1、一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3 “投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义： 5两个向量的数量积的性质：设 a、 b为两个非零向量，e 是与 b同向的单位向量.1 e = e = 2 ab = 设 、 为两个非零向量，e 是 a与同向的单位向量.ea = e = 3 当 与 b同向时， ab= 当 a与 b反向时， ab = 特别的a = | |2 或 |4 cos = 5 | b| | a| |三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪
2、些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、学习目标1 说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题 2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一：数
3、量积的概念1、给出有关材料并提出问题 3：（1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，那么力 F 所做的功：W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量， 是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：SF已知两个非零向量 a与 b，它们的夹角为 ，我们把数量 a bcos 叫做a与 b的数量积（或内积） ，记作： ，即： ab= cos（2）定义说明：记法“ ab”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题 4：向量的数量积运
4、算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表： 的范围 0 90 =90 0180ab的符号例 1 ：已知 ， b，当 a b， ， a与 b的夹角是 60时，分别求 a .解： 变式：. 对于两个非零向量 a、 b，求使| +t |最小时的 t 值，并求此时 b与 a+t 的夹角.探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把 bcos （ acos ）叫做向量 在 a方向上（ 在 方向上）的投影，记做：OB 1= cos2.提出问题 5：数量积的几何意义是什么？3. 研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质：探究三：探究数
5、量积的运算性质1、提出问题 6：比较 ab与 b的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质3.数量积的运算律（1） 、提出问题 7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？设 a和 b都是非零向量，则1、 b=02、当 与 同向时， a = b；当 a与 b反向时， a = - ， 特别地， = 2或 = a3、 b bAbcosB1BO（2） 、明晰：数量积的运算律：例 2、 （师生共同完成）已知 a=6， b=4, a与 b的夹角为 60，求（ a+2b）（ a-3b） ，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：变式：（1）( a+b)2= 2+2 b+ 2 （2）(
6、+ )( - )= a2 2（三）反思总结(四 )当 堂 检 测1 .已知| a|=5， | b|=4， a与 的夹角 =120o，求 a b.2. 已知| |=6， | |=4， 与 的夹角为 60o 求( +2 )( -3 ).3 .已知| a|=3， | b|=4， 且 a与 b不共线，k 为何值时，向量 a+k b与 -k 互相垂直. 已知向量 a、 b、 c和实数 ，则：（1） = a （2） （ a） b=（ a )= （ ）（3） （ + ） c= + c4.已知 a， b，当 a b， ， a与 b的夹角是 60时，分别求 b.5.已知| a|=1，| |= 2，(1)若 a
7、b，求 ；(2) 若 a、 b的夹角为，求| + b|；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角.6.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为 ，求向量 a=2m+n 与 b=2n-3m 的夹角.课后练习与提高1.已知| a|=1，| b|= 2，且( a- b)与 垂直，则 a与 b的夹角是（ ）A. 60 B.30 C.135 D.2.已知| |=2，| |=1， 与 之间的夹角为 3，那么向量 m= -4 的模为（ ）A.2 B.2 3 C.6 D.123.已知 a、 b是非零向量，则| a|=| b|是( + )与( a- b)垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量 a、 b的夹角为 3，| a|=2，| b|=1，则| a+ | - b|= .5.已知 + =2i-8j， - =-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么 a b= .6.已知 、c 与 、 的夹角均为 60，且| a|=1，| b|=2，| c|=3，则( a+2 b-c) _.
