1、2017 届江西鹰潭一中高三上学期月考（五）数学（文）试题一、选择题1已知 ， 为异面直线，下列结论不正确的是（ ）abA必存在平面 使得 /,baB必存在平面 使得 ， 与 所成角相等C必存在平面 使得 ， D必存在平面 使得 ， 与 的距离相等【答案】C【解析】试题分析：由 ， 为异面直线，知：在 A 中，在空间中任取一点 ，过ab O分别作 ， 的平行线，则由过 的 ， 的平行线确一个平面 ，使得OOab，故 A 正确；在 B 中，平移 至 与 相交，因而确定一个平面 ，在/,ba 上作 ， 交角的平分线，明显可以做出两条过角平分线且与平面 垂直的平面使得 ， 与 所成角相等角平分线有两
2、条，所以有两个平面都可以故 B 正确；在 C 中，当 ， 不垂直时，不存在平面 使得 ， ，故 C 错误；在 D 中，ab过异面直线 ， 的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面 ，则平面 使得 ， 与ab ab的距离相等，故 D 正确故选：C【考点】空间中直线与直线的位置关系.2已知正项数列 中， ， ， （ ） ，则n1a2221nna（ ）6aA B 18C D24【答案】D【解析】试题分析： ， ， ， ， ，221nna1a212a42，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项321a3公式可得 ， ， ， ，故选 D.23n 620n6【考点】数列递推式.3在等差数列
3、中， ，公差为 ，则“ ”是“ ， ， 成等比数na1d41a23列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析： ，公差为 ，则“ ”，则 ，12ad4642a，则 ， ， 不成等比数列，若 ， ， 成等比数列，0823a313，解得 ，故“ ”是“ ， ， 成等比数列”既不d02充分也不必要条件，故选：D【考点】充分条件、必要条件的判定.4直三棱柱 中，底面是正三角形，三棱柱的高为 ，若 是1ABC 3P中心，且三棱柱的体积为 ，则 与平面 所成的角大小是（ ）194PABCA B C D6432【答案】C【解析】试题分析：由题
4、意设底面正 的边长为 ，过 作 平面 ，aPOABC垂足为 ，则点 为底面 的中心，故 即为 与平面 所成角，OABA， ，又直三棱柱 的体积为 ，aA323OP1BC49由直棱柱体积公式得 ，解得 ，4942V3a， ， 与平面 所成的角为 故选：3tanaPAO3PAOABC3C【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积.5已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则向量 在向量ab120a3b23ab方向上的投影为（ ）2A B C D8316156193【答案】D【解析】试题分析：向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，所以ab20a3b， 又619124322ba 613b，所以 ，则，所
5、以向量 在向量13693232,cos baba 23ab方向上的投影为 ，故 196,cos 选：D【考点】平面向量的数量积运算.6 算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近LhV似公式 ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 ，那么近似213VLh 3公式 ，相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）75A B C D857031【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，则 ，rhrL2， 故
6、选：Bhrr2275318【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.7已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）0ab1ab2aA B C D4286【答案】B【解析】试题分析：由 ，有 ，则 ，abba11212ba故选：B【考点】基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件8两个单位向量 ， 的夹角为 ，点 在以 圆心的圆弧 上移动，O
7、AB60COAB，则 的最大值为（ ）CxyxyA B C D126323【答案】D【解析】试题分析：两个单位向量 ， 的夹角为 ，点 在以 圆心的圆OAB60CO弧 上移动 ，建立如图所示的坐标系，则 ，ABOCxy ,1B，即 设 ，则60sin,coA23,1ABOC， xyOByxC23,sin,coxy23sinco， ，sin32xsi31cy ，60in2sicoy 60， ，故当 时， 取得10601si23 9yx最大值为 ，故选：D23【考点】数量积表示两个向量的夹角；基本不等式.9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D14321【答案】B【解析
