1、3.2 二倍角的三角函数一、 学习内容、要求及建议知识、方法 要求 建议二倍角的正弦 化归思想二倍角的余弦 变形、升降幂公式二倍角的正切 化归思想理解 推导二倍角公式的关键在于认识“二倍角”是“和角”的特例，建议独立地推导公式，体会化归思想二、预习指导1. 预习目标(1)推导二倍角公式的思想和方法；(2)二倍角公式以及余弦的二倍角公式的变形(升、降幂公式)的记忆和应用；(3)和差角公式、二倍角公式综合应用.2. 预习提纲(1)阅读课本 P105 思考如何推导二倍角正弦、余弦、正切公式，并探究三倍角正弦、余弦、正切公式，并填空：；sin2a；co(所有 有意义)注意“倍角”的相对性.t tan(
2、2)阅读课本 P107 的降幂公式并学会运用降幂公式解题(如 P106 例 3 的解法 1)，阅读课本P107 的例 4，学会公式灵活运用.(3)探究：求 的值.sin103sin5073. 典型例题(1) 熟悉公式例 1 已知 ， ，求 ， ， 的值.132cos),(2sincos2tan分析：先利用同角三角函数的关系求出 ，再分别套用二倍角正弦、余弦公式，注意角的范围.解： ， .132cos),(135)(1sin2 690)3(5cosini ，1)2(2cos 1920cosin2ta(2) 应用二倍角公式进行化简、求值、证明等例 2 已知 ， ， ，求 .1)tan(7tan),
3、0(,分析：先求 ，再求 ，最后求 ，注意 的范围.22ta2解： ， ，解得tan1t)tan()71(tan2131tan 43)(1ta2ta2 1)7(43tant)2tan( ， ， ，),0(,01t0t),2(),( 又 ，2an)2,(0 .43例 3 已知 的值xxx tan1si2i,475,)cos(2求分析：(1)先降幂，再用和差角公式展开,(2)条件展开为关于“ ”的条件，对需xsinco要求值的式子先化简，对“切”化成“弦” ，对“ ”用二倍角公式，注意“i”、 “ ” 、 “ ”这三者的关系.sinsincos解：由 得 ，两边平方得： ，53)4co(x523c
4、ox 2518csi21x ， 27sin247)o(insicox= 521coi1x = =tansi2i xcosini2xxsinco)(si= = .523)4(778例 4 求值：(1) ；178cos41cos(2) ；in62i6n(3) .tan70cos13in0ta72cos40分析：(1)由这些角中后一角为前一角的两倍，联想到用正弦的二倍角公式；(2)这是 4 个正弦的积，且它们的角之间难以看出明显的关系.仿(1)将部分正弦化为余弦，用类似(1)的方法解题；(3)注意到 与 的关系，选择恰当的公式向“同角”方向努力.24解：(1)原式= =17sin178cos42co
5、17sin417sin68cos2coi23= = =si6c217sin6cii(2)原式= =inco482co44cos2cos486= = =32si1s86sin916ci81s(3)原式= tan70(co3i0)2o4= =s2i4csisin20cos40i= 224co0(o01)(3) 升幂、降幂公式的应用降幂公式 ， 特点：降幂同时扩角，当遇到s1sin22cosc2且不需要“平方”时，常考虑该公式.2co,si升幂公式 ， 特点：升幂同时缩角，当遇到2sin12coss1时，常考虑该公式.s例 5 化简： ，cos2)2)(ii(0,)qp分析：分母显然用升幂公式，分子
6、中的“1”可与 结合换成 同时对sin12cossin2用二倍角公式；也可把“1”与 结合用升幂公式同时对 也用二倍角公式，公sin式选择的主要依据依然是“同角”.解：原式= =2cos4)2cos)(in2sin(22cos)(in22= 原式=2cos),0()2,(0cscs例 6 (1)已知 ， ，求 的值；1in31coscos2(2)求函数 的最大值)2()2(sxxy分析：(1) 只要求 ，将已知两等式平方相加即sco2)cs(可；(2) 不是特殊角应先降幂扩角，再用和差角公式展开.1解：(1)将 ， 分别平方并相加得：21sin31cos，即 .6)s(2 7259)s( .1
