1、山东省德州市 2017 届高三上学期期中考试文数试题第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 3AxN， 2610Bx，则 AB（ ）A 82x B 1 C ， D 0 12， ，【答案】C考点：1.集合的表示与运算；2.二次不等式的解法.2. 已知命题 1:sin2px，命题 :2 6qxkZ， ，则 p是 q的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由 1sin2x可得 52 2 66kxkZ或 ， ；当 26xk
2、时， 1sin2x，所以 p是q的必要不充分条件，故选 B.考点：1.三角函数的图象与性质；2.充分条件与必要条件.3. 已知 31sinco2x， 0 x， ，则 tanx（ ）A 3 B C 3 D 3【答案】D【解析】试题分析：因为 0 x， ，且 31sinco2x，所以 3 24x， ，由 31sinco2x两边平方得 32sinco2x，即 342sin,2,3xx， tan3x，故选 D.考点：1.同角三角函数基本关系；2.三角恒等变换.4. 已知等差数列 na， S为其前 n项和，若 19a， 350a，则 6S的值为（ ）A6 B9 C.15 D 0 【答案】B 考点：等差数
3、列的性质与求和.5. 已知向量 (1,)(3,2)amb，且 ()ab，则 mA 8 B 6 C.6 D8【答案】D【解析】试题分析： (4,2)abm,()0abab，即 43(2)(0m，解之得 8m，故选 D.考点：1.向量的坐标运算；2.向量垂直与向量的数量积. 6. 为了得到 3sin2yx函数的图象，只需把 3sinyx上所有的点（ ） A先把横坐标缩短到原来的 1倍，然后向左平移 6个单位B先把横坐标缩短到原来的 2 倍，然后向左平移 个单位C. 先把横坐标缩短到原来的 2 倍，然后向左右移 3个单位D先把横坐标缩短到原来的 1倍，然后向右平移 个单位【答案】A【解析】试题分析：
4、把 3sinyx上所有的点横坐标缩短到原来的 12倍可得到函数 3sin2yx的图象，再把3sin2yx的图象向左平移 6个单位得到函数 3sin()si()6yxx，故选 A.考点：函数图象的平移变换与伸缩变换.7. 已知函数 21logxf，若 0x是方程 0fx的根，则 0x（ ）A 0 2， B ， C. 31 2， D 3 2，【答案】B考点：零点存在定理.8. 已知 xy， 满足约束条件2043xy，目标函数 2zxy的最大值为（ ） A 25 B 45 C. 1 D13 【答案】B【解析】试题分析：在直角坐标系内作出不等式组2043xy所表示的平面区域，如下图所示，目标函数2zx
5、y中 z的几何意义为坐标原点与可行域内点连线距离的平方，由图可知，其最小值为原点到直线0距离的平方，所以2min451z，故选 B.考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划，属基础题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值” ，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误9. 设 fx是定义在 R上的偶函数，对任意的 xR，都有 4fxf，且当 2 0x， 时，12f，若在区间 (2 6， 内关于 的方程 log201af a恰
6、有三个不同的实数根，则 a的取值范围是（ ）A 10 2， B 20 4， C. 21 4， D 1 2，【答案】C考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、函数与方程，属中档题；函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 ()yfxg零点的个数 函数()yfxg在 x轴交点的个数 方程 ()0fx根的个数 函数 ()yfx与 ()g交点的个数.10. 已知 fx的定义域是 0 ， ， fx为 f的导函数，且满足 fxf，则
7、不等式22xefef的解集是（ ）A 1 ， ， B 2 1， C. 12 ， ， D 1 2，【答案】A考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与不等式，属难题；联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11.已知 fx的定义域为 1 ， ，则函数 ln12gxfx的定义域为 【答案】 1,2【解析】试题
8、分析：由 102x得 12x，所以函数 ()gx的定义域为 1,2.考点：1.对数函数的性质；2.函数的定义域.12. 在 RtABC 中， 90， 1ABC，点 E是 AB的中点，点 D满足 3CB，则 EAD 【答案】 0考点：向量线性运算、数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查向量线性运算、数量积的几何运算，属中档题；平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.13. 已知数列 na是等比数列， nS为其前 项和，且 *132naSnN，则 5a 【答案】 512【解析】试题分析：由 13
9、2naS得，当 n时， 132naS，两式相减得 13nna，即 14na，即数列的公比 4q，令 得， 214，解得 2，所以45125.考点：1.等比数列的定义与性质；2. na与 S关系.14. 若正数 ab， 满足 12，则 12b的最小值为 【答案】 2考点：基本不等式.15. 定义： 1fxf，当 2n且 *xN时， 1nnfxfx，对于函数 fx定义域内的 0x，若正在正整数 n是使得 0nf成立的最小正整数，则称 是点 0的最小正周期， 0称为 f的 n周期点，已知定义在 1， 上的函数 fx的图象如图，对于函数 fx，下列说法正确的是 （写出所有正确命题的编号1 是 fx的一
10、个 3周期点；3 是点 2的最小正周期；对于任意正整数 n，都有 23nf；若 01( 2x， ，则 0x是 f的一个 2周期点.【答案】 考点：1.新定义问题；2.函数综合.【名师点睛】本题考查新定义问题与函数性质的综合应用问题，属难题；新定义问题已成为最近高考的热点内容，主要考查学生学习新知识的能力与阅读能力、应用新知识的能力、逻辑思维能力与运算能力，体现数学的应用价值.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 16. （本小题满分 12 分）已知函数 23sincocos0fxxx的最小正周期为 .（）求 的单调递增区间； （）若 ab
