1、2017 届河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=2，1，0，2，3，B=y |y=x21，xA ，则 AB 中元素的个数是（ ）A2 B3 C4 D52i 是虚数单位，复数 z=a+i（aR）满足 z2+z=13i，则|z |=（ ）A 或 B2 或 5 C D53设向量 与 的夹角为 ，且 ，则 cos=（ ）A B C D4已知 ，则 =（ ）A7 B7 C D5 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，
2、则该“堑堵” 的表面积为（ ）A4 B C D26已知数列 an，b n满足 bn=an+an+1，则“数列a n为等差数列” 是“数列b n为 等差数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件7执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（ ）A1 B1 C4 D8在（x2） 10 展开式中，二项式系数的最大值为 a，含 x7 项的系数为 b，则=（ ）A B C D9设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2+y2 的最小值为（ ）A B10 C8 D510现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（
3、 ）A B C D11已知 O 为坐标原点， F 是双曲线 的左焦点，A，B 分别为 的左、右顶点，P 为 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若|OE |=2|ON|，则 的离心率为（ ）A3 B2 C D12已知函数 f（x ）=ln（e x+ex）+x 2，则使得 f（2x）f（x +3）成立的 x 的取值范围是（ ）A （ 1，3） B （，3）（3，+） C （3，3） D （，1）（3，+）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13由曲线 y=x3 与 围成的封闭图形
4、的面积是 14已知a n是等比数列， ，则 a7= 15设 F1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F 2AB 是面积为 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为 16已知 x1，x 2 是函数 f（x ）=2sin2x +cos2xm 在 0， 内的两个零点，则sin（ x1+x2）= 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b 、c已知acosAcosBbsin2AccosA=2bcosB（1）求 B；（2）若 ，求 a18在某校举行的航天知识竞赛
5、中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3 ，且成绩分布在40，100，分数在 80 以上（含 80）的同学获奖按文理科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图） （1）填写下面的 22 列联表，能否有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取 3 名学生，记“获奖”学生人数为 X，求 X 的分布列及数学期望文科生 理科生 合计获奖 5不获奖合计 200附表及公式：K2= ，其中 n=a+b+c+dP（K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.00
6、1k 2.0722.7063.841 5.0246.635 7.879 10.82819在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60，PB=PC=PD（1）证明：PA平面 ABCD；（2）若 PA=2，求二面角 APDB 的余弦值20已知抛物线 C：x 2=2py（p 0） ，圆 O：x 2+y2=1（1）若抛物线 C 的焦点 F 在圆上，且 A 为 C 和圆 O 的一个交点，求|AF|；（2）若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于点 M，N，求|MN|的最小值及相应p 的值21已知函数 （1）求 y=f（x）的最大值；（2）当 时，函数 y=g（x ）
7、 ， （x （0，e）有最小值 记 g（x ）的最小值为 h（a） ，求函数 h（a）的值域请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：x+y=4，曲线 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（2）若射线 l：=（p0）分别交 C1，C 2 于 A，B 两点，求 的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=a|x1|+|xa|（a0） （1）当 a=2 时，解不等式 f（x）4；（2）若 f（x）1，求 a 的
8、取值范围2017 届河北省唐山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=2，1，0，2，3，B=y |y=x21，xA ，则 AB 中元素的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集体合 A 和 B，由此以求出 AB 中元素的个数【解答】解：集合 A=2，1，0，2，3，B=y|y=x21，xA= 1， 0，3，8，AB=1，0，3，AB 中元素的个数是 3故选：B2i 是虚数单位，复数 z=a+i（aR）满足 z2+z=