7、42759co(1cos2 (2) =)1(cs)12(sinxxy 12)6cos()6cos( xx= = )sin213ino3simaxy4. 自我检测(1)已知 ，则 的值为_sin:8:52acsa(2)等腰三角形的一个底角的正弦为 ，则这个三角形的顶角的正切为_3(3)不查表求值： 125sinsi2(4)计 算 ： 13sin50cos(5)化简： =_2i1q(6)求值：(1) ；(2) .24coscos77 )10tan31(40cos(7)求证：函数 是常数函数222()()3fxxxp三、 课后巩固练习 A 组1已知 ，则 的值等于_sin26co5xcos2x2已知
8、 ，则 1iin()43已知 ， ，则 等于_0xcos5ta2x4函数 的最小值是_2inyx5已知 _的 值 等 于则x2s,13)4sin(6求值：(1) ； (2) ；co544sin67.5cos.(3) .tanta7已知 ，且 为锐角，求 的值 2si()si()46sin28已知 ， ，求 的值 3inco0co9. 若 ,则 = .1ta4sin210. 若 , ,则 .2， 37i8i11化简 ( )(1sinco)(sinco)22B 组12化简 为_1sin201sin2013已知 是第_象限角.则 角,532cos,4sin14. 设 为锐角，若 ，则 的值为 46)
9、12sin(a15. 已知 ， ，则 1cosintan()3t16求值：（1） ；008cos42（2） 167in5i16isi 444 17已知 ， ， ，则 、 、 按从小到in1coa2cosb2cabc大的顺序排列为 18函数 的值域是_sicxy19函数 的值域为 1inosin2x20函数 在区间 上的最大值为 1，则 的最小值是 ()cofx2,3 21已知函数 .w.w.w.gkstk.c.o.m ()2sin()sfx(1)求 的最小正周期；x(2)求 在区 上的最大值和最小值.()f,6222(1) (2)2sin13cos7in13cos72sin15cosin15c
10、os(3) (4)88(8)4(8)4(5) 2si(5)csi(25)cs 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数； 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.23设函数 .2()cos)sin3fxxp(1)求函数 的最大值和最小正周期；(2)设 为 的三个内角，若 ， ，且 为锐角，求,ABC1cos3B1()24cfC.sin24. 已知函数 , .2()=si2+)sin()+3fxxxR()求函数 的最小正周期；()求函数 在区间 上的最大值和最小值.()fx,425. 已知向量 ， ，函数 1sin2,cos)ax (1,sinco)bx()fxab（1
11、）求 的最大值及相应的 的值；（2）若 ，求 的值()fx 8)5fs24C 组26若 ，则函数 的最大值为 42x3tanyx27已知函数 .2()cossicof（1）求函数 在 上的值域；,63（2）在ABC 中，若 ，求 的值.()in()cos()fCBACtanA28设函数 2()sincos148xxf (1)求 的最小正周期；(2)若函数 与 的图像关于直线 对称，求当 时()ygx()fx40,3x的最大值29已知 ， ，试求 的值sin1abcos0abcos2ab30已知 ，求 的最大值和最小值24xy2241txy知识点 题号 注意点二倍角公式 注意角的变化，统一到同一
12、个角降幂公式 注意次数变化的同时角的变化综合题 公式的灵活运用四、 学习心得五、 拓展视野课本 向我们介绍了正弦函数与余弦函数的叠加函数12P(A，B 不全为 0)，并指出该函数可以改写成xAxfcossin)(，其中 ， ，一般地，我)i2f 2cosBA2sinBA们把公式 ( ，xBAcossin)in2x2co)称为辅助角公式.下面我们来看它的两个应用：2si例 1 求函数 的最大值.)80sin(5)0sin(3xxy解： 23)0cos(521x= =)cos(3)2si( 00xx )0sin(2 x= (其中 ， )n714143sin7maxy例 2 求函数 的值域.xycos2i3解：将 变形为 ，yx2cossinyxy2)sin(32(其中 ， )23csy23即 ， ，解得2)inx1sin(x12y1y函数 的值域为.xycosi3