11、c， ， 分别为 ABC 的三内角 BC， ， 的对边，角 A是锐角， 0 1fa， ， 2bc，求 ABC 的面积 .【答案】 （） 5 12kkZ， ；（） 34.【解析】试题分析：（）利用三角恒等变换公式化简函数式可得 ()sin23fxx,由周期为 可求得 1，从而得到 sin23fx，由 223kxkZ可求函数的单调递增区间；（）由0 fA先求出角 =，由余弦定理整理化简可得 1bc，代入三角形面积公式求之即可.试题解析：（） 2sinco3osfxxx1312sin2ix 2 分 2T，从而得到 13 分 sin3fx.4 分由 22kkZ可得：511x，所以 f的单调递增区间为
12、5 12kkZ， .6 分考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象和性质；3.余弦定理；【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质与余弦定理，属中档题；三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实17. （本小题满分 12 分）已知命题 2:lg1pfxax函 数 的定义域是 R；命题 21:aqyx幂 函 数在第一象限为增函数，若“q”为假， “ q”为真，求 的取值范围.【答案】 104aa或考点：1.逻辑联结词
13、与命题；2.对数函数与幂函数的性质.18. （本小题满分 12 分）已知函数 32131fxmxx，其中 m为实数.（）当 时，求函数 f在 4 ， 上的最大值和最小值；（）求函数 fx的单调递增区间 .【答案】 （）最大值为 793，最小值为 23；（）当 1m时， fx的增区间为 ， ；当 1m时，fx的增区间为 2m， ， ， ；当 时， f的增区间为 3， ， 2 ， .【解析】试题分析：（） ）当 1m时， 2131fxx， 31fx，解不等式 0fx与0fx可求出函数的单调区间，从而求得函数的极值及区间 4,两端点处的函数值，比较大小即可得到函数的最大值与最小值；（）求函数 ()f
14、x的导数得 32fxmx，分 1m、 、1m三种情况分别讨论 ()0fx的两根的大小，由导数与单调性关系写出递增区间即可.（） 2 13232fxmxxm，6 分当 3m即 时， 0f，所以 f单调递增；7 分当 2即 1时，由 320fxx可得 2x或 3xm；所以此时 fx的增区间为 2m， ， ， 9 分当 32m即 1时，由 320fxx可得 3x或 2； 所以此时 fx的增区间为 ， ， ， 11 分综上所述：当 1时， fx的增区间为 ， ；当 m时， fx的增区间为 2m， ， 3 ， ；当 1时， f的增区间为 ， ， ， .12 分考点：导数与函数的单调性、极值、最值.19.
15、 （本小题满分 12 分）设各项均为正数的数列 na的前 项和为 nS，且 n满足：2 2*330 nSSN，.（）求 1a的值；（）求数列 n的通项公式；（）设 13nab，求数列 nb的前 项和 nT.【答案】 （） ；（） 3a；（） 324n.试题解析： （）由 2 2*330 nnSSnN， 可得：21130S，又 1a，所以 13.3 分（）由 2 2*3 nnSn， 可得：10nS， *N，又 0na，所以 0nS， 235 分当 n时， 221313nnaSnn，6 分由（）可知，此式对 1也成立， 3na7 分考点：1. na与 S关系；2.错位相减法求和.20. （本小题满
16、分 13 分）某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为 m的药剂后，经过 x天该药剂在水中释放的浓度 y（毫克/升）满足 ymfx，其中2 05519 xf，当药剂在水中的浓度不低于 5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于 5（毫克/升）且不高于 10（毫克/升）时称为最佳净化.（）如果投放的药剂质量为 5m，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（）如果投放的药剂质量为 ，为了使在 9 天（从投放药剂算起包括 9 天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 的最小值. 【答案】 （） 21天；（） 207.【
17、解析】试题分析：（）当 5m时，210 59 xxy， ，,这时 05x时，2105显然符合题意，当5x时，由 92x可得 21x，由此可得到受益人天数；（）当投放的药剂质量为 m时，2 05519 mxxyf， ， ，当 05x时， 2mxy在区间 (0 5， 上单调递增，当 5x时，由导数知识可知函数在 (5 ， 上单调递减，为使 10y，解不等式7430可求 m的取值范围，从而求出其最小值.（）由 2 05519 mxxyf， ，7 分当 05x时，2x在区间 (0 5， 上单调递增，所以 23my；2 分当 时， 240myx，所以函数在 9， 上单调递减，从而得到 74ym，综上可知
18、： 734，11 分为使 510y恒成立，只要7540m即可，所以 273， 12 分 所以应该投放的药剂质量 的最小值为 27.13 分考点：1.函数建模问题；2.导数与函数的单调性、最值.21. （本小题满分 14 分） 已知函数 21lnfxax，且 1f.（）求函数 f的解析式；（）若对任意 0 x， ，都有 210fxm，求 的取值范围；（）证明函数 2yfx的图象在 21xge图象的下方.【答案】 （） ln1f；（） )， ；（）见解析.试题解析： （）易知 ln1fxax，所以 1fa，又 1f1 分 2a2 分 2ln1fxx.3 分（）若对任意的 0 ， ，都有 210fx
19、m，即 2lnxmx恒成立，即： ln恒成立4 分令 1lh，则 12xhx，6 分当 0x时， 0，所以 h单调递增；当 1时， 12xh，所以 x单调递减；8 分 x时， 有最大值 12h， 12m，即 的取值范围为 )， .10 分（）要证明函数 yfx的图象在 21xge图象的下方，即证： 21fxe恒成立，即： ln11 分由（）可得： ln22hxx，所以 ln1x，要证明 ln2xe，只要证明 12xe，即证： 10xe12 分令 1，则 x，当 0x时， 0，所以 单调递增， ，即 10xe，13 分所以 2x，从而得到 ln12xe，所以函数 yf的图象在 g图象的下方.14 分考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值以及函数与不等式，属难题；近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
