1、332 简单的线性规划（基本概念）29*学习目标*1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的最值问题 新 疆学 案王 新 敞*要点精讲*1. 研究一个问题:设 ，式中变量 满足下列条件 。求 的最大值和最小值 新 疆学 案王 新 敞2txy,xy12534xyt分析：从变量 x、y 所满足的条件来看，变量 x、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域 ABC.作一组与直线 :2x+y=0 平行的直线 :2x+y=t,tR（或平行移动直线 ） ，从而观察 t 值0ll 0
2、l的变化： 新 疆学 案王 新 敞12,3t从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当 x=0，y=0 时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线 ：2x+y =0 上.0l作一组与直线 平行的直线（或平行移动直线 ) :2x+y=t,tR.0l可知，当 在 的右上方时，直线 上的点（x,y)满足 2x+y0, 即 t0.l0l而且，直线 往右平移时，可以发现 t 随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中，以经过点 B（5，2）的l直线 所对应的 t 最大，以经过点 A（1，1）的直线 所对应的 t 最小.所以： 2l 1=25+2=12， =21+3=3。maxt
3、min2. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域, 最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件。t =2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、 y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于 t=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数 新 疆学 案王 新 敞另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z=2x
4、+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 新 疆学 案王 新 敞那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域 .在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 新 疆学 案王 新 敞*范例分析*例 1给出下列命题：线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量 或 的值；xy线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的
5、可行解.其中正确的是( )A. B. C. D.例 2已知变量 满足约束条件 。求 的最大值和最小值。,xy12534xytxy例 3 （1）已知变量 满足约束条件 ， 。若目标函数,xy14xy2xy(其中 )仅在点 处取得最大值，则 a 的取值范围是 za0a(3,1)。（2）已知平面区域 D 由以 为顶点的三角形内部边界组成。若(1,3)5,2(,)ABC在区域 D 上有无穷多个点 可使目标函数 zxmy 取得最小值，则 等于（ xy m）A2 B1 C1 D4例 4设实数 x、y 满足不等式组 .32,41xy（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设 ，在（1）所求的区域内，求函数
6、 的最值 新 疆学 案王 新 敞a axyxf),(规律总结1用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设 t=0，画出直线 新 疆学 案王 新 敞0l（3）观察、分析，平移直线 ，从而找到最优解 新 疆学 案王 新 敞（4）最后求得目标函数的最大值及最小值 新 疆学 案王 新 敞2已知变量 满足约束条件 ，当 时，将直线 向上平移时，目标函数,xyD0b0axby的越来越大；当 时，将直线 向上平移时，目标函数tab的越来越小。xy*基础训练*一、选择题1在约束条件 下，则目标函数 的最优解是（ ）01xyyx
7、z10A （0，1） ， （1，0） B （0，1） ， （0，-1）C （0，-1） ， （0，0） D （0，-1 ） ， （1，0）2设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）xy3xy， 4zxy4 11 12 143设变量 、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）xy632xyyxz2A B C D 2494设 R 为平面上以 A（4，1） ，B（1，6） ，C （3 ，2）为顶点的三角形区域（包括边界） ，则 z=4x3y 的最大值与最小值分别为（ ）A、最大值 14，最小值 18 B、最大值14，最小值18C、最大值 18，最小值 14 D、最大值 18，最小值1