9、13i，则|z |=（ ）A 或 B2 或 5 C D5【考点】复数求模【分析】把复数 z 代入 z2+z 化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解得到 a 的值，然后由复数求模公式计算得答案【解答】解：复数 z=a+i，z 2+z=（a +i） 2+a+i=（a 2+a1）+（2a+1）i=13i ， ，解得 a=2复数 z=a+i=2+i则|z|= 故选：C3设向量 与 的夹角为 ，且 ，则 cos=（ ）A B C D【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由条件求得， = 的坐标，再根据 cos= 计算求得它的值【解答】解：向量 与 的夹角为 ，且 ， = =（2，1 ） ，则 c
10、os= = = ，故选：A4已知 ，则 =（ ）A7 B7 C D【考点】两角和与差的正切函数【分析】由题意和二倍角的正切公式求出 tan2 的值，由两角差的正切公式求出的值【解答】解：由 得，= = ，所以 = = ，故选 D5 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵” 的表面积为（ ）A4 B C D2【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：
11、 21=1，底面周长为：2+2 =2+2 ，故棱柱的表面积 S=21+2（2+2 ）=6+4 ，故选：B6已知数列 an，b n满足 bn=an+an+1，则“数列a n为等差数列” 是“数列b n为 等差数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：若数列a n为等差数列，设公差为 d，则当 n2 时，b nbn1=an+an+1an1an=an+1an+anan1=2d 为常数，则数列b n为 等差数列，即充分性成立，若数列b
12、n为 等差数列，设公差为 b，则 n2 时，b nbn1=an+an+1an1an=an+1an1=d 为常数，则无法推出 anan1 为常数，即无法判断数列a n为等差数列，即必要性不成立，即“数列a n为等差数列”是“ 数列b n为 等差数列”充分不必要条件，故选：A7执行如图所示的程序框图，则输出的 a=（ ）A1 B1 C4 D【考点】程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 b，a ，i 的值，观察 a 的取值规律，可得当 i=40 时不满足条件 i40，退出循环，输出 a 的值为4【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，a= 4满足条件 i40，执行循环体，b=1，a
13、=1，i=2满足条件 i40，执行循环体，b= ，a= ，i=3满足条件 i40，执行循环体，b=4，a=4，i=4满足条件 i40，执行循环体，b=1，a=1，i=5观察规律可知，a 的取值周期为 3，由于 40=313+1，可得：满足条件 i40，执行循环体，b=4，a=4，i=40不满足条件 i40，退出循环，输出 a 的值为4故选：C8在（x2） 10 展开式中，二项式系数的最大值为 a，含 x7 项的系数为 b，则=（ ）A B C D【考点】二项式定理的应用【分析】由题意，a= =252，含 x7 项的系数为 b= =960，即可得出结论【解答】解：由题意，a= =252，含 x7
14、 项的系数为 b= =960， = ，故选 D9设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2+y2 的最小值为（ ）A B10 C8 D5【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论【解答】解：实数 x，y 满足约束条件的可行域为：z=x 2+y2 的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然 A 到原点距离的平方最小，由 ，可得 A（3，1） ，则 z=x2+y2 的最小值为：10故选：B10现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（ ）A B C D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析
15、】设球半径为 R，正方体边长为 a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值【解答】解：设球半径为 R，正方体边长为 a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，R= ，所得工件体积与原料体积之比的最大值为：= = 故选：A11已知 O 为坐标原点， F 是双曲线 的左焦点，A，B 分别为 的左、右顶点，P 为 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E，直线 BM 与 y 轴交于点 N，若|OE |=2|ON|，则 的离心率为（ ）A3 B2 C D【考点】双曲线的简单性质【分析】根据条件分别求出直线 A
