1、第一章作业解答第 1 页 共 55 页数学模型作业答案第二章(1) （2012 年 12 月 21 日）1 学校共 1000名学生，235 人住在 A宿舍，333 人住在 B宿舍，432 人住在 C宿舍.学生们要组织一个 10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）. 1 中的 Q值方法；（3）.dHondt 方法：将 A、B、C 各宿舍的人数用正整数 n=1,2,3,相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前 10个（10 为席位数） ，在数字下标以横线，表中A、B、C 行有横线的数分别为 2，3，5，这就是
2、3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从 10个人增至 15人，用以上 3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑 N=10的分配方案，,432 , ,2351 pp1.0ip方法一（按比例分配）,.31ipNq,.312ipNq32.431ipNq分配结果为： 4 , ,321nn方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4第一章作业解答第 2 页 共 55 页4 ,3 ,21nn第 10个
3、席位：计算 Q值为,7.903251Q,75.9204322.931423Q最大，第 10个席位应给 C.分配结果为 3 5 , ,321nn方法三（dHondt 方法）此方法的分配结果为： 5 ,3 ,21n此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3 代表 A、B、C 宿舍）.ipi是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的inp,21ininp尽量接近.,i再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将 3种方法两次分配的结果15N列表如下：宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3）ABC3 2 23 3 34 5 54 4 35 5 56
4、6 7总计 10 10 10 15 15 152 试用微积分方法，建立录像带记数器读数 n与转过时间的数学模型.解： 设录像带记数器读数为 n时，录像带转过时间为 t.其模型的假设见课本.考虑 到 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两tt ,2)(kdnwrvdt边积分，得 nt dwkrvd00)(22k( t.22nvkrt数学模型作业解答第一章作业解答第 3 页 共 55 页第三章 1（2008 年 10月 14日）1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批
5、量都比原来结果减少解：设购买单位重量货物的费用为 ,其它假设及符号约定同课本k对于不允许缺货模型，每天平均费用为：01krTcC2)(121d令 ， 解得 0TrcT21*由 ， 得rQ21与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变对于允许缺货模型，每天平均费用为：02kQrTcQcTC2321)(),(23221rrTkQcTC3令 ， 得到驻点：0Q 3223231221)(ckrcrkcrT第一章作业解答第 4 页 共 55 页与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ，kr在每个生产周期内，开始的一段时间 一边生产
6、一边销售，后来rk0Tt的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为)(0Tt)(g，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论1c2c和 的情况.rk解：由题意可得贮存量 的图形如下：)(tg贮存费为 ni Tit Trkcdtgctgc1 020202 )()()(lm又 )(0rTk, 贮存费变为 0 krc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrcTkrcTC)(2)()( 211.d)(21, 得0T令 )(21rkc易得函数 取得最小值，即最优周期为： 处在 C)( )(21rkcT. 相当于不考虑生产的情
7、况.rc Trk21时当rktrg0O第一章作业解答第 5 页 共 55 页. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. Trk时当第三章 2（2008 年 10月 16日）3在 3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，b试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如bb下假设: ，1)(bk分母 而加的.时是 防 止中 的 0总费用函数 xcbkxtcbkxtctxC3122121 )()( 最优解为 c)(2(315在考虑最优价格问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设
8、q， .又设单位时间的销售量为 .今将销售tqt0)(为 增 长 率 )(为 价 格pbax期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，tT2和 21,21,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T内的总售量为 ，再求 的最优值.0Q解：按分段价格，单位时间内的销售量为Ttbpax2,01又 .于是总利润为tqt0)(20 22111 )()(),(T Tdtbpatqpdtbatpp= 2)(02)( 0201 Ttttqtba = )83)()8)( 0201 tqTpbaTp 第一章作业解答第 6 页 共 55 页)(2)82( 1011 bpaTqTpb)()3( 202t,
9、 得到最优价格为:,021p令 )43(201Tqbap在销售期 T内的总销量为202 2121 )()()(T pbaTdtbpdtbpaQ于是得到如下极值问题： )832)()82)(),(max 20220121 Ttqbpaqbpap ts. 021QT利用拉格朗日乘数法，解得： 8021Tbap即为 的最优值.21,p第三章 3（2008 年 10月 21日）6. 某厂每天需要角钢 100吨，不允许缺货.目前每 30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角
10、钢的需要量 r=100(吨);每次订货费 2500（元）;1c第一章作业解答第 7 页 共 55 页每天每吨角钢的贮存费 0.18（元）.又现在的订货周期 T 30（天）2c 0根据不允许缺货的贮存模型： krcTC21)(得： kTC0925)(令 ， 解得：0dT35092*T由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小 .*又 300100kkC1035023)(*=35333100kT950 （353.33100k）（300100k） 5333.)()* 32故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为 T = ，能节约费用约 5333 元.*50数学模型作业解答第四章（200
