1、第三章 中国古代数学教学重点：1 理解并掌握九章算术的主要贡献。2 能叙述算经十书的名称；掌握祖冲之的贡献，知道密率及约率值。 3 掌握宋元数学家的贡献。3.1九章算术1 介绍中国古典数学最重要的著作，成书 1cen B.C九章算术：问题集，共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功；均输 ，盈不足，方程，勾股。面积、体积：方田，商功；比例：粟米，衰分，均输 ；开方：少广贡献一：正负数加减法则正负数的加减运算法则李文林在数学史教程中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引
2、起震撼和迷惑。 ” 国外首先承认负数的是 7 世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲 16 世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。 贡献二：方程术线性方程组求解：消元法例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？ 贡献三：开方术今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。“开方术”演变为”增乘开方法“，开高次方，求高次方程数值解；“开方术”：包含求 方法； 接受开方不尽的数无理数； 贡献四：盈不足例：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何？“盈不足”
3、：线性插值法；“盈不足”可以解决非盈亏类问题；“盈不足”通过丝绸之路传入阿拉伯国家，被称为“契丹算法” 。贡献五：几何“方田”：各种图形的面积计算；“商功”：各种土木工程中的体积计算。长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式正确；只是圆周率取 3，误差较大。“勾股”：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。 评价小苍金之助（日）：九章算术是中国的几何原本 。吴文俊：九章算术和刘徽的九章算术注 ，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与几何原本东西辉映，各具特色。1968 年德国沃格尔（Vogel）把九章算术译成德文出版时的
4、评论：“在古代算术中，包含如此丰富的 246 个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。 ” 02cbxa212121 , , baxyabyabx3.2.1 刘徽与九章算术注九章算术数学理论门类繁多，依题列术，术文不附原理说明。刘徽注九章 ，一面阐明每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系，使之成为一个严谨、完整的理论体系。刘徽(魏晋 , 公元 3 世纪)，幼习九章 ，长再详览。知识渊博，精通四书五经、诸子，谙熟前人数学， 周髀算经 、张衡数学。刘徽集前辈之大成，又不迷信古人。注方田章圆田时，由于前人用径一周三，古率失之于粗，刘徽注说：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，
5、习其谬失” 。在中国古代数学中的地位、影响：阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理；九章算术注中有的注文千字以上，是一篇高水平的数学论文；公元263 年撰九章算术注 ， 海岛算经 ；中国传统数学最具代表性的人物，其学术思想为后世继承，如祖冲之，李淳风（唐） 。(一) 割圆术-极限思想闪烁“割圆术”：用圆内接正多边形去逐步逼近圆。 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 具体贡献：圆周率的推导；球体体积公式的证明1 圆周率的推导2 求积理论刘徽的面积、体积理论基础： “出入相补原理” 。刘徽用这条原理成功地证明了九章算术中的许多面积公式。刘徽在推证九章算术中的一些
6、体积公式时，使用：极限方法与不可分量方法。（1）计算球体积，刘徽提出“牟合方盖” 。（2）阳马体积的推导3.2.2 祖冲之与祖暅祖冲之(429-500A.D)：做过小官，创制大明历 ，当时最先进的立法。著作：缀术 ，已经失传。贡献一：圆周率的推导祖冲之求得的 值的取值范围为 3.141592 3.1415927约率： 密率：7213516cenV.Otto 等重新推算出这个分数近似值贡献二：球体积的推导祖暅原理：幂势既同，则积不容异。指“两等高立体图形，若在所有等高处的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。思路：刘徽用水平截面去截球和“牟合方盖” ，可知截面的面积之比恒为：4，于是由祖暅原理立
7、即得到V 球:V 牟=：4即 V 球= （/4） V 牟。假设：V 小牟=V 立方体-V 直四棱锥= , V 牟 =8* ，则 V 球= （/4 ）V32r32r牟算经十书算经十书是隋唐时期的教科书，包括十本书，分别是：周髀算经九章算术 海岛算经 孙子算经 张邱建算经 夏侯阳算经 五曹算经五经算术 缀术 缉古算经缀术失传，后用数术记遗补。一孙子算经“物不知数“问题：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之余二，问物几何？”N2（mod3）3（mod5）2（mod7）其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。计算过程为： N=702+213
8、+1522105.二张邱建算经“百鸡问题”： “今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。 ” 给出三组答案：（4，18，78） ， （8，11，81） ， （12，4，84）三缉古算经辑古算经是十部算经中最晚的一部，作者王孝通，唐初人。求解 28 个如下的三次方程：数值解。3.3 宋元数学-中国古代数学的顶峰宋元时期的主要数学家：贾宪，秦九韶，朱世杰，李冶社会背景：毕升发明活字印刷术 (约 10411048 年) ，促进了数学著作的保存与流传。 三大发明：活字印刷，火药，指南针。社会的商业繁荣，手工业兴盛，国家统一。一 贾宪贾宪：北宋人， 黄
9、帝九章算术细草 ，失传，主要内容载于杨辉著作中。贡献：1 贾宪三角即二项式系数表 2 开高次方二 秦九韶秦九韶：著数书九章贡献：1 “正负开方术”：高次方程数值解法2 “大衍总数术”：一次同余组解法，称为“中国剩余定理” 。三 李冶与天元术天元术-半符号代数天元术：列一元高次方程的方法， “立天元一为某某” ，即“设 x 为某某” 。四 朱世杰朱世杰：（1260-1320 年）平民数学家，数学教育家。著作：四元玉鉴标志中国古代数学的顶峰；算学启蒙：通俗数学；贡献 1：四元术四元术：解多元高次联立方程组的方法。未知数：“天” ， “地” ，“人” ， “物” 。贡献 2：垛积术-高阶等差数列求和法贡献 3：高次内插法 “立方招兵”问题：“以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺，今招十五日，问招兵几何？”设每日招兵人数： ，十五日共招兵：思考题：与古希腊数学比较，中国古代数学的特点是什么？ 3)2(n 333)2(54)(nns