16、E 和 BN 的方程，求出 N，E 的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可【解答】解：PFx 轴，设 M（c，0） ，则 A（a，0） ，B （a，0） ，AE 的斜率 k= ，则 AE 的方程为 y= （x+a） ，令 x=0，则 y= ，即 E（0， ） ，BN 的斜率 k= ，则 AE 的方程为 y= （xa） ，令 x=0，则 y= ，即 N（0， ） ，|OE|=2|ON|，2| |=| |，即 = ，则 2（c a）=a+c ，即 c=3a，则离心率 e= =3，故选：A12已知函数 f（x ）=ln（e x+ex）+x 2，则使得 f（2x）f（x +3）成立
17、的 x 的取值范围是（ ）A （ 1，3） B （，3）（3，+） C （3，3） D （，1）（3，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】先求出 +2x，再由 f（x）为偶函数，且在（0，+）上单调递增，故 f（2x） f（x+3）等价于|2x |x+3|，解之即可求出使得f（2x）f（x +3）成立的 x 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）=ln（e x+ex）+x 2， +2x，当 x=0 时，f（x）=0，f（x）取最小值，当 x0 时，f（x ）0，f（x ）单调递增，当 x0 时，f（x ）0，f（x ）单调递减，f（ x）=ln（e x+ex）+x 2 是偶函数，且
18、在（0，+）上单调递增，f（ 2x）f （x +3）等价于|2x |x+3|，整理，得 x22x30，解得 x3 或 x1，使得 f（2x）f （x +3）成立的 x 的取值范围是（ ，1）（3，+） 故选：D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13由曲线 y=x3 与 围成的封闭图形的面积是 【考点】定积分在求面积中的应用【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数 y=x3与 在区间0，1上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出 y=x3 与 的图象，则封闭图形的面积故答案为： 14已知a n
19、是等比数列， ，则 a7= 1 【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出 a7 的值【解答】解：a n是等比数列， ， ，解得 ，a7= =1故答案为：115设 F1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F 2AB 是面积为 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为 【考点】椭圆的简单性质【分析】由题设条件知列出 a，b，c 的方程，结合三角形的面积，求出 a，b 求出椭圆的方程【解答】解：F 1，F 2 为椭圆 的左、右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F 2AB 是面积为 的等边
20、三角形，可得： ， =4 ，a 2=b2+c2，解得 a2=18，b 2=12，c 2=6所求的椭圆方程为： 故答案为： 16已知 x1，x 2 是函数 f（x ）=2sin2x +cos2xm 在 0， 内的两个零点，则sin（ x1+x2）= 【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可得 m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，运用和差化积公式和同角的基本关系式，计算即可得到所求值【解答】解：x 1，x 2 是函数 f（x）=2sin2x+cos2xm 在0， 内的两个零点，可得 m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，即为 2（sin2x
21、1sin2x2）= cos2x1+cos2x2，即有 4cos（x 1+x2）sin（x 1x2）=2sin（x 2+x1）sin（ x2x1） ，由 x1x 2，可得 sin（x 1x2）0，可得 sin（x 2+x1）=2cos （x 1+x2） ，由 sin2（x 2+x1）+cos 2（x 1+x2）=1 ，可得 sin（x 2+x1）= ，由 x1+x20， ，即有 sin（x 2+x1）= 故答案为： 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b 、c已知acosAcosBbsin
22、2AccosA=2bcosB（1）求 B；（2）若 ，求 a【考点】正弦定理【分析】 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 2sinBcosB=sinB，结合 sinB0，可求 cosB= ，进而可求 B 的值（2）由已知及余弦定理可求 c2+ac6a2=0，解得 c=2a，进而利用三角形面积公式可求 a 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosAcosBsinBsin2AsinCcosA=sinAcos（A +B）sinCcosA=sinAcosCsinCcosA=sin（A+C）=sinB，sin
23、B0，cosB= ，B= （2）由 b2=a2+c22accosB，b= a，cosB= ，得：c 2+ac6a2=0，解得 c=2a，由 SABC = acsinB= a2=2 ，得 a=218在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3 ，且成绩分布在40，100，分数在 80 以上（含 80）的同学获奖按文理科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图） （1）填写下面的 22 列联表，能否有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取 3 名学生，记“获奖”学生