11、8 年 10月 28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料 1千克, 原料 5千克；一件乙产品AB用 原料 2千克, 原料 4千克.现有 原料 20千克, 原料 70千克.甲、乙产品每件AB售价分别为 20元和 30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件，相应的利润为 S则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. Zyx,0,7452这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y70 1l2ly 2d第一章作业解答第 8 页 共 55 页以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域. 直线
12、 ：20x+30y=c 在可行域内 l l平行移动.易知：当 过 与 的交点时， xl12l 1lS 取最大值. 由 解得7045yx510yx此时 20 350（元）maS312. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱） 重量（百斤/箱） 利润（百元/箱）甲 5 2 20乙 4 5 10已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24立方米，重量不超过 13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为1x2z.210 maxxzZyxst,
13、0,352412这是一个整线性规划问题.用图解法求解. 可行域为：由直线 245:1xl及 组成直线 在此凸四边形区域内32 0,21xcxl210:平行移动. 2ll 1x1lx第一章作业解答第 9 页 共 55 页易知：当 过 与 的交点时， 取最大值l1l2z由 解得 352421x142x. 9010maz3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3和 2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为 2和 3个单位,所需工时分别为 4和 2个单位.若允许使用原料为 100个单位,工时为 120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分
14、别不低于 6台和 12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉 件,乙型微波炉 件,相应的利润为 S.xy则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. Zyxx,12,6043这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线 ：2x+3y=100, :4x+2y120 1l2l及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域. 直线 ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当 过 与 的交点时, Sl l12l取最大值. 由 解得 12043yx第一章作业解答第 10 页 共 55 页.20yx3 100
15、.maxS数学模型作业解答第五章 1（2008 年 11月 12日）1.对于 5.1节传染病的 模型，证明：SIR（1）若 ，然后减少并趋于零； 单调减处 最 大先 增 加 ， 在则 )(,10 stis )(ts少至 .（2） .)()(,0 ststis 单 调 减 少 至单 调 减 少 并 趋 于 零 ，则若 解：传染病的 模型（14）可写成SIRisdti)1( .)(lim 0.(t) .)( .0, t存 在而单 调 减 少知由 sstsidts)(单 调 减 少 至故（1） .s(t) .s(t) .100 单 调 减 少由若 s;,0, 单 调 增 加时当 idt.)( .1单
16、 调 减 少时当 tss .0lim)8(ti即式 知又 由 书 上第一章作业解答第 11 页 共 55 页.)( .0,1mitidtis达 到 最 大 值时当 （2） .0 1-s ,10 dts从 而则若limittit即单 调 减 少 且4在 5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为 .4ba初始兵力 相同.0yx与(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援,重新建立模型,讨论如何判断r双方的胜负.解:用 表示甲、乙交战双方时刻 t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: tyx, 00, 1
17、 yxbdtyax 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为 baAababAE1,22 .01,21 ，对 应 的 特 征 向 量 分 别 为.tabtabeCetyx221的 通 解 为再由初始条件，得第一章作业解答第 12 页 共 55 页 2 2200 tabtabeyxeyxt 又由 .1aybxd可 得其解为 3 ,202 bxaykx而(1) .210 002011 yabatytx 时 ，当即乙方取胜时的剩余兵力数为 .230y又令 .02,0 11001 tabtabeyxeyxtx） 得由 （注意到 . 020,1xyeyxtab得 .43ln ,3121 btetab(2)
18、若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则r00,)( 4 yxbdtyrax 相轨线为 .,4rdabxrayd即得由 ,22kbxrya此相轨线比书图 11中的轨线上移了.22220.0 karxryryak 或第一章作业解答第 13 页 共 55 页乙方取胜的条件为.ar .,02020arxbaryk亦 即第五章 2（2008 年 11月 14日）6. 模仿 5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室） ，在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为 ）和口服或肌肉注射 3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为 ,0 VtCtxtf 容 积 为
19、血 药 浓 度 为中 心 室 药 量 为 .,0/ tVtftkx则排 除 速 率 为 常 数(1)快速静脉注射: 设给药量为 则,0D., 00tkeVDtCtf 解 得(2)恒速静脉滴注(持续时间为 ): 设滴注速率为 解得 ,00ktfk， 则teVktCktt,1 0(3) 口服或肌肉注射: ， 解 得） 式节 （见 134.5010tkDtf0101 ,01kteVketCtkt3种情况下的血药浓度曲线如下：中心室,tCx排除ktf0第一章作业解答第 14 页 共 55 页(1)(2)(3)O t第五章 3（2008 年 11月 18日）8. 在 5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设
20、 3.0,/5,08.,2.,20,8,01 asmbmllmgM求 ./21Q和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到 处的情况下，进入1l人体毒物量的区别.解 )(85763.29102.75131 508.7028./01/2 毫 克 eebavwQvblal，/10lM其 中9762851.052.08212eQvlb第一章作业解答第 15 页 共 55 页(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为 vblaewQ103只吸到 处就扔掉的情况下的毒物量为1l vblavblea1204 .2563179.1 096.32.0145082.35082.