8、】试题分析：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为 ，底面是直角边长为 的等腰直角三角形，几何体的体积2故选：B3131V【考点】由三视图求面积、体积.10在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则以下结论错误的为（ ACCabc）A若 ，则sincosab90AB iiC若 ，则 ；反之，若 ，则sBBsiniABD若 ，则sin2iABab【答案】D【解析】试题分析： ，由正弦定理 ，sincosCBcosin，又 ， 为 的内角， ，故 ，A 正确；CcosinA45B90由正弦定理可得 ，RcBba2siniin，故 B 正确；在 ，设外接圆的aCRBbs2
9、isn C半径为 ，若 ，则 ，由正弦定理可得 ，即iAAsiiba；若 ，即有 ，即 ，即 则在 中，Aban2AB，故 C 正确； ，ii ， 或 ，0sinco2snB0cosB0sin 或 ，三角形为直角三角形或等腰三角形，故 D 错误故选：DB【考点】正弦定理.11已知函数 的定义域为 ，且 ， 为 的fx2,421fffxf导函数，函数 的图象如图所示则平面区域 所围成的面积yf021abf是（ ）A B C D4258【答案】A【解析】试题分析：由函数 的图象可得：当 时， ，此yfx0,2x0xf时函数 单调递减；当 时， ，此时函数 单调递增xf ,0f， ， 又0ab2ba
10、 ， ， 由14f1f42fbaf420ba，画出图象如图，阴影部分的面积 故选 A021bfa 1S【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；函数的单调性与导数的关系.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性、数形结合的思想方法、线性规划的有关知识等基础知识与基本方法，属于中档题由函数 的图象可得：yfx当 时， ，此时函数 单调递增由 ，,0x0xfxf 12ba，及 可得 再利用简单线性规划的有关知14f 42ba42ba识即可得出12若存在两个正实数 ， ，使得等式 成立，其xy3ln0xyex中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）eaA ,0B 3,2eC ,D 3,0
11、,2e【答案】D【解析】试题分析：由 得 ，24ln0xayex0ln23xyeax即 ，即设 ，则 ，则条件等价为0ln23exyatt，即 有解，设 ，lttatet23lntetgln2为增函数， ，当 时，teg1n 01eg ，当 时， ，即当 时，函数 取得极小值为：0t0ttt，即 ，若 有解，则eel2ea23ln，即 ，则 或 ，故选：Da3a23【考点】函数恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元
12、法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可二、填空题13已知 ， ，且 ， ， 成等比数列，则 的最小值为1ab1ln4albab_【答案】 e【解析】试题分析： ， ， ， ，又 ， ，10lln1ln4成等比数列， ，解得 ，由基本不等式可得lnbyxln46yx，当且仅当 ，即 时取等号，故ln2yx le，即 ，故 的最小值为： ，故答案为： .e1llxy【考点】等比数列的通项公式；基本不等式.14已知三棱锥 中，平面 平面 ，ABCDABCD， ， ，则三棱锥 的外接球的体积BC423AB为_【答案】 36【解析】试题分析：如图，取 的中点 ，连
13、接 ， 则 ，EED平面 平面 ，平面 平面 ， 平DEABCDCE面 ，又 平面 ， 设 的外接圆的圆心为 ，半BCABO径为 ，圆心 在 所在的直线上rO在 中，222ErRt 在 中，4DCBAEt ，解得 在22BAE28r3r1O中， 点 是三OCRt32EDB棱锥 的外接球的球心，且球半径 球的表面R积 故答案为： .3642S6【考点】球的表面积与体积.【方法点晴】本题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题根据题目所给条件得出球体半径是解题关键，属于难题利用已知三棱锥 的特点 ，ABCDADC先确定 的外心
