1、简单线性规划,主讲教师：蒲东风 制 作：蒲东风,2009、10、24,石首市、南岳高级中学,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角 坐标系中表示 _ _,确定区域步骤： _ 、_ 若C0，则 _、_.,直线定界,特殊点定域(或A0,左负,右正),原点定域,直线定界,直线Ax+By+C=0某一侧所 有点组成的平面区域。,二元一次不等式表示的区域及判定方法：,应该注意的几个问题：,1、若不等式中不含等号，则边界 应画成虚线，否则应画成实线。 2、画图时应非常准确，否则将得 不到正确结果。,随堂练习1、求满足 | x | + | y | 4 的整点（横、纵 坐标为整数）的个数。,共有： 9 + 2
2、 ( 7 + 5 + 3 + 1 ) = 41,随堂练习2、已知集合A = ( x , y ) | | x | + | y | 1 ， B = ( x , y ) | ( y x )( y + x ) 0 ，M = AB 求 M 的面积。,由图知：可行 域为两个边长 为 的正方形,S = 1,产品,消耗量,资源,线性约束条件：约束条件中均为关于x、y的一次不等式或方程。,有关概念,约束条件： 由、的不等式（方程）构成的不等式组。,目标函数： 欲求最值的关于x、y的一次解析式。,线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、y的一次解析式。,线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。,
3、可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。,可行域：所有可行解组成的集合。,最优解：使目标函数达到最大值或 最小值 的可行解。,完美解答如下:（试卷和作业一律按如下格式作答） 解：设生产甲、乙两种产品分别为 xt, yt,利润总额为z元，则,由线性约束条件作出其可行域（如图中阴影部分） 又z=600x+1000y y= -35x+z1000 由图可知，当直线L：y= -35x+z1000过M点时， Z1000有最大值,即z有最大值 得M(12,35) 记f(x,y)=600x+1000y 故,综上可知:zmax=f(12,35)=42200 答,应生产甲、乙两产品分别为12t,35t，能使利润总
4、额达到最大。,一定要画图,画出不等式组 表示的平面区域。,3x+5y 25,x -4y - 3,x1,3x+5y25,x-4y-3,x1,问题：有无最大(小)值？,x,y,o,问题：2+有无最大(小)值？,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,例2:设z2+,式中变量、满足下列条件，求的最大值和最小值。,B,3x+5y=25,问题 1: 将z2+变形:,问题 2: z几何意义是:,斜率为-2的直线在y轴上的截距,则 直线 L：2+=z是一簇与 L0平行的直线, 故直线 L可通过平移直线L0而得，当直线往右上方平移时z 逐渐增大： 当L 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=f(1,1)
5、=21+1=3 当L 过点A(5,2)时最大,即zmax=f(5,2)=25+212,析: 作直线l0 ：2+=0 ,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,例2:设z2+,式中变量、满足下列条件 ，求的最大值和最小值。,B,3x+5y=25,解: 由约束条件作出其可行域(如图中阴影部分), 又z2+ -2+ z 当直线L: -2+ z 过可行域的点B时,Z有最小值，当直线L: -2+ z 过可行域的点A时,Z有最大值，由 可得B(1,1)，由 可得A(5,2)记f(x,y)=2x+y,故，综上可知， zmin=f(1,1)=21+1=3 zmax=f(5,2)=25+212,x-4y=-3,
6、X=1,3x+5y=25,x-4y=-3,例3：设z2xy,式中变量x、y满足下列条件求的最大值和最小值。,解:由约束条件作出其可行域(如图中阴影部分),又z2 2 z当直线L:= 2- z 过可行域的点C时,-Z有最大值，即Z有最小值当直线L:= 2- z过可行域的点A时 -Z有最小值，即Z有最大值,由 得C (1,4.4)， 记f(x,y)=2x+y,x=13x5y25,故，综上可知 zmaxf(5,2)=2528 zminf(1,4.4)=214.4 2.4,2xy0,解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大
7、或最小的直线；,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；, 对于应用题则先要设元,用x, y, z表示 线性条件和目标函数,例4：满足线性约束条件 的可行域中共有多少个整数解。,1,2,2,3,3,1,4,4,5,5,x,y,0,解：由题意得可行域如图:,由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 (1,2)、(2,1)、(2,2)故有四个整点可行解.,3x+5y=25,例5：已知x、y满足 ，设zaxy (a0)， 若取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。,x,y,o,x-4y=-3,x=1,C,B,y ax z 与直线
8、AC重合时，有无数个点，使函数值取得最大值，此时有： k l kAC, kAC,k l = -a, -a =, a =,练习： 设Z+3,式中变量、满足下列条件求的最大值和最小值。,x - y 7,2x+3y24,x 0,0 y 6,小结: 1线性规划问题的有关概念; 2. 用图解法解线性规划问题的一般步骤; 3. 求可行域中的整点可行解。,需要注意的2点：,1、线性目标函数的最大（小）值一般在可 行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解，要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义 在 y 轴上的截距或其相反数。,练习1、一批长 400 cm 的条形钢材，需要截成 长
9、518 mm 与 698 mm 的两种毛坯。则钢材的 最大利用率是 ( ) 99. 75 % B. 99. 65 % C. 94. 85 % D. 95. 70 %,B,检验得：,解,故选 B,练习2：有一批钢管，长度都是 4000毫米，要截 成 500 毫米和 600 毫米两种毛坯，且这两种毛 坯数量比大于 才配套，问怎样截最合理？,设截成500 毫米毛坯 x 根、600 毫米毛坯 y 根,解,检验得：,练习3、已知目标函数 z = 2x + y 且变量 x、y 满足 下列条件 ，则 ( ) z max = 12, z min = 3 B. z max = 12, 无最小值 C. z min = 3, 无最大值 D. z 无最大值, 也无最小值,Z = 2x + y, z min = 3 无最大值,六班的吖们 拜拜 呵呵,
