找到解法。