14、，及外接圆的半径，然后证明 也是三棱锥 的外接ABDOOB球的球心，即可解答15如图，在直角梯形 中， ， ， ， 是线段C/21P上一动点， 是线段 上一动点， ， ，则CQQ的取值范围是_AP【答案】 0,2【解析】试题分析：如图所示， ， ， ， 0,A,2B1,C,0D，CPAC1,1,0,1,0,0DQ， ， 49231,22APf 1,0， 的取值范围是 故答案10ff0fAQP,2为： ,2【考点】平面向量数量积的坐标运算.16在正四棱锥 内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱VABCD锥的四个侧面相切，若半球的半径为 ，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于2_【答案】
15、 23【解析】试题分析：设球心为 ，设底边 和体高 ，如图，则0xOyP，（ 为斜高）， 的底边 的高为 ， 的边长为22yxPDPABC3ABC， ，AB32321yySABC 223321yxyxSrVVACBVAO ，又 ， ， ，2331xySABCABCV 423x241x令 ，得 ，由该体积函数的几何意义得：当 时，正四棱锥的体02x积最小当正四棱锥的体积取最小值 时，其高等于 故答案为： 292323【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.三、解答题17如图，已知 为 的外心，角 ， ， 的对边分别为 ， ， OABCABCabc（1）若 ，求 的值；3450OABCcosBOC（2）若
16、 ，求 的值2ba【答案】 （1） ；（2） .54【解析】试题分析：（1）设三角形 的外接圆半径为 ，将已知的等式变形后，ABCR左右两边平方，由 为三角形的外心，得到 ，再利用平面向量OOC的数量积运算法则计算，可得出 的值；（2）将已知的等式左右两边利用cos平面向量的减法法则计算，再利用平面向量的数量积运算法则变形，整理后利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理变形后，整理可得出所求式子的值试题解析：（1）设外接圆半径为 ，由 得：R3450AB453OBCA两边平方得： ，即： ，2264059ROBC 245OCRA则 ，cos5ABO即： CA可得： 2222cscoscos
17、csRBRC，即：o221ininsiABC，222sinisinA22abc2a【考点】二倍角的余弦；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用.18设数列 的前 项和为 ，已知 ， （ ） nanS11nnS*N（1）证明：数列 是等比数列；（2）求数列 的前 项和 nSnT【答案】 （1）证明见解析；（2） .12nnT【解析】试题分析：（1）利用 ， ，推导出1naS1naS，由此能证明 是等比数列；（2）由已知条件推导出 ，2nnSAn 12n由此利用错位相减法能求出数列 的前 项和 nSnT试题解析：（1）由 ，及 ，得 ，1na1aS1nnS整理，得 ， ，又 ，12nS 2nnA
18、1是以 为首项， 为公比的等比列（2）由（1） ，得 ， 12n（ ） 12nSA*N，0213nnT A，122由 ，得 21212nnn nnT AA【考点】等比数列的定义；数列求和.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于nnbacnab，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数1an ncnanb列等.19如图，直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点，1ABCDEAB112A（1）证明： 平面 ；/1BC1AD（2）求
19、异面直线 和 所成角的大小；【答案】 （1）证明见解析；（2） .6【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，由三角形中位线定理得1ACF，由此能证明 平面 ；（2）以 为坐标原点， 的方向为DFBC/ /BDCA轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向，建立空间直角坐xy1z标系 利用向量法能求出异面直线 与 所成角yzBA试题解析：（1）证明：连接 与 相交于点 ，连接 1ACF由矩形 可得点 是 的中点，又 是 的中点，1ACF1ACDAB， 平面 ， 平面 ， 平面DB/1F1C/11ACD（2） ，不失一般性令 ，12ACBA 21CBA， B以 为坐标原点， 的方向为
20、轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向xCBy1为 轴正方向，建立空间直角坐标系 z yz则 ，0,1D， ， ， ， 2,C,A0,2B2,1C2,11DA设异面直线 与 所成角为 ，1则 ，236840cos1DABC ，6异面直线 与 所成角为 16【考点】线面平行的判定；异面直线所成的角.【一题多解】 （2）由（1）得 或其补角为异面直线 和 所在角，设1ADF1BCAD，则AB，222112DFCB， 2211 3A112AFC在 中，由余弦定理得， ，且1DF1 3cosD，10,ADF， 异面直线 和 所成角的大小为 .61BCAD620如图，在三棱柱 中， 是等边三角形， ，