21、 1.1.43 111 eeeeQvabllllvblavblvblavbl 4.235,8.29543 4在 5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为 .4ba初始兵力 相同.0yx与(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援,重新建立模型,讨论如何判断r双方的胜负.解:用 表示甲、乙交战双方时刻 t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为: tyx, 00, 1 yxbdtyax 现求(1)的解: (1)的系数矩阵为 baAababAE1,22 .0第一章作业解答第 16 页 共 55 页12,21
22、 ，对 应 的 特 征 向 量 分 别 为.tabtabeCetyx21的 通 解 为再由初始条件，得 2 2200 tabtabeyxeyxt 又由 .1aybxd可 得其解为 3 ,202 bxaykx而(1) .210 002011 yabatytx 时 ，当即乙方取胜时的剩余兵力数为 .230y又令 .02,0 11001 tabtabeyxeyxtx） 得由 （注意到 . 020,1xyeyxtab得 .43ln ,3121 btetab(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则r00,)( 4 yxbdtyrax 第一章作业解答第 17 页 共 55 页相轨线为 .
23、,4rdyabxraydx即得由 ,22kbxrya此相轨线比书图 11中的轨线上移了.22220.0 karxryxryak 或乙方取胜的条件为.r ., 2020bk亦 即数学模型作业解答第六章（2008 年 11月 20日）1.在 6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从 Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数 h(1)分别就 ， ， 这 3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其4/rN/rh4/rN稳定状况(2)如何获得最大持续产量，其结果与 6.1节的产量模型有何不同解：设时刻 t的渔场中鱼的数量为 ，则由题设条件知： 变化规律的数学模型为txtxhNrdt)1()记 xF
24、(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：由 ，得 0xF0)1(hNxr即 12 r，)4(1)的解为： 212,1Nrhx当 ， ，(1) 无实根，此时无平衡点；4/rNh0第一章作业解答第 18 页 共 55 页当 ， ，(1) 有两个相等的实根，平衡点为 .4/rNh020Nx， 不能断定其稳定性.NrxxF2)1() )(0F但 及 均有 ，即 不稳定；0x041(dt0x当 ， 时，得到两个平衡点：4/rNh， 211x22Nrhx易知： ， ， ，120)(1F0)(2x平衡点 不稳定，平衡点 稳定x2x.(2)最大持续产量的数学模型为 0)(.maxFtsh即 ， )1Nr易得
25、此时 ，2*0x4h但 这个平衡点不稳定这是与 6.1节的产量模型不同之处要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 ，且尽量接近 ，但不能等于 2Nx22N2.与 Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是 Gompertz模型：其中 r和 N的意义与 Logistic模型相同xrtxln设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为 讨论渔场鱼量的Exh平衡点及其稳定性，求最大持续产量 及获得最大产量的捕捞强度 和渔场鱼量水mhm平 *0x解： 变化规律的数学模型为 tExNrdtxln记 F)( xr/12x/1x4/rNh第一章作业解答第 19 页 共 55 页 令 ，得 ， 0
26、xF0lnExNrrENex001x平衡点为 . 又 ， 1,0rFln 10 ,xFr平衡点 是稳定的，而平衡点 不稳定. ox1xxNrlnerN最大持续产量的数学模型为： .0,ln.maxxENrtsh 由前面的结果可得 rENeh，令rEreNd.0dh得最大产量的捕捞强度 从而得到最大持续产量 ，此时渔场鱼量水平EmerNm/eNx*03设某渔场鱼量 (时刻 渔场中鱼的数量) 的自然增长规律为：txt )1()Nxrdtx其中 为固有增长率, 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数 .r h1 求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;02 试确定捕捞强度 ,使渔场单位时间内具有
27、最大持续产量 ,求此时渔场鱼量水平 .mEmQ*0x解：1 变化规律的数学模型为 0)(tx hNxrdtx)1()记 ,令 ，即 -（1）hNrf)101(hr 2hrxyExyfx00 e第一章作业解答第 20 页 共 55 页， （1）的解为：)4(2Nhrr 2412,1Nrhx 当 时， （1）无实根，此时无平衡点； 0 当 时， （1）有两个相等的实根，平衡点为 .0， 不能断定其稳定性.rxxrf 2)() )(0f但 及 均有 ，即 不稳定； 0041)(rNfdtx0 当 时，得到两个平衡点：， 2411rNhx212rNhx易知 ， ， 120)(1f0)(2xf平衡点 不
