1、 数学（文）学科期末质量调查试卷第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 ， ，则 等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得 ,所以= .选 C.【备注】集合的基本运算高考常考题型,要求熟练掌握.2一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各 2 个，这 6 个球除颜色外完全相同，从中摸出 2 个球，则这 2 个球中至少有 1 个是红球的概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查古典概型.由题意知,摸出 2 个球的事件数共 , 至少有 1 个是红球的
2、对立事件:两个均不是红球 ,事件个数为 ,设两个均不是红球为事件 ,所以,所以其对立事件 2 个球中至少有 1 个是红球的概率 .选 D.3如图的三视图所对应的立体图形可以是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查三视图.由正视图可排除 C;由俯视图可排除 B,D.选 A.4若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 的值为A.2 B.3 C.4 D.【答案】C【解析】本题考查双曲线与抛物线的性质.双曲线 的左焦点为 ,抛物线的准线为 ;因为 在 上,所以 .选 C.5“ ”是“ ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题考查充
3、要条件.因为 ,所以 ,解得 ;而“”是“ ”的必要不充分条件;所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.选 B.6已知 和 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且，则 等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查函数的奇偶性.因为 和 分别是定义在 上的奇函数和偶函数,所以 , ；所以,所以 ,所以 .选 D.7如图，在平行四边形 中， ， ， ，若 、 分别是边、 上的点，且满足 ，其中 ，则 的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为 ,所以 ,;所以 = = = = ;当 时, 取得最大值 5;当 时,取得最小值 2;即 的取值范围是
4、.选 C.8设函数 ，则函数 的最大值和最小值分别为A.13 和 B. 和 C. 和 D. 和【答案】D【解析】本题考查三角恒等变形,三角函数的最值.= = = ；当 时, 取得最大值 3；当 时, 函数 取得最小值.选 D.第卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9若复数 ，则复数 的虚部为 【答案】【解析】本题考查复数的概念与运算.因为 所以 ,所以复数 的虚部为 .10已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为 【答案】【解析】本题考查导数及其应用.因为 ,所以,所以 .11阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为 【答案】120【解析】
5、本题考查程序框图.起初: ；循环 1 次：；循环 2 次： ；循环3 次： ；循环 4 次：；循环 5 次：；循环 6 次：，满足条件，结束循环，输出 的值为 .【备注】常考查循环结构的流程图，一般循环 5 次左右求出结果.12直线 与圆 相交于 、 两点，若，则 的值为 【答案】【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆 的圆心为 ,半径;而 ,所以圆心到直线 的距离 ,解得.【备注】点到线的距离公式 .13设 ，则 的最小值是 【答案】【解析】本题考查基本不等式. = =4(当且仅当 时等号成立).即 的最小值是 4.14已知函数 ，若关于 的方程 恰有三个不相等的实数解，则 的取值范围是 【
6、答案】【解析】本题考查函数与方程,导数的几何意义.画出函数 的图像,如图所示;若恰有三个不相等的实数解,则 的图像与 有 3 个交点;当时,它们恰有 2 个交点; 向上平移,当函数 与相切时,它们恰有 2 个交点,此时 ,即 , ,即切点为 , ;而 过切点 , ,代入可得 ;由图可得 .即 的取值范围是.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15在 中，若 ， ， (1)求 的值；(2)求 的面积【答案】(1)由已知条件 ， ， ，运用余弦定理得 ，整理得 ；解得 .（2） ， 而 ， ，由 的面积公式 ，得 【解析】本题考查余弦定理,三
7、角形的面积公式.(1)由余弦定理求得 .(2)求得，由 的面积公式得 16某单位生产 、 两种产品，需要资金和场地，生产每吨 种产品和生产每吨 种产品所需资金和场地的数据如下表所示：现有资金 12 万元，场地 400 平方米，生产每吨 种产品可获利润 3 万元；生产每吨种产品可获利润 2 万元，分别用 ， 表示计划生产 、 两种产品的吨数(1)用 ， 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问 、 两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润【答案】(1)由已知， ， 满足的数学关系式为：，即 ；该二元一次不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分：(2)设
8、利润为 万元，则目标函数 将其变形为 ，这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线，为直线在 轴上的截距，当 取最大值时， 的值最大因为 ， 满足约束条件，所以当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大，解方程组 ，得点 的坐标 ， 答：生产 种产品 3 吨、 种产品 2 吨时，利润最大为 13 万元【解析】本题考查线性规划问题在实际生活中的应用.(1)由题意得 ，画出可行域,如图所示；(2)当过点 时， ,生产 种产品 3吨、 种产品 2 吨时，利润最大为 13 万元17如图，在直三棱柱 中， 为 的中点， ， ，(1)求证： ；(2)求证： 平面 ；(3)求直三棱柱 的体积【答案】(1)
9、证明：在 中， ， ， ， ，三棱柱 为直三棱柱， 平面 ； 平面 ，； ， 平面 ； 平面 ， (2)证明：设 与 交于 点，连接 在 中， 为 的中点， 为 的中点， ； 平面 ， 平面 ， 平面 (3) 的面积 ，直三棱柱 的高 ，直三棱柱 的体积 【解析】本题考查空间几何体的体积,线面平行与垂直.(1)证得 , ， 平面 , .(2)作辅助线,证得 , 平面 ;(3)18设数列 满足条件 ， (1)求数列 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 【答案】(1) ， ，)，当 时， 式子也成立，数列 的通项公式 (2)解： ，即： ， ， ，设 ，则 ， ，得 ， ， 【解析】本题考
10、查等比数列,数列求和.(1)累加得 (2)，设 ,错位相减得 ，19已知椭圆 : 经过点 ，离心率 (1)求椭圆 的方程；(2)若 的角平分线所在的直线 与椭圆 的另一个交点为 ， 为椭圆 上的一点，当 的面积最大时，求 点的坐标【答案】(1)由椭圆 经过点 ，离心率 ，可得 ，解得 ；椭圆 的方程为 (2)由(1)可知 ， ，则直线 的方程为 ，即 ，直线 的方程为 ，由点 在椭圆 上的位置易知直线 的斜率为正数设 为直线 上任意一点，则 ，解得 或 (舍去) ，直线 的方程为 设过 点且平行于 的直线为 ，由 整理得 ，由 ，解得 ，因为 为直线 在 轴上的截距，依题意 ，故 . 点的坐标
11、为 【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系.(1)由题意得,解得 ,椭圆 为 (2)先求得直线为 联立方程,套用根与系数的关系得 . 点的坐标为20已知函数 且 )(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)当 时，求函数 的单调区间和极值；(3)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围【答案】(1)当 时， ， ， ， ， ；即所求切线方程为 (2) 当 时，由 ，得 ；由 ，得 或 函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ， ， ，当 时，函数 的极大值为 0，极小值为 (3) ， 在区间 上单调递减，当 时， ，当 时， 不等式 恒成立， ，解得 ；故 的取值范围是 【解析】本题考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用.(1)求导得切线方程为(2)求导,分类讨论得 在 上单增 ,在 和 上单减, 的极大值 ,极小值 (3)求得 ，, 恒成立, ,解得
