1、2016-2017 学年四川省成都市石室中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分）若复数 z 满足 iz=1+2i，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（ ）A （ 2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1）2 （5 分） “log2（2x3） 1”是“4 x8”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，1） ，若 P（3）=0.976，则 P（13）=（ ）A0.
2、952 B0.942 C0.954 D0.9604 （5 分）若数列a n的前 n 项和为 Sn=kn2+n，且 a10=39，则 a100=（ ）A200 B199 C299 D3995 （5 分）若 （0， ） ，若 cos（ + ）= ，则 sin（2 + ）的值为（ ）A B C D6 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A（0，4） ，C（0，4） ，顶点 B 在椭圆 上，则 =（ ）A B C D7 （5 分）若 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A （ ，4 3，+） B （ ，2 1，+） C 2，1 D4，38 （5 分）从 0，1，2，3，4，5
3、，6 这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A432 B378 C180 D3629 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+ ） ， （0，0 ）的最小正周期是 ，将函数f（x）图象向左平移 个单位长度后所得的函数过点 ，则函数 f（x）=sin（x+）（ ）A在区间 上单调递减 B在区间 上单调递增C在区间 上单调递减 D在区间 上单调递增10 （5 分）在ABC 中， D 是 BC 中点，E 是 AB 中点，CE 交 AD 于点 F，若 ，则 +u=（ ）A B C D111 （5 分）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E
4、 是棱 BC 的中点，点 F 在棱CC1 上，且 CF=2FC1，P 是侧面四边形 BCC1B1 内一点（含边界） ，若 A1P平面 AEF，则直线A1P 与面 BCC1B1 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A B C D12 （5 分）若存在两个正实数 x，y，使得等式 2x+a（y 2ex） （lny lnx）=0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分）已知 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f （x）=2 x，则 f（log 49）的值为 14 （5 分）已知 展开式的常数项是 160，则由曲线
5、y=x2 和 y=xa 围成的封闭图形的面积为 15 （5 分）若点 O 和点 分别是双曲线 （a0）的对称中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上任意一点，则 的取值范围为 16 （5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足：（1）当 时，f（x）=|；（2）f（2x ）=2f （x ） ，则关于 x 的函数 F（x）=f（x）a 的零点从小到大依次为 x1，x 2，x nx2n，若 ，则 x1+x2+x2n1+x2n= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）已知向量 ，函数 f（x ）= （1）求函数 f（x）的最小正周期及在 上的值域；（2）在ABC 中，
6、若 f（A）=4，b=4 ，ABC 的面积为 ，求 a 的值18 （12 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB=1 ， ，E 是 AD 的中点，BE 与 AC 交于点F，GF平面 ABCD（）求证：AF面 BEG；（）若 AF=FG，求二面角 EAGB 所成角的余弦值19 （12 分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016 年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.7，对服务的好评率为 0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为 1
7、20 次（）先完成关于商品和服务评价的 22 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X：求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列；求 X 的数学期望和方差附临界值表：P（K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.897 10.828K2 的观测值： （其中 n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的 22 列联表：对服务好评 对服务不满
