1、湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学 专业年级：2011 级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120 分钟注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。一 填空题（每小题 5 分，共 30 分）1. 用 作为圆周率 的近似值时，有 位有效数字。3513.1492652. 要使迭代法 局部收敛到 则 的取值2()(),x1()kkx*5,x范围是 .3. 若 则谱条件数 .,1A 122CondA4. 设 为 个互异的插值节点， 为0,nx ()()(0,1)jijixlin拉格朗日插值基函数，则.10()niilx5. 已知实验数据i0
2、1 2 3y1 2 4 5则拟合这组数据的直线为 .6. 要使求积公式 具有 2 次代数精度，则110()(0)()4fxdfAfx， 二 ( 11 分) 给定方程 32()6.fx(1) 证明该方程在区间 内存在唯一实根1, *;x(2) 用牛顿迭代法求出 的近似值，取初值 要求*01.5,510.kx三( 10 分) 用高斯列主元素消去法解线性方程组12318.249x四(10 分) 给定线性方程组12321,x写出求解该方程组的雅可比迭代格式，并分析雅可比迭代法的收敛性。五(13 分) 试根据数表 ix10 2iy10 14 16i1 1构造 Hermite (埃尔米特)插值多项式 ()
3、.Hx六(10 分) 求常数 使积分 取最小值。,120edx七(16 分) 用龙贝格方法求积分31Idx的近似值，要求误差不超过 0.工程数学试题参考答案一 (1) 7 ; (2) ; (3) 3 ; (4) ;0,51 nnx10)(5) ; (6) x4.90.4,211Ax二 解. (1) 因为所以由零,)21(063)(,0)2(,0)1(,2)( 2 xxfffCxf点定理和单调性知原方程在 内存在唯一实根 (4 分).*(2) 牛顿迭代格式为(7 分).,210,6363221 kxxxkkkkk取初值 计算结果如下：,5.00 1 2 3 4kx1.5 1.238095 1.1
4、96815 1.195824 1.195823(11 分)5*434,.958.xx三解. (2 分)120218320(4 分) (5 分)24195703241950273(7 分)2419502378等价的上三角形方程组为回代得 (10 分)123349,57.8xx3215,.xx四. 解. 雅可比迭代格式为(1)()()2321(1)()()32(3)kkkkxx 分雅可比迭代矩阵(5 分)102,JB其特征方程 的特征值1| 0,2JEJB(8 分) 因为谱半径 所以雅可比迭代法收敛。 (1012,310.1,2J分)五列表计算差商 ix()if一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差
5、商1 101 10 10 14 4 32 16 1 1 42 16 1 1 0 9(10 分)(13 分)2224()10()3(1)()(1).9Hxxxx六解. 取 定义内积,;fe10,()(),0,fgfdgC则1200,3x1300,4x100,xfed(5 分)41,5d21, .xfed正规方程组为(8 分) 34125e解得(10 分).5374.08,903.41680ee七. 解. 计算结果见下表k0()Tk1()Tk2()Tk3()Tk0 1.33333331 1.1666667 1.11111122 1.1166667 1.1000000 1.09925933 1.10
