1、第 1 页 共 16 页2017 届湖南五市十校高三 12 月联考数学（文）试题一、选择题1已知集合 ，则 （ ） |124,1,23xPQPQA B C D, ,【答案】A【解析】试题分析： 所以 ，选 A.|1240,)xPI1【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点
2、值的取舍2 “ ”是“复数 为纯虚数”的（ ） 0a,abiRA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析： 为实数；复数 为纯虚0a,0bai,abiR数 ，所以“ ”是“复数 为纯虚数”的必0,ab ,要不充分条件，选 B.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 p 则 q”、 “若 q 则 p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件2等价法：利用 pq 与非 q非 p，q p 与非 p非 q，p q 与非 q非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般
3、运用等价法3集合法：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A 是 B的充要条件3若向量数量积 则向量 与 的夹角 的取值范围是（ ） 0ababA B C D0,2,2,2【答案】C【解析】试题分析： ,选 C.cos0,(|abrg【考点】向量夹角4某中学奥数培训班共有 14 人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是 88，乙组学生成绩的中位数是 89，则第 2 页 共 16 页的值是（ ） nmA5 B6 C7 D8【答案】B【解析】试题分析：甲组学生成绩的平均数是，乙组学生成绩的中位数是 89，78
4、4950237m所以 ，选 B.9,6n【考点】平均数，中位数5已知 是数列 的前 项和，且 ，则 （ nSna1453,2nnSa8S） A72 B88 C92 D98【答案】C【解析】试题分析： 为等差数列，公差为1133nnnSaan3，所以由 得 ，选 C.4523a11872,73922dS【考点】等差数列定义6执行下图所示的程序框图，则输出的 值为（ ） a第 3 页 共 16 页A-3 B C D2131【答案】D【解析】试题分析：第一次循环： ；第二次循环： ；第三3,ai1,32ai次循环： ；第四次循环： ；所以周期为 4，因为1,43ai2,5i，所以输出的 值为 2，选
5、 D.2075a【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7已知函数 ，则 （ ） 4,2,xffef017fA1 B C D12e【答案】B【解析】试题分析： ，选 B.207()(1fff【考点】分段函数求值8如图，小方格是边长为 1 的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（ ） A B 45962569C D44【答案】D【解析】试题分析：几何体为一个圆锥（高为 4
6、，半径为 2，母线为 ）与一个正5方体（边长为 4）的组合，所以表面积为2564第 4 页 共 16 页，选 D.4596【考点】三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析9已知抛物线 上一点 到焦点 的距离与其到对称轴的距离之比为 5:4，且2yxAF，则 点到原点的距离为（ ）AFA B C4 D8412【答案】B【解析】试题分析：设 ，则 ，因为 ，所
7、2(,)yA2151|2|4yy或 2AF以 ，所以 ，因此 ，其到原点的距离为 ，选 B.21y2y(,2)【考点】抛物线定义【方法点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点 的坐标P2若 P(x0，y 0)为抛物线 y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x 0 ；若过焦点2p的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为|AB|x 1x 2p，x 1x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到10函数 的图像大致为（
8、 ） 21xeyA BC D【答案】A第 5 页 共 16 页【解析】试题分析： ，所以函数在 上单调递增，在234501xxey(,1)上单调递减，选 A.(1,)【考点】利用导数研究函数图像【思路点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)常利用导数研究复杂函数性质，特别是单调性，如果f(x)0，则 yf(x)在该区间为增函数；如果 f(x)0，则 yf(x)在该区间为减函数.11圆锥的母线长为 ，过顶点的最大截面的面积为 ，则圆锥底面半径与母线长L21L的比 的取值范围是（ ） rLA B C D1021rL20rL1rL【答案】D
9、【解析】试题分析：由题意得轴截面的顶角 不小于 ，因为2，所以 ，选 D.2sinsi24rL1rL【考点】圆锥曲线轴截面12已知函数 ，且 ，则sinfxxR223410fyfx当 时， 的取值范围是（ ）1yA B C D3,41,41,321,3【答案】A【解析】试题分析： 为奇函数，且 ，即为增函sinfxcos0fx数，所以 2222223410341341fyffyfxfyfx()(1)xx，当 时，表示上半实心圆，y所以 的取值范围是 ，其中 ，由圆心1yx,PABk(,0)3,APB为 半 圆 切 线到直线 距离等于半径 1 得 因此(2,)(1)yx2|104kk或 （ 舍
10、）第 6 页 共 16 页的取值范围是 ，选 A.1yx13,4【考点】函数性质，直线与圆位置关系【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大f“”小关系二、填空题13数列 的前 项和 为_1,35,72486 nnS【答案】 n【解析】试题分析：211(1352)()4n nnSnLL【考点】分组求和14已知 为三角