8、意 合计对商品好评 a=120 b= 对商品不满意 c= d=20 合计 n=20020 （12 分）已知椭圆 ： =1（ab0）的左顶点为 A，右焦点为 F2，过点 F2 作垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、N 两点，直线 AM 的斜率为 （1）求椭圆 的离心率；（2）若AMN 的外接圆在点 M 处的切线与椭圆交于另一点 D，F 2MD 的面积为 ，求椭圆 的标准方程21 （12 分）已知函数 f（ x）=（x 1）e x ax2（aR ） （）当 a1 时，求 f（x ）的单调区间；（）当 x（ 0，+）时，y=f （x ）的图象恒在 y=ax3+x（a 1）x 的图象上方，求 a 的取
9、值范围选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）已知直线 l 过点（1，0）且倾斜角为 ，在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的方程为 sin2+4cos=0（1）写出曲线 M 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点，求倾斜角 的值2016-2017 学年四川省成都市石室中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）若复数 z 满足 iz=1+2i
10、，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（ ）A （ 2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1）【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：z= ，在复平面上复数 z 对应的点的坐标为（ 2，1） 故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中） “log2（2x 3）1”是“4 x8”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】利用函数的单调性分别化简 log2（2x 3）1，4 x8，即可判断出结论【解答】解：l
11、og 2（2x3 ）1，化为 02x 32，解得 4x8 ，即 22x2 3，解得 x “log 2（2x3）1” 是“4 x8”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）已知随机变量 服从正态分布 N（1，1） ，若P（ 3）=0.976，则 P（ 1 3）= （ ）A0.952 B0.942 C0.954 D0.960【分析】根据随机变量 服从正态分布，知正态曲线的对称轴是 x=1，且 P（3）=0.024 ，依据正态分布对称性，即可求得答案【解答】解：随机变
12、量 服从正态分布 N（1，1） ，曲线关于 x=1 对称，P（3）=0.9776，P（3）=0.024，P（ 13）=12P（ 3）=1 0.048=0.952故选 A【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题4 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）若数列a n的前 n 项和为 Sn=kn2+n，且 a10=39，则a100=（ ）A200 B199 C299 D399【分析】由 Sn=kn2+n，可得 n2 时，a n=SnSn1=2knk+1，利用 a10=39，解得 k=2即可得出【解答】解：S n=kn2+n，n2 时，a n=SnSn1
13、=kn2+nk（n 1） 2+（n 1）=2knk+1，a 10=39，20k k+1=39，解得 k=2a n=4n1则 a100=4001=399故选：D【点评】本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）若 （0， ） ，若 cos（+ ）= ，则sin（ 2+ ）的值为（ ）A B C D【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin（+ ）的值，再利用两角和差的三角公式求得 sin、cos 的值，从而利用二倍角公式、两角和差的三角公式求得 的值【解答】解：若 ， ，+ 还是锐角，故 sin（ + ）= = ，sin=si
14、n（+ ） =sin（ + ）cos cos（ + ）sin = = ，cos= =则 =sin2cos +cos2sin =2sincoscos +（cos 2sin2）sin=2 + = ，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于中档题6 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点A（0 ，4 ） ，C（0，4） ，顶点 B 在椭圆 上，则 =（ ）A B C D【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值
15、【解答】解：ABC 的顶点 A（0，4） ，C（0，4） ，顶点 B 在椭圆 上a=2 ，即AB+CB=2a，AC=2c由正弦定理知 ，则 = 故选：C【点评】本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来7 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）若 x，y 满足 ，则 的取值范围是（ ）A （ ，4 3，+） B （ ，2 1，+） C 2，1 D4，3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点（3，4）的斜率由图象知