21、14BC是 中点D1AC（）求证： 平面 ；/1BA1CD（）当三棱锥 体积最大时，求点 到平面 的距离B1CD【答案】 （）证明见解析；（） .45【解析】试题分析：（）连接 ，交 于 ，连接 利用平行四边形的性1CO质、三角形中位线定理可得： ，再利用线面平行的判定定理即可证明；BAD/（）设点 到平面 的距离是 ，可得 ，而C1h11233CBDBCVSh，故当三棱锥 体积最大时 ，即 平面41h141由（）知： ，可得 到平面 的距离与 到平面 的ABBO1 D距离相等设 到平面 的距离为 ，由 ，利用体积变形即可1C1Dh CDBBCV11得出试题解析：（）连结 ，交 于 ，连 在三
22、棱柱 中，四边1O1A形 为平行四边形，则 又 是 中点， ，而1B1B1/平面 ， 平面 ，DOC1ACD平面 1AP（）设点 到平面 的距离是 ，则 ，而C1ABh11233CBDBCVSh，14h故当三棱锥 体积最大时， ，即 平面 1D14h11A由（）知： ，所以 到平面 的距离与 到平面 的距离相等.BOCBCDBCD平面 ， 平面 ， ，1C1A11A1是等边三角形， 是 中点， ，又 ，11A平面 ， 平面 ， 平面 ，111C11BDC，由计算得：BD， ，所以 1235125BCDS设 到平面 的距离为 ，由 得：C1h11BCDV，所以 到平面 的距离是 123454BC
23、DS145【考点】线面平行的判定；点、线、面间的距离.21设等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 ，且nanS1,a10,ba2bA，数列 的前 项和为 ，且满足 （ ） 143SbT2naT*nN（）求数列 的通项公式及数列 的前 项和 ；na1nnM（）是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由b【答案】 （） ， ；（）不存在非零实数，使数列为等比数21na96nM列，理由见解析【解析】试题分析：（）设数列 的公差为 ，利用数量积运算性质可得：nad，又 ，解得 ， ，可得数列的通项公式，再利用“裂项求和”1024a13S1方法即可得出；（）由 ( )，且 ，可得112naT*
24、nN13a，对 分类讨论，利用等比数列的定义即可得出14nT试题解析：（）设数列 的公差为 ，由 ， ， ，nad1,a10,b24bA得 又 解得 ， ，因此数列的通项公式是102a143S12（ ） ，所以 ，n*N13nan所以 12357269nM（）因为 （ ）且 可得 ，11naT*nN13a124nT当 时， ；当 时， ，此时有 ，若是16b21nnnbT1nb等比数列，则有 ，而 ， ，彼此相矛盾，故不存在非零实数，n214162使数列为等比数列【考点】数列递推式；数列求和.22已知函数 （ ， ） lnfxax0aR（1）若 ，求函数 的极值和单调区间；af（2）若在区间
25、上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范0,e0x0fxa围【答案】 （1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）1,1.,ae【解析】试题分析：（1）求函数 的导数，令导数等于零，解方程，1lnfxax再求出函数 的导数和驻点，然后列表讨论，求函数 的单调区间和极值；xf f（2）若在区间 上存在一点 ，使得 成立，其充要条件是 在区0,e0x0fxxf间 上的最小值小于 即可利用导数研究函数在闭区间 上的最小值，先求,e 0,e出导函数 ，然后讨论研究函数在 上的单调性，将 的各极值与其端点xf ,exf的函数值比较，其中最小的一个就是最小值试题解析：（1）当 ， ，1a221x
26、fx令 ，得 ，0fx又 的定义域为 ，由 得 ，由 ，得 ，,0fx1x0fx1所以 时， 有极小值为 ，1xfx1的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .f , ,（2） ，且 ，令 ，得到 若在区间22axx0a0fx1xa上存在一点 ，使得 成立，即 在区间 上的最小值小0,e00f,e于 当 ，即 时， 恒成立，即 在区间 上单调递减，1xafxfx0,故 在区间 上的最小值为 f0,e1lneae由 ，得 ，即 .1e1,a当 ，即 时，0xa若 ，则 对 成立，所以 在区间 上单调递减，1efx0,efx0,e则 在区间 上的最小值为 fx,e1lnfae显然， 在区间 上的最小值小于 不成立若 ，即 时，则有10ea1所以 在区间 上的最小值为 ，fx0,e1lnfa由 ，得 ，解得 ，即 ，1ln1l0faa l0ae,综上，由可知： 1,ae【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为 的根，判断0根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力