6、32107 1.0987254 1.0986404 1.0986306(14 分)因为 所以 (16 分)332(0).68710,T1.09863.I湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 工程数学(A 卷) 专业年级：2014 级专业型硕士研究生考试形式：闭卷(可用计算器) 考试时间： 120 分钟注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。三 填空题（每小题 4 分，共 20 分）1. 设 则导数值 有 位有效数字。,)(xf3510.)2(f2. 若 则 ，条件数 .,01A|Ax()CondA3. 设 ，则差商 ， .3)(2f f,23f4. 拟合三点 的直线
7、是 .)2,(,),CBy5. 参数 时，求积公式 的代数 )(0)(0( 20 hffhfhdxfh 精 度达到最高，此时代数精度为 .四 (12 分) 给定方程 .2xex(3) 证明该方程在区间 内存在唯一实根)1,0(*;x(4) 写出牛顿迭代法求 的迭代格式；*(5) 若取初值 牛顿迭代法是否收敛？若收敛，指出收敛阶数。,0x3( 12 分) 用三角分解法解线性方程组 .3412532x四( 16 分) 分别给出用雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法解线性方程组 321501bx时，对任意初始向量都收敛的充要条件. 五(16 分) 用插值法求一个二次多项式 使得曲线 在 处与曲线),(2x
8、P)(2xPy0相切，在 处与 相交，并证明xycos2xycos.34|)(|ma20xx六(12 分) 求 在 上的一次最佳平方逼近多项式。 xef)(1,7(12 分) 已知函数表请分别用 的复化梯形公式和 的复化辛浦生公式计算积分 的8n4n10)(dxf近似值.（取 7 位浮点数）工程数学试题(A 卷) 参考答案一 (1) 3 ; (2) ; (3) ; (4) ;5,60,9231x(5) . ,122 解. (1) 因为 在 上连续，并且2)(xef )1,( ,1001,0)( xexff所以由零点定理和单调性知原方程在 内存在唯一实根 (4 分), .*(2) 牛顿迭代格式为
9、(8 分).,21,1 kexkxk 因为 所以牛顿迭代法收敛， )0()(f 0)(f且收敛阶为 2. (12 分)x0 0.125 0.250 0.375 0.500)(f1 0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510x0.625 0.750 0.875 1)(f0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709三. 解. 用杜里特尔分解法求解。按紧凑格式计算得562813731于是得( 9 分).5613,28071,15203 yUL回代求解上三角形线性方程组 得原方程组的解为,xy.213即 ( 12 分),(),(31
10、4解. 雅可比迭代矩阵,05011)(1 ULDBJ其特征方程为( 4 分),013|2JBE的谱半径 所以 J 法收敛的充要条件是 . (8 分)JB,10|3)(J 310|赛德尔迭代矩阵,500100501)( 211 ULDBG其特征方程为(12 分),103|2GBE的谱半径 所以 G-S 法收敛的充要条件是 .(16 分)GB,10|3)(G 310|5解. 由条件得(3 分).0cos2,0)cos()0,1cos)0( 2202 xxx PPP( 6 分).,(2 ff作差商表kx)(kxf一阶差商 二阶差商0 10 1 020 224( 9 分).41)(22xP( 12 分
11、).,0,6!3|sin|co)(| 222 xxP记 令 得 所以,g,)3()g.3,21x,542max320 故( 16 分).3|cos)(|20xPx6解. (1) 取 并设一次最佳平方逼近多项式为 则,1)( ,bxay,1),(21)(,( 10001000 dxefxdd(6 分),2,3),2), 1010211 xf正规方程组为 ( 8 分) 解得 232eba.3012,6eba故所求的最佳平方逼近多项式为 ( 12 分) .6)301(xy7解. 9726.0815.97.216)(108Tdxf84109.)35.095. ( 6 分)4)871925.09365.