16、z 大于等于 PA 的斜率，z 小于等于 PB 的斜率，A（2，1 ） ， B（4，0 ） ， = 3；则 = 4，即， （，43，+） 故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键8 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）从 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）A432 B378 C180 D362【分析】从 1，3，5 中任意选两个奇数有 种选法从 0，2，4，6 中任意选出两个偶数分为两种情况：一种是含有 0 时，选出的偶数只有三种情况另一种是不含有 0 时，选出的偶数
17、只有 种情况进而得出答案【解答】解：从 1，3，5 中任意选两个奇数有 种选法从 0，2，4 ，6 中任意选出两个偶数分为两种情况：一种是含有 0 时，选出的偶数只有三种情况此时从 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为： =162另一种是不含有 0 时，选出的偶数只有 种情况此时从 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为： =216综上可得：组成没有重复数字的四位数的个数为 162+216=378故选：B【点评】本题考查了组合与排列计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，
18、属于中档题9 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）已知函数 f（x）=sin（x +） ， （0，0）的最小正周期是 ，将函数 f（x）图象向左平移 个单位长度后所得的函数过点 ，则函数 f（x ）=sin（x+） （ ）A在区间 上单调递减 B在区间 上单调递增C在区间 上单调递减 D在区间 上单调递增【分析】利用正弦函数的周期性求得 ，根据函数 y=Asin（x +）的图象变换规律求得所得函数的解析式，利用正弦函数的单调性得出结论【解答】解：函数 f（x ）=sin（x +） ， （0，0 ）的最小正周期是=，=2将函数 f（x ）图象向左平移 个单位长度后所得的函数的解析式为 y
19、=sin2（x+ ）+=sin（2x+ +） ，根据所得图象过点 ，sin（ + +）=1， += ，即 = 则函数 f（x ）=sin（x+）=sin（2x + ） 在区间 上，2x+ ， ，函数 f（x）=sin（2x+ ）在区间上没有单调性，故排除 A、B ；在区间 上，2x+ ， ，函数 f（x）=sin（2x+ ）在在区间上单调递增，故排除 C，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题10 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）在ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AB 中点，CE 交 AD于点
20、F，若 ，则 +u=（ ）A B C D1【分析】由于本题是选择题，不妨设ABC 为等边三角形，由题意可得 F 是ABC 的重心，即可得到 = = + ，继而求出 ， 的值，问题得以解决【解答】解：不妨设ABC 为等边三角形，D 是 BC 中点，E 是 AB 中点，CE 交 AD 于点 F，F 是ABC 的重心， = = （ + ）= （ + ）= + ， ，= ，= ，+= ，故选：B【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量的加法法则的合理运用11 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E是棱
21、 BC 的中点，点 F 在棱 CC1 上，且 CF=2FC1，P 是侧面四边形 BCC1B1 内一点（含边界） ，若A1P平面 AEF，则直线 A1P 与面 BCC1B1 所成角的正弦值的取值范围是（ ）A B C D【分析】分别取棱 BB1、B 1C1 的中点 M、N，连接 MN，易证平面 A1MN平面 AEF，由题意知点 P 必在线段 MN 上，由此可判断 P 在 M 或 N 处时 A1P 最长，位于线段 MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得【解答】解：如下图所示：分别取棱 BB1、B 1C1 的中点 M、N，连接 MN，连接 BC1，M、 N、E、 F 为所在棱的中点，MNBC
22、1，EF BC 1，MNEF，又 MN平面 AEF，EF平面 AEF，MN平面 AEF；AA 1NE，AA 1=NE，四边形 AENA1 为平行四边形，A 1NAE，又 A1N平面 AEF，AE平面 AEF，A 1N平面 AEF，又 A1NMN=N，平面 A1MN平面 AEF，P 是侧面 BCC1B1 内一点，且 A1P平面 AEF，则 P 必在线段 MN 上，在 RtA 1B1M 中，A 1M= = = ，同理，在 RtA 1B1N 中，求得 A1N= ，A 1MN 为等腰三角形，当 P 在 MN 中点 O 时 A1PMN，此时 A1P 最短，P 位于 M、N 处时 A1P 最长，A1O=
23、= = ，A1M=A1N= ，所以线段 A1P 长度的取值范围是 ， 直线 A1P 与面 BCC1B1 所成角的正弦值的最小值为： = 直线 A1P 与面 BCC1B1 所成角的正弦值最大值为： = 直线 A1P 与面 BCC1B1 所成角的正弦值的取值范围是： ， 故选：D【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找 P 点位置12 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）若存在两个正实数 x，y，使得等式 2x+a（y 2ex）（lnylnx）=0 成立，则实数 a 的取值范围为（ ）A B C D【分析】根据