11、形中的最小角，则函数 的值域为xsi3cosyx_【答案】 31,【解析】试题分析：因为 为三角形中的最小角，所以 ，因此x(0,3xsin3cos12in()13,yx【考点】三角函数值域15某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该工厂每星期木工最多有 8000 个工作时，漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每星期漆工最多有 1300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元，试根据以上条件，生产一个星期能获得的最大利润为_元【答案】21000【解析】试题分析：设一个星期生产 把
12、椅子和 一张书桌，则可行域为xy,目标函数为480,2130,xyxyN，当且仅当 时取521()()10z xy20,9xy等号【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界第 7 页 共 16 页线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16设 是双曲线 的左、右两个焦点，若双曲线右支12F、 210,xyab上存在一点 ，使 （ 为坐标原点） ，且 ，则双P2OFPAO123PF曲线的离心率为_【答案】 31【解析】试题分析：由
13、 得 ，其中 M 为 中点，20uvg20FPuvg2FP所以 ，因为 ，所以12PF13PF21221, 31cea【考点】双曲线定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题17已知 的面积为 ，且 ABCSBACS（1）求 的值；tan（2）若 ，求 的面积 ,64c【答案】 （1） （2）12t【解析】试题分析：（1）由向量数量积及三角形面积公式得，解得 （2）
14、由三角形内角关系及1cosincosinbAAtaA同角三角函数关系可先求角 C：，再5310sinisincosinCBB根据正弦定理可求边 ，所以 的面积i25sbCAC1sin612SbcA试题解析：（1）由 得 ，BSAS第 8 页 共 16 页设 的角 所对应的边分别为 ，ABC, ,abc则 ，故 411cosincosin22bAAt2分（2）由（1）中 ，知 ，tan0则 6 分5sin,cosA可得 252310siisincosinCBAB 10 分故 12 分125si612Sbc【考点】正弦定理，同角三角函数关系【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根
15、据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为 3 元，售价为 8 元，每天售出的第 20 杯及之后的饮品半价出售该店统计了近 10 天的饮品销量，如图所示：设为每天饮品的销量， 为该店每天的利润xy（1）求 关于 的表达式；yx（2）从日利润不少于 96 元的几天里任选 2 天，求选出的这 2 天日利润都是 97 元的概率【答案】 （
16、1） （2）5019,76xZy10【解析】试题分析：（1）根据利润等于销量乘以每一杯利润，而每一杯利润与销量是第 9 页 共 16 页分段函数关系，得当 时，每一杯利润为 ，所以 ；当019,xZ835yx时， 中每一杯利润为 ，从第 起每一杯利润为19,xZ83520；（2）由 ，所以日利润不少于5(43)76yxx96yx96 元共有 5 天，由 ，所以日利润是 97 元共有 2 天，利用列举法得从91y这 5 天中任取 2 天共有 10 种基本事件，其中选出的 2 天销量都为 21 天的情况只有 1种，因此所求概率为 10试题解析：（1） 839,5019,941,76xxZxxZy
17、6 分（2）由（1）可知：日销售量不少于 20 杯时，日利润不少于 96 元；日销售量为 20 杯时，日利润为 96 元；日销售量为 21 杯的有 2 天， 8 分销量为 20 杯的 3 天，记为 ，销量为 21 杯的 2 天，记为 ，从这 5 天中任取,abc,AB2 天，包括 共, ,abABbc10 种情况 10 分其中选出的 2 天销量都为 21 天的情况只有 1 种，故所求概率为 1210分【考点】分段函数解析式，古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采
18、用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.19在多面体 中，四边形 与 是边长均为 的正方形，四边ABCDEFGABCDEFa形 是直角梯形， ，且 24GH第 10 页 共 16 页（1）求证：平面 平面 ；BCGEH（2）若 ，求四棱锥 的体积4aF【答案】 （1）详见解析（2）32【解析】试题分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定定理给予证明，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直，往往需要从两方面进行寻找与论证，一是结合平几知识，本题利用勾股定理证得
19、，二是利用线面垂直性质定理，即先由线线垂HGB直 得线面垂直 平面 ，而 ，则 平面,DAFDAGH/CBDA，因此可得 ，最后根据线面垂直判定定理得 平面 ，BGC G（2）求四棱锥的体积，关键是求高，而高的寻找依赖于线面垂直：过 作于 ，则易证过 作 ，即 为高，最后根据体积公式得KKEF面 K体积试题解析：（1）证明：连接 ，由 可知：BH3,4AaB；2 223515;4 4aGa，221GBa可得 ，从而 3 分22HBHB ， 平面 ，,DAFDAG又 ， 平面 ， ， 平面 ，/CFCHBCG 平面 ，平面 平面 6 分GE第 11 页 共 16 页（2）过 作 的平行线交于 的
20、延长线于点 ，连接 交于点 ，BAFGP,AFBO过 作 于 ，GK则 ， 8 分12PO可得四边形 的面积 ， 10 分BCEF4216S故 12 分13623GV【考点】面面垂直判定定理，面面垂直判定定理，四棱锥的体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解20已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点 且垂直于长轴的2:10xyC