28、稳定 ，平衡点 稳定. x2x2 最大持续产量的数学模型为： 0 0)(.maxftsh即 ， 易得 此时 ，但 这个平衡点不稳)1(maxNrh2*0N4r2*0Nx定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量 ,且尽量接近 ,但不能等于 . x数学模型第七章作业（2008 年 12月 4日）1对于 7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第 时段的价格 由第 和第 时段的数量 和 决定，1k1kyk1kx如果仍设 仍只取决于 ，给出稳定平衡的条件，并与 7.1节的结果进行比kx第一章作业解答第 21 页 共 55 页较.2已知某商
29、品在 时段的数量和价格分别为 和 ，其中 1个时段相当于商kkxy品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 和)(kkxf.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.)2(11kkygx3 已知某商品在 时段的数量和价格分别为 和 ，其中 1个时段相当于商kkxy品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 和)2(11kkxf.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.)(1kkygx数学模型作业解答第七章（2008 年 12月 4日）2 对于 7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，
30、所以第 时段的价格 由第 和第 时段的数量 和 决定，如果仍设 仍只取k1kyk1kx1kx决于 ，给出稳定平衡的条件，并与 7.1节的结果进行比较.ky（2）若除了 由 和 决定之外， 也由前两个时段的价格 和 确定.试1kxk1kxky1分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：)(211kkyhxxfy在 点附近用直线来近似曲线 ，得到),(0xPf,第一章作业解答第 22 页 共 55 页 )2( 0 ,)( 1),2001 01 yxxxykk k由（2）得 312 （1）代入（3）得 )2(002 xxxkk 0012 xkkk对应齐次方程的
31、特征方程为 2特征根为 48)(2,1当 时，则有特征根在单位圆外，设 ，则8248)()(222,1 , 即平衡稳定的条件为 与 的结果一致.207P（2）此时需求函数、供应函数在 处附近的直线近似表达式分别为：),(yx )5( 0 ,)2( 40101 yyxykk由（5）得， )( kkk 6213 将（4）代入（6） ，得 )2()2()( 010103 xxxx kkk 00123 44 xkkkk 对应齐次方程的特征方程为 (7) 4 23 代数方程（7）无正实根，且 不是（7）的根.设（7）的三个非零根分4, 第一章作业解答第 23 页 共 55 页别为 ，则321,42321
32、1321对（7）作变换： 则,03qp其中 )6128(4 ),12(423用卡丹公式： 332322 23 3231 )()()()( pqwpqwpqpq其中 ,21i求出 ，从而得到 ，于是得到所有特征根 的条件.31,321,12已知某商品在 时段的数量和价格分别为 和 ，其中 1 个时段相当于商品的一个生kkxy产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 和 .试建立)(kkf)2(11kygx关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为 和 .)(kkxfy)(11ky设曲线 和 相交于点 ，在点 附近可以用直线来近似表示曲线 和 ：fg)
33、,(0xP0Pfg-（1）0ykk-（2）0,)2(101 yxk第一章作业解答第 24 页 共 55 页从上述两式中消去 可得ky， -（3）,21,)1(2201 kxxxkk 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求 点稳定平衡条件，我们考虑（ 3）对应的齐次差分方程的特征方程：0P02容易算出其特征根为-（4）48)(22,1当 8时，显然有-（5）448)(22 从而 2， 在单位圆外下面设 ，由(5)式可以算出 2,1要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 2,12故 点稳定平衡条件为 0P3 已知某商品在 时段的数量和价格分别为 和 ，其中
34、1 个时段相当于商品的一个kkxy生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 和 .试)2(1kkxf )(1kyg建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为 和 .)(11kkxfy )(1ky设曲线 和 相交于点 ，在点 附近可以用直线来近似表示曲线 和 ：fg),(0xP0Pfg-（1）,)20101 xykk - -（2）,)(001 xkk由（2）得 -（3） 12y第一章作业解答第 25 页 共 55 页（1）代入（3） ，可得 )2(0102 xxkk ， -（4）,2001 xkkk上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二
35、阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求 点稳定平衡条件，我们考虑（ 4）对应的齐次差分方程的特征方程：0P02容易算出其特征根为-（4）48)(22,1当 8时，显然有-（5）448)(22 从而 2， 在单位圆外下面设 ，由(5)式可以算出 2,1要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 2,12故 点稳定平衡条件为 0P数学模型作业解答第八章（2008 年 12月 9日）1 证明 8.1节层次分析模型中定义的 阶一致阵 有下列性质：nA（1） 的秩为 1，唯一非零特征根为 ；A（2） 的任一列向量都是对应于 的特征向量.证明： （1）由一致阵的定义知： 满足，ikjia nj,21,于是对于任意两