24、函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可【解答】解：由 2x+a（y2ex） （lny lnx）=0 得 2x+a（y 2ex）ln =0，即 2+a（ 2e）ln =0，即设 t= ，则 t0，则条件等价为 2+a（t2e）lnt=0 ，即（t2e ）lnt= 有解，设 g（ t）=（ t2e）lnt ，g（t ）=lnt+1 为增函数，g（e）=lne+1 =1+12=0，当 te 时，g （t）0，当 0te 时，g （t）0，即当 t=e 时，函数 g（t ）取得极小值，为 g（e）=（e2e）lne= e，
25、即 g（ t）g（e）=e，若（t2e ）lnt= 有解，则 e，即 e，则 a0 或 a ，故选：C【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）=2 x，则 f（log 49）的值为 【分析】由奇函数的性质得当 x0 时，f （x）= ，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出 f（ log49）的值【解答】解：f（x）是定义在 R
26、上的奇函数，且当 x0 时，f （x）=2 x，当 x0 时，f（x）= ，f（ log49）= = = 故答案为： 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意奇函数的性质和对数函数的性质、换底公式的合理运用14 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）已知 展开式的常数项是 160，则由曲线 y=x2和 y=xa 围成的封闭图形的面积为 【分析】首先通过二项展开式求出 a，然后利用定积分表示封闭图形的面积【解答】解：因为 展开式的常数项是 160，所以 =160，解得 a= ，所以由曲线 y=x2 和 y=xa 围成的封闭图形的面积为 S= = = ，故答案为 【点评
27、】本题考查了二项式定理以及利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确求出 a，利用定积分求表示面积15 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）若点 O 和点 分别是双曲线（a0）的对称中心和左焦点，点 P 为双曲线右支上任意一点，则 的取值范围为 （1， （1， 【分析】根据双曲线的焦点坐标，求出 a 的值，设 P（x ，y ） ，利用距离公式进行转化求解即可【解答】解：点 O 和点 分别是双曲线 （a0）的对称中心和左焦点，c= ，则 c2=a2+1=3，则 a2=2，即双曲线方程为 x2y2=1，设 P（ x，y） ，则 x ，则 = =1+ （ + ）= ，x ， = 时，取得最大值为
28、 ，故 的取值范围为（1， ，故答案为（1， 【点评】本题主要考查双曲线的性质的应用，利用距离公式，转化为一元二次函数形式是解决本题的关键16 （5 分） （2016 秋 青羊区校级期中）定义在（0，+）上的函数 f（x）满足：（1）当时，f（x）= |；（2）f（2x）=2f （x ） ，则关于 x 的函数 F（x）=f（x）a 的零点从小到大依次为 x1，x 2， ，x nx2n，若 ，则 x1+x2+x2n1+x2n= 3（2 n1） 【分析】f（x）= ，此时 f（x）0， ，f（2x ）=2f （x ） ，x1，2）时，f（x）0，1，x 2，4）时，f （x）0，2，以此类推，则
29、F（x）=f（x）a 在区间（ 1，2 ）有 2 个零点，分别为 x1，x 2，且满足 x1+x2=2 =3，依此类推：x 3+x4=6， ， x2n1+x2n=32n1利用等比数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：f（x）= ，此时 f（x ）0， ，f（ 2x）=2f（x） ，x 1，2）时，f （x）0，1，x 2，4）时，f（x ）0，2，以此类推，则 F（x）=f（x）a 在区间（ 1，2 ）有 2 个零点，分别为 x1，x 2，且满足 x1+x2=2 =3，依此类推：x 3+x4=6， ， x2n1+x2n=32n1如图所示：则 x1+x2+x2n1+x2n=3（ 2n1） 故
30、答案为：3（2 n1） 【点评】本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前 n 项和公式等基础知识与基本技能，属于难题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分） （2016 秋 青羊区校级期中）已知向量 ，函数 f（ x）= （1）求函数 f（x）的最小正周期及在 上的值域；（2）在ABC 中，若 f（A）=4，b=4 ，ABC 的面积为 ，求 a 的值【分析】 （1）运用向量数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，及正弦函数的图象和性质，即可得到所求；（2）运用特殊角的正弦函数值，求得 A，再由三角形的面积公式，可得 c，再由余弦定理可得 a