12、72.0938.(412)(104 Sdxf41)560958.986.2= ( 12 分).43湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷）参考答案 专业年级： 11 级各专业考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120 分钟注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。一、简答题(20 分)1、避免误差危害的主要原则有哪些？答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减） ，会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。 （2 分）（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。 （3 分）（3）几个数相加减时，为了减少误差
13、，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。 （4 分）（4）采用稳定的算法。 （ 5 分）2求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？答：（1） 若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。 （3 分）（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。 （4 分）（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。 （5 分）3求解非线性方程的 Newton 迭代法的收敛性如何？ 答：（1） Newton 迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。 （2 分）（2）用 Newton 迭代法求方程 的单根时，
14、其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线0)(xf性收敛。 （5 分）4 Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？答：（1）Newton-Cotes 积分公式当 时，Cotes 系数都为小于 1 的正数，因此是稳定的。 （3 分）7n（2）当 时，出现了绝对值大于 1 的 Cotes 系数， 因此是不稳定。 （5 分）8n二、(10 分) 证明函数 关于点 的 k 阶差商 可以写成对应函数值)(xfx,.10 ,.10kxf的线性组合，即ky,.10 kjjjkxwyf 010 )(,.其中节点 。).()( kxxw证明：通过简单计算，可知 （2 分） 。)()(0ijnjij x
15、xwNewton 插值多项式为， （5 ）).(,. .)(,)( 11010 10200 nnn xxxf xffyNLagrange 插值多项式为其中，（8 分）由于插值多项式的唯一性，比较两个多项式 的系数，他们应该相等，从而nx。 （10 分）kjjjkxwyxf 010 )(,.本题也可以用数学归纳法证明。三、(10 分). 求解非线性方程 在区间0,1内的根，误差不超过 0.001.（简单迭代法和sin32xNewton 迭代法中选一种方法。 ）解： 因为 ， 在区间 恒成立，所以取初值0)1(f 0)(“,)(ff 1,3/ 1,3/0x若 ， （3 分）(0xf则 Newton
16、 迭代 )cos(6in)( 21 kkkk xxfx收敛，取 0.8， 具体迭代过程如下： （7 分）0xx=0.8;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)y =0.75061432494672 x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)y =0.74844662434814 x=y;y=x-(3*x2-sin(x)-1)/(6*x-cos(x)y =0.74844244703132 （10 分）注：若是采用简单迭代法：则计分如下：写出迭代格式（3 分） ，证明格式的收敛性（ 4 分） ， 计算过程（ 3 分） ，共 10 分。四、(10
17、分)求函数 在区间 上的一次最佳平方逼近多项式。xef)(1,0解：设一次最佳平方逼近多项式为 y=a+bx, 正规方程组为：0) () ()nnniiLlflflfy 0111)(),2,iinii injijxxxli A(7 分)1321eba求解方程组，得到a=0.87312731383618 （4e-10 ）b=1.69030902924573 (18-6e)（10 分）五、(10 分) 利用三角分解法求解线性方程组： 。712335x解： 系数矩阵的三角分解 A=LU, 其中，A =3 2 3 2 2 0 3 0 12 L =1 0 0 2/3 1 0 1 -3 1 U =3 2
18、3 0 2/3 -2 0 0 3 （6 分）求解方程组 Ly=b, 则y= 5 -1/3 1 ; （8 分）求解方程组 Ux=y, 则x=1 1/2 1/3 （10 分）六、(10 分)写出求解线性方程组 Gauss-Seidel 迭代格式，并判断收敛性。 158420643231x解： Gauss-Seidel 迭代格式为：（5 分）/)1(8410/52)6(1(3)(4(4213)(2(kkkkkxx因为系数矩阵是严格对角占优矩阵，所以 Gauss-Seidel 迭代收敛。 （10 分）七、 （10 分）已知函数 的数据如下表，求相应的插值多项式（Lagrange 插值多项式与 Newt
19、on )(xfy插值多项式中选一种） 。x 1 2 3 4解： Lagrange 插值多项式如下：（7 分）30)42(3)1(4)3(2)1(5)()()()(3 xxxxL（10 分）63注：若是用 Newton 插值多项式，则差商表（ 6 分） ，正确写出 Newton 插值多项式并整理（4 分）总计（10）分八、(10 分) 用变步长求积公式计算积分 ，要求事后误差不超过 0.01.xd120解： 1.5 （ 1 分）)1(0(21fT（ 2 分）.52)（4 分）67.)(/(*3/(1 TS（6 分）5941183 4)1)2)4ffT， （8 分）2.70)/(/(/(且 事后误差 （10 分）.060.2 5|1 S所以积分值为 1.57078431372549九(10 分) 给出如下数据表，用直线 y=a+bx 最小二乘拟合数据表。解：法方程组为：(7 分)3.71460825ba求解方程组，得到：a=0.94182b=1.52585 （10 分）y 1 5 14 30x 0 0.2 0.4 0.6 0.8y 1.0000 1.2214 1.4918 1.8221 2.2255