36、列 ，有 ， .即 列与 列对应分量成比例.ji,ijjki,ij从而对 作初等行变换可得：A第一章作业解答第 26 页 共 55 页B 00112 nbbA初 等 行 变 换这里 . ，从而秩0B1秩 1A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵 ，使 ，于是PBAC001121 nccPA易知 C的特征根为 （只有一个非零特征根）.,1c又 ， 与 C有相同的特征根，从而 A的非零特征根为 ，又 对于任意A1c矩阵有 .故 A的唯一非 naaATrnn 12121 零特征根为 .（2）对于 A的任一列向量 ，Tnkk,21 ,有 TnkknkknjknjkjnjjknjjkjjT
37、nkk aaaaaa , 21211121112121 的任一列向量 都是对应于 的特征向量.ATnkka,21 n7. 右下图是 5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出 5位选手的名次.解：这个 5阶竞赛图是一个 5阶有向 Hamilton图.其一个有向 Hamilton圈为 3 .所以此竞赛3241图是双向连通的.21 345第一章作业解答第 27 页 共 55 页321541354423等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为01001A令 ，各级得分向量为Te1,， ，AS321 TAS5,42312， T9,7463 174由此得名次为
38、5，1（4） ，2，3 （选手 1和 4名次相同）.注：给 5位网球选手排名次也可由计算 A的最大特征根 和对应特征向量 得到：S，839. TS2769.0,3.,6.0,79.,.0数学模型作业（12 月 16 日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层 准则层方案层 越海方案的最优经济效益省时收入岸间商 业当地商业建筑就 业建桥梁 修隧道 设渡轮第一章作业解答第 28 页 共 55 页2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择
39、工作岗位的决策问题要分成哪 3 个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1） 建立层次结构模型；（2） 构造成对比较阵；（3） 计算权向量并做一致性检验；（4） 计算组合权向量并做组合一致性检验 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这 3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位 1、工作岗位 2、工作岗位 3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪 3 个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵 A 为一致阵的充要条件 . 答：用层次分析法时，一般可
40、将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这 3个层次； 一致性指标的定义为： n 阶正互反阵 A是一致阵的充要条件为： A的最大特征1CI根 =n 第九章（2008 年 12月 18日）1在 节传送带效率模型中,设工人数 固定不变.若想提高传送带效率 D,一种简单的方.9n法是增加一个周期内通过工作台的钩子数 ，比如增加一倍，其它条件不变另一种方法m是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好解：两
41、种情况的钩子数均为 第一种办法是 个位置，单钩放置 个钩子；第二m2m2m2种办法是 个位置，成对放置 个钩子m 由 节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为1.9nnD21当 较小， 时，有m2第一章作业解答第 29 页 共 55 页mnnmnD4181212， E4 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的个钩对m任一只钩对被一名工人接触到的概率是 ；m1任一只钩对不被一名工人接触到的概率是 ；记 由工人生产的独立性及事件的互不相容性得，任一钩对为空mqp1,的概率为 ，其空钩的数为 ；任一钩对上只挂上件产品的概率为 ，其
42、空钩数n2 1npq为 所以一个周期内通过的 个钩子中，空钩的平均数为m112 nnn pqpq于是带走产品的平均数是 ，2nm未带走产品的平均数是 ）1n此时传送带效率公式为 11122 nnn mpqD 近似效率公式：由于 3216211nmnmn 21n26D当 时，并令 ，则 1n1E26mnE 两种办法的比较：第一章作业解答第 30 页 共 55 页由上知： ，mnE426，当 时， ， 32/13nE所以第二种办法比第一种办法好数学模型作业解答第九章（2008 年 12月 23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每 100 份报纸报童全部卖出可获利 7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每 100 份报纸要赔 4 元.报童每天售出的报纸数 是一随机变量，其概率分布如下表：r售出报纸数 （百份）0 1 2 3 4 5概率 )(rP005 0.1 0.25 0.35 0.15 0.1试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是 100 的倍数) ？解：设每天订购 百份纸，则收益函数为nnrrf 7)(4)(收益的期望值为 G