31、【解答】解：（1）向量 ，函数 f（ x）= =2+ sin2x+2cos2x=3+ sin2x+cos2x=3+2sin（2x+ ） ，可得函数 f（x）的最小正周期为 =，x ，即有 2x+ （ ， ，可得 sin（2x+ ） （ ，1，则在 上的值域为（2，5；（2）在ABC 中，若 f（A）=4，b=4 ，ABC 的面积为 ，可得 3+2sin（2A+ ）=4，即 sin（2A+ ）= ，由 0A，可得 2A+ ，可得 2A+ = ，即 A= ，由 = bcsinA= 4csin = c，解得 c=1，则 a2=b2+c22bccosA=16+18 =13，即 a= 【点评】本题考查三
32、角函数的化简和求值，平面向量数量积的坐标表示，以及正弦函数的图象和性质，以及三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题18 （12 分） （2016 秋 青羊区校级期中）如图，四边形 ABCD 是矩形，AB=1， ，E 是AD 的中点， BE 与 AC 交于点 F，GF平面 ABCD（）求证：AF面 BEG；（）若 AF=FG，求二面角 EAGB 所成角的余弦值【分析】 （）推导出 AEF CBF，从而 ACBE ，再求出 ACGF ，由此能证明 AF平面BEG（）以点 F 为原点，FA，FE，FG 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法
33、能求出二面角 EAGB 所成角的余弦值【解答】证明：（）四边形 ABCD 为矩形，AEFCBF， （1 分）又矩形 ABCD 中， ，在 RtBEA 中， ， ，在ABF 中，AFB=90，即 ACBE（2 分）GF平面 ABCD，AC 平面 ABCD，ACGF（ 3 分）又BEGF=F，BE，GF平面 BCE，AF平面 BEG（4 分）解：（）由（）得 AD，BE，FG 两两垂直，以点 F 为原点，FA，FE，FG 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，（6 分）设 是平面 ABG 的法向量，则 ，即 ，取 ，得 （8 分）设 是平面
34、AEG 的法向量，则 ，即 ，取 x=1，得 10 分设平面 AEG 与平面 ABG 所成角的大小为 ，则 （11 分）平面 AEG 与平面 ABG 成钝二面角二面角 EAGB 所成角的余弦值为 （12 分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19 （12 分） （2016 秋 青羊区校级期中）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达 516 亿人民币与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率
35、为 0.7，对服务的好评率为 0.8，其中对商品和服务都做出好评的交易为 120 次（）先完成关于商品和服务评价的 22 列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过 0.005的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X：求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列；求 X 的数学期望和方差附临界值表：P（K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.897 10.828K2 的观测值： （其中 n
36、=a+b+c+d）关于商品和服务评价的 22 列联表：对服务好评 对服务不满意 合计对商品好评 a=120 b= 40 160 对商品不满意 c= 20 d=20 40 合计 140 60 n=200【分析】 （）由已知列出关于商品和服务评价的 22 列联表，代入公式求得 k2 的值，对应数表得答案；（）每次购物时，对商品和服务全好评的概率为 0.6，且 X 的取值可以是0，1 ，2 ，3，X B（3，0.6） 求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示） ；利用二项分布的数学期望和方差求 X 的数学期望和方差【解答】解：（）由题意可得关于商品和服务评价的
37、 22 列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评 120 40 160对商品不满意 20 20 40合计 140 60 200（2 分） （4 分）故能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为商品好评与服务好评有关（5 分）（）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为 0.6，（6 分）X 的取值可以是 0，1，2，3其中 P（X=0）=0.4 3= ； P（X=1）=C 310.60.42= ；（7 分）P（X=2）=C 320.620.4= ； P（X=3）=C 330.63= （9 分）X 的分布列为：X 0 1 2 3P（10 分）由于 XB（3，0.6） ，则 E（X）
38、=3 0.6=1.8，D（X）=30.40.6=0.72（12 分） 【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题20 （12 分） （2016 秋 青羊区校级期中）已知椭圆 ： =1（ab0）的左顶点为 A，右焦点为 F2，过点 F2 作垂直于 x 轴的直线交该椭圆于 M、N 两点，直线 AM 的斜率为 （1）求椭圆 的离心率；（2）若AMN 的外接圆在点 M 处的切线与椭圆交于另一点 D，F 2MD 的面积为 ，求椭圆 的标准方程【分析】 （1）由题意 M（ c， ） ，因为 A（ a，0） ，所以 ， ，可得椭圆 的离心率（2）由（1）可知，a