8、45如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数 取ayxz2得最小值的最优解有无数个，则 为（ ）aA、 B、2 C、 D、6二、填空题6已知 , 则 4a2b 取值范围是 。1224ab-+7已知实数 、 满足 则 的最大值是 。xy1,x2y8设 、 满足约束条件 则使得目标函数 的最大的点 xy5,30,4.xy65zxy(,)xy是 。三、解答题9求目标函数 的最大值及对应的最优解，yxz150约束条件是 023yx10求 的最大值和最小值，其中 满足约束条件 。21zx,xy20yx四、能力提高11在约束条件 下，当 时，目标函数024xys35x的最大值的变化范围
9、是（ ）3zxyA. B. C. D. 6,157,6,87,812己知 满足条件： 且ba00bayx ,62,62byxayx(1)试画出点 的存在范围；(2)求 的最大值.),(yx32 xyxys24O332 简单的线性规划（基本概念）29例 1解：选 D。注意对概念的辨析。例 2分析：从变量 x、y 所满足的条件来看，变量 x、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域 ABC.作一组与直线 ： 平行的直线 ： （或平行移动直线 ） ，从而0l2l2t0l观察 t 值的变化： 1,3yxt 新 疆学 案王 新 敞从图上可看出，点（0，0）不在 以上
10、公共区域内，当 x=0，y =0 时，t =2x+y=0.点（0，0）在直线 ：2x+y =0 上.0l作一组与直线 平行的直线（或平行移动直线 ) : .0l2xyt因为直线 化成 ，斜率为 ，在 轴的截距为 ，xytxt当直线 往右平移时， 轴的截距为 随之增大，因此 随之减小。l t在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 的直线中，以经过点 B（5，2）的l直线 所对应的 t 最大，以经过点 的直线 所对应的 最小.2l 2(1,)5C1t所以： ， 。max58min25t例 3 （1）解：变量 满足约束条件,y4,2.y在坐标系中画出可行域，如图为四边形 ABCD，其中A(3，
11、1)， ，目标函数 （其中1,ADBkzaxy） 0a中的 z 表示斜率为a 的直线系中的截距的大小，若仅在点DCBA-2-1 43214321Oyx处取得最大值，则斜率应小于 ，即 ，3,11ABka所以 的取值范围为(1，+)。a（2）依题意，令 z0，可得直线 xmy0 的斜率为 ，结合可行域可知当直线mxmy0 与直线 AC 平行时，线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 zxmy 取得最小值，而直线 AC 的斜率为1，所以 m1，选 C。例 4解：（1）已知的不等式组等价于 )2(.032,4)1(.032,4xyxy或解得点 所在的平面区域为所示的阴影),(部分（含边界） 新 疆学
12、 案王 新 敞 其中， 4:;52: yxBCyA11DAC（2） 表示直线 在 y 轴上的截距，且直线 与（1）中所axyxf),( kaxyl: l求区域有公共点 新 疆学 案王 新 敞 , 当直线 过顶点 C 时， 最大 新 疆学 案王 新 敞1alf),(C 点的坐标为（-3 ，7） ， 的最大值为 新 疆学 案王 新 敞axyxa37如果-1 2，那么当直线 过顶点 A（2，-1 ）时， 最小，最小值为l xyf),(-1-2 .如果 2，那么当直线 过顶点 B（3，1）时， 最小，最小值为a x1-3 新 疆学 案王 新 敞评注：由于直线 的斜率含参数 ，所以在求截距 的最值时，要
13、注意对参数 进行讨laka论，方法是直线 动起来 新 疆学 案王 新 敞*参考答案*1A；2B；3B；提示：设变量 、 满足约束条件 在坐标系中画xy2,36yx出可行域ABC，A(2 ，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数(2)(1)y=axy=-2x+1x+y=1x+y=4x=32y=2x-544FED(1,0) B(3,1)A(2,-1)C(-3,7) xOyCBAOyx2zxy的最小值为 3，选 B. 4A；5A；提示：当目标函数 移动到与直线 重合时，取得最小值的最优解有ayxz2BC无数个，6 1,07已知实数 、 满足 在坐标系中画出可行域，三个顶点分xy1,x别 是 A
14、(0， 1)，B(1 ，0)，C(2，1) ， 的最大值是 4.2y8(2,3).；9. 解：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4） ，（0，6） ， （6，0） （10，0） ， （10，1） ， 作直线 l0：10 x +15 y =0，再作与直线 l0 平行的直线 l：10 x +15 y =z，由图象可知，当 l 经过点（ 10，1）时使 取得最大值，z15显然 ，50max此时最优解为（10，1） 10先作平面区域，再设 ，向上平移，过点 A(0,2)时， 取最大值 ，xyl2:0zmax98z过点 B(2,2)时， 取最小值 。zmin94z11解：由 交点为 ，242syxysx )4,0(,)42,(),0CssBA（1）当 时可行域是四边形 OABC，此时，3 87z（2）当 时可行域是 OA 此时， ，故选 D.5sCmaxz12. ;10)2(;0,6)1(maxZyx11 CBAOyx
