1、【课题研究】 1、3、1、2 函数的最值【授课教师】 孟老师【知识巩固】1.函数的定义：一般地,设 A、B 都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y=f(x),xA,其中 x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域；2.对函数的理解：函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应 这里 A, B 为非空的数集.A：定义域，原象的集合；Af:：值域，象的集合,其中 B ； ：对应x|)( x
2、f|)(f法则 ， A ， B函数符号： 是 的函数，yyyx简记 例： = +3x+1 则 f(2)= +32+1=11 注意：1 在f)(xf22中 表示对应法则，不同的函数其含义不一样 2 不一定)(y )(f是解析式，有时可能是“列表” “图象” 3 与 是不同的，前)(xfa者为变数，后者为常数3.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.4.注意：i：自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围；ii：函数有意义是指:自变量的取值使分母不为 0；被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等.5.请你总结一下我们学习过的函数的定义域和值域.结论：一次函数 :定义
3、域 R, 值域 R;反比例函baxf)()(f(x)=k/x :定义域 , 值域 ;二次函数0(k0| 0|x:定义域 R 值域：当 时，cbaxf2) a；当 时，y4/)|bcy4/)(|26.你能理解区间的含义吗？给你一个取值范围，你能马上写出它的区间形式吗？我们以后的学习过程中，写值域和定义域，都是用区间形式的，定义 名称 符号 数轴表示x|axb 闭区间 a,bx|aa (a, +)x|xa (-,ax|xx2时，都有 f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“” ，也就是说前面是“” ，后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数；增函数反映了函数值随着自变量的增大而增
4、大；从左向右看,图象是上升的.一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x 2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.函数 y=f（x）在区间 D 上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小） ，几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.注意：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数 ，当 0,+ )时是
5、增函数，当 (-2xyx,0)时是减函数.14.函数的单调性: 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(xf的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数） ，例如，图 5 中，在那样的特定位置上，虽然使得 ，但显然此图象表示21,x)(1xf2f的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上
6、述定义中的“ , ”改为“ 或 ,”即可；)(1f2f1f2ff定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.一、 【学习目标】1、理解最值的含义及函数有最值的几何意义；2、会利用数形结合的思想解决最值问题.二、 【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，自学教材 30 页内容，回答问题(函数的最值)材料：下图是函数 y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的图象.观察下列
7、三个图像你能说出它们有什么共同特征吗？你是怎样理解函数的最高点的？用你自己的语言叙述一下；结论：图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.在函数 y=f(x)的图象上任取一点 A(x,y)，如下图所示，设点 C 的坐标为(x 0,y0)，你能用数学符号解释：函数 y=f(x)的图象有最高点 C？结论：由于点 C 是函数 y=f(x)图象的最高点，则点 A 在点 C 的下方（或和点 C的 y 值相等） ，即对定义域内任意 x，都有 yy 0，即 f(x)f(x 0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意 x，均有 f(x)f(x 0)成立.在数学中，函数 y=f(x)的图象上最
8、高点 C 的纵坐标就称为函数 y=f(x)的最大值.你能给出函数最大值的定义吗？结论：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 xI，都有 f(x)M；（2） 存在 x0I，使得 f(x0)=M(定义域优先的原则).那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值.函数最大值的定义中 f(x)M 即 f(x)f(x 0)，这个不等式反映了函数 y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？结论：f(x)M 反映了函数 y=f(x)的所有函数值不大于（注意：不是“小于” ）实数 M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是 M.【思考】函
9、数 y=-2x+1,x(-1,+)有最大值吗？为什么？点(-1,3)是不是函数 y=-2x+1,x(-1,+)的最高点？由这个问题你发现了什么值得注意的地方？结论：讨论函数的最大值， （要坚持定义域优先的原则） ；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义；结论：函数最小值的定义是：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：（1）对于任意的 xI，都有 f(x)M；（2） （存在 x0I，使得 f(x0)=M）.那么，称 M 是函数 y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象
10、上最低点的纵坐标；讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值， （最低点必须是函数图象上的点）.三、 【练习与巩固】练习 1.教材例 3、例 4.练习 2.教材对应练习第 5 题.思考：已知函数 f(x)=x+ ,x0，x/1（1）证明当 00 的最小值结论：略；（1）解：任取 x1、x 2（0，+）且 x1x 2，则f（x 1）f（x 2）=（x 1 ）（x 2+ ）=（x 1x 2）+ = ，21x21)(xx 1x 2，x 1x 20.当 0x 1x 21 时，x 1x2-10，f（x 1）f（x 2）0.f（x 1）f（x 2）,即当 x1 时
11、，函数 f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当 x=1 时，函数 f(x)=x+ ,x0 取最小值.又x1f(1)=2，则函数 f(x)=x+ ,x0 取最小值是 2.解法二：借助于计算机软x1件画出函数 f(x)=x+ ,x0 的图象，如图所示，由图象知，当 x=1 时，函数 f(x)=x+ ,x0 取最小值 f(1)=2.x本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛” ；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数 y=f(x)在区间(a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，
12、则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间(a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值 f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.四、 【作业】1、必做题：习题 1.3A 组第 5 题，B 组第 1 题；2、选做题：习题 1.3B 组第 2 题.五、 【小结】本节课主要讲了函数的最值.函数的最值包括最大值和最小值，最主要是讲解函数的最大值，然后通过类比得到函数的最小值的含义.这节课的重点是通过教学，培养学生从自然语言到数学符号语言的过度.