39、=2c，由 b2=a2c2=4c2c2=3c2，椭圆方程为： ，M（c， c） ， A（2c，0） ，设外接圆的圆心为 T（t ，0） ，由丨 TA 丨= 丨 TM 丨得（t+2c）2=（tc） 2+ c2，解得 t= 求得切线方程，代入椭圆方程，求得丨 MD 丨，根据点到直线的距离公式及三角形面积公式，代入即可求得 c 的值，求得椭圆方程【解答】解：（1）由题意 M（c， ） ，因为 A（ a，0） ，所以 ， ，e=，椭圆 的离心率为 （2）由（1）可知，a=2c，由 b2=a2c2=4c2c2=3c2，椭圆方程为： ，M（c， c） ， A（2c，0） ，设外接圆的圆心为 T（t ，0）
40、 ，由丨 TA 丨= 丨 TM 丨得（t+2c）2=（tc） 2+ c2，解得 t= kTM= ，切线斜率 k= ，切线方程为 3x+4y9c=0，代入椭圆方程消 y 得 7x218cx+11c2=0，=18 2c24711c2=16c20，x D= ，y D= ，丨 MD 丨= ，F 2 点到 CD 的距离 d= ，由 S= 丨 CD 丨d，得 ，c 2=2，椭圆方程为【点评】题考查椭圆的标准方程及简单性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式及三角形面积公式，考查计算能力，属于中档题21 （12 分） （2016 秋 宜城市期中）已知函数 f（ x）=（x1）e x ax2（a R）
41、（）当 a1 时，求 f（x ）的单调区间；（）当 x（ 0，+）时，y=f （x ）的图象恒在 y=ax3+x（a 1）x 的图象上方，求 a 的取值范围【分析】 （1）首先求出 f（x ）的导函数，分类讨论 a 的大小来判断函数的单调性；（2）利用转化思想：当 x（0，+）时，y=f （x）的图象恒在 y=ax3+x2（a 1）x 的图象上方，即 xexaxax 3+x2（a 1）x 对 x（0，+）恒成立；即 exax2x10 对 x（0，+）恒成立；【解答】解：（I）f（x）=xe xax=x（e xa）当 a0 时，e xa0，x （ ，0）时，f （x）0，f（x ）单调递减；x（
42、0，+）时，f（x ）0，f（x）单调递增；当 0a1 时，令 f（x）=0 得 x=0 或 x=lna（i） 当 0a 1 时，lna0，故：x （，lna）时，f（x）0，f （x）单调递增，x（lna，0）时，f（x）0，f（x ）单调递减，x （0，+）时，f（x）0，f（x ）单调递增； （ii） 当 a=1 时，lna=0，f（x ）=xe xax=x（e x1） 0 恒成立，f （x）在（，+）上单调递增，无减区间； 综上，当 a0 时，f （x ）的单调增区间是（0，+） ，单调减区间是（，0） ；当 0a1 时，f （x ）的单调增区间是（ ，lna ）和（ 0，+） ，单调
43、减区间是（lna ，0） ；当 a=1 时，f （x）的单调增区间是（，+） ，无减区间（II）由（I）知 f（x ）=xe xax当 x（0，+）时，y=f （x ）的图象恒在 y=ax3+x2（a 1）x 的图象上方；即 xexaxax 3+x2（a 1）x 对 x（0，+）恒成立；即 exax2x1 0 对 x（0，+）恒成立； 记 g（ x）=e xax2x1（x 0） ，g（x）=e x2ax1=h（x） ；h（x）=e x2a；（i） 当 时，h（x） =ex2a0 恒成立，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）g（0）=0；g （x）在（0，+）上单调递增；g （x）g （0）
44、=0 ，符合题意； （ii） 当 时，令 h（x）=0 得 x=ln（2a） ；x（0，ln （2a ） ）时， h（x ）0，g（x）在（0 ，ln （2a ） ）上单调递减；x（0，ln （2a ） ）时， g（x）g（0）=0 ；g （x）在（0，ln（2a） ）上单调递减，x（0，ln （2a ） ）时， g（x）g（0）=0，不符合题意； 综上可得 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及转化思想与分类讨论思想，属中等偏上题型选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分） （2016 秋 青羊区校级期中）已知直线 l 过点（1，0）且倾斜角为 ，在直角
45、坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M 的方程为sin2+4cos=0（1）写出曲线 M 的直角坐标方程及直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 M 只有一个公共点，求倾斜角 的值【分析】 （1）利用 x=cos，y=sin，即可得出 M 的直角坐标方程；利用直线 l 过点（1，0）且倾斜角为 ，可得直线 l 的参数方程；（2）设直线方程为 y=k（x 1） ，代入 y2=4x，可得 k2x2（2k 24）x +k2=0，分类讨论，利用直线l 与曲线 M 只有一个公共点，求倾斜角 的值【解答】解：（1）x=cos，y=sin，由 sin2+4cos=0 得 2sin2=4cosy 2=4x 即为曲线 M 的直角坐标方程； 直线 l 过点（1，0）且倾斜角为 ，故直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ；（2）设直线方程为 y=k（x 1） ，代入 y2=4x，可得 k2x2（2k 24）x +k2=0k=0，y=0 ，满足题意，=0； ，k=1，= 或 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2017 年 2 月 14 日