21、ab35F弦长为 35（1）求椭圆 的标准方程；（2）点 为椭圆 的长轴上的一个动点，过点 且斜率为 的直线 交椭圆,0PmP45l于 两点，证明： 为定值CAB、 2PAB【答案】 （1） （2）详见解析2156xy【解析】试题分析：（1）过左焦点 且垂直于长轴的弦长为通径长，即 ，F235ba又离心率为 ，得 ，再由 ，解方程组得 （2）解35ca22bc5,4ac析几何中证明定值问题，一般方法为以算代证，因为第 12 页 共 16 页，利用 ， 消2221()()PABmxyxy2156xy2156xyy 得 ，再联立直线方程22 212193()与椭圆方程 ，结合韦达定理，代入化简得定
22、值 414()5x256xy试题解析：（1）由 ，可得椭圆方2354ceabbc程 4 分256xy（2）设 的方程为 ，代入 并整理得：l5xym2156xy 6 分25080y设 ，则 ，12,AxBy21212854,5myy又因为 ，同理 8 分1116Pm26PB则 222 221112165444416 5mAByyy，所以 是定值 12 分2P【考点】解析几何中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值
23、的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21已知函数 21ln,fxaxR（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；0aff（2）令 ，求函数 的极值；1gxfxgx第 13 页 共 16 页（3）若 ，正实数 满足 ，证明：2a12,x1210fxfx125x【答案】 （1） （2）当 时，函数 无极值；当 时，函数10xy0agx0a有极大值 ，无极小值（3）详见解析glna【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率 ，所以先求导数得1kf，即 ，又 ，再根据点斜式得切线方程fx12kf1f（2）先求导数 ，再分类210y2axgxa讨论导函数在定义区
24、间上符号变化规律，确定极值取法：当 时， ，函00gx数 无极值点当 时，一个零点 ，导函数在其左右符号变化，先增后gx0a1xa减，所以 有极大值，无极小值（3）先化简 为 ，121fxfx221112lnln0xxx转化为关于 函数关系式： ，研究函数222，其中 ，得 ，因此 ，lntt12txt2112xx解不等式得 125x试题解析：（1）当 时， ，则 ，所以切点为 ，0alnfx1f1,又 ，则切线斜率 ，1fx12kf故切线方程为 ，即 3 分2yx0y（2） ，21ln1gxfaax则 ， 4 分21xx当 时， ， 0a0g第 14 页 共 16 页 在 上是递增函数，函数
25、 无极值点 5 分gx0,gx当 时， ，令 得 ，0a211aaxx0gx1a当 时， ；当 时， ，1,x0gx,ax因此 在 上是增函数，在 上是减函数，g0,a1, 7 分 时， 有极大值 ，1xax21lnln2ag aaA综上，当 时，函数 无极值； 0当 时，函数 有极大值 ，无极小agx1ln2a值 8 分（3）证明：当 时， ，2l,0fx由 ，即 ，1210fxfx21112nln0xx从而 ，22lx令 ，则由 得： ，12txlntt1tt可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，0,1, ， ，t212xx ， 12 分120,x125【考点】导数几何意义，利用
26、导数求函数极值，利用导数证不等式【思路点睛】(1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异，过点 P 的切线中，点 P 不一定是切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点 P 处的切线，必以点 P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.22 【选修 4-4：坐标系与参数方程】第 15 页 共 16 页已知圆 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为C4cos6inl（ 为参数）.若直线 与圆 相交于不同的两点
27、 .4cosinxtytlC,PQ（1）写出圆 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长 ，求直线 的斜率.4PQl【答案】 （1） ，圆心为 ，半径为 （2）2231xy2,31305k或【解析】试题分析：（1）由 将极坐标化为直角22,cos,inxyxy坐标得 ，配方得 ，所以圆心为 ，2460xy2312,3半径为 ， （2）先根据点斜式得直线 ： ，再根据垂径定理得3l4ykx，即 ，解得 43PQrd231d1205k或试题解析：（1）由 ，得 ，4cos6in4cosin将 ，代入可得 ，配方，22,xyxy260xy得 ，所以圆心为 ，半径为 531,313分（2）由
28、直线 的参数方程知直线过定点 ，则由题意，知直线 的斜率一定存l 4,0Ml在，设直线 的方程为 的方程为 ，因为 ，所以 ，llykxPQ2341k解得 10 分1205k或【考点】极坐标化直角坐标，直线与圆位置关系【易错点睛】1求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1 列方程来简化运算2过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解23 【选修 4-5：不等式选讲】设函数 .12fxxa（1）当 时，求不等式 的解集；a1f第 16
29、 页 共 16 页（2）若不等式 ，在 上恒成立，求 的取值范围.0fx2,3a【答案】 （1） （2）,35,【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组：或 或 ，最后求解集的2x1x12x并集， （2）根据绝对值定义，进行变量分离： 在 上恒成3a2,3立，再转化为对应函数最值maxmin51315242a试题解析：（1） ，,1fxx或 或21x212x，故解集为 5 分,3x,3（2） 在 上恒成立 在 上恒成立，0f2,120xa2,x，1xaxa在 上恒成立，13,3，maxmin525242a故 的取值范围为 10 分5,【考点】绝对值定义，不等式恒成立【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