24、人数为 X，求 X 的分布列及数学期望文科生 理科生 合计获奖 5不获奖合计 200附表及公式：K2= ，其中 n=a+b+c+dP（K 2 k） 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k 2.0722.7063.841 5.0246.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】 （1）列出表格根据公式计算出 K2，参考表格即可得出结论（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为 ，将频率视为概率，所以 X 可取0，1 ，2 ，3，且 XB（3， ） 即可得出【解答】解：（1）文科生 理科生 合计获奖 5
25、 35 40不获奖 45 115 160合计 50 150 200k= = 4.167 3.841，所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为 ，将频率视为概率，所以 X 可取 0，1，2，3，且 XB （3， ） P（X=k）= （ ） k（ 1 ） 3k（k=0 ，1，2，3） ，X 0 1 2 3PE（ X） =3 = 19在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC=60，PB=PC=PD（1）证明：PA平面 ABCD；（2）若 PA=2，求二面角 APDB 的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面
26、垂直的判定【分析】 （1）连接 AC，取 BC 中点 E，连接 AE，PE ，推导出 BCAE ，BC PE，从而 BCPA同理 CDPA ，由此能证明 PA平面 ABCD（2）以 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz，利用向量法能求出二面角 APDB的余弦值【解答】证明：（1）连接 AC，则ABC 和ACD 都是正三角形取 BC 中点 E，连接 AE，PE，因为 E 为 BC 的中点，所以在ABC 中，BCAE，因为 PB=PC，所以 BCPE，又因为 PEAE=E，所以 BC平面 PAE，又 PA平面 PAE，所以 BCPA同理 CDPA ，又因为 BCCD=C，所以 PA平面 ABC
27、D6解：（2）如图，以 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 B（ ，1，0） ，D （0，2，0） ，P（0，0，2） ，=（0，2，2） ， =（ ，3，0） ，设平面 PBD 的法向量为 =（x，y ，z） ，则 ，取 x= ，得 =（ ） ，取平面 PAD 的法向量 =（1，0，0） ，则 cos = = ，所以二面角 APDB 的余弦值是 20已知抛物线 C：x 2=2py（p 0） ，圆 O：x 2+y2=1（1）若抛物线 C 的焦点 F 在圆上，且 A 为 C 和圆 O 的一个交点，求|AF|；（2）若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于点 M，N，求|MN|的最
28、小值及相应p 的值【考点】直线与抛物线的位置关系；圆与圆锥曲线的综合【分析】 （1）求出 F（1， 0） ，得到抛物线方程，联立圆的方程与抛物线方程，求出 A 的纵坐标，然后求解|AF|（2）设 M（ x0，y 0） ，求出切线 l：y= （xx 0）+y 0，通过|ON|=1，求出 p=且 10，求出 |MN|2 的表达式，利用基本不等式求解最小值以及 p 的值即可【解答】解：（1）由题意得 F（1，0） ，从而有 C：x 2=4y解方程组 ，得 yA= 2，所以|AF|= 1（2）设 M（ x0，y 0） ，则切线 l：y= （xx 0）+y 0，整理得 x0xpypy0=0由|ON|=1
29、 得|py 0|= = ，所以 p= 且 10，所以|MN| 2=|OM|21= + 1=2py0+ 1= + 1=4+ +（ 1）8，当且仅当 y0= 时等号成立，所以|MN|的最小值为 2 ，此时 p= 21已知函数 （1）求 y=f（x）的最大值；（2）当 时，函数 y=g（x ） ， （x （0，e）有最小值 记 g（x ）的最小值为 h（a） ，求函数 h（a）的值域【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （1）求出 f（x）= （x0 ） ，通过判断函数的单调性，求解函数的最大值即可（2）求出 g（x）=lnxax=x（ a） ，由（1）及 x（0，e：通过当 a= 时，
30、当 a0， ） ，分别求解函数的单调性与最值即可【解答】解：（1）f（x）= （x0 ） ，当 x（0，e）时， f（x）0，f（x ）单调递增；当 x（e，+ ）时，f （x）0，f（x ）单调递减，所以当 x=e 时， f（x）取得最大值 f（e）= （2）g（x） =lnxax=x（ a） ，由（1）及 x（0，e得：当 a= 时， a0，g（x）0，g（x）单调递减，当 x=e 时，g（x）取得最小值 g（e）=h（a）= 当 a0， ） ，f（1）=0a，f（e）= a，所以存在 t1，e） ，g（t）=0 且 lnt=at，当 x（0，t）时，g（x） 0，g（x）单调递减，当 x
31、（t，e时，g（x）0，g （x ）单调递增，所以 g（x ）的最小值为 g（t）=h（a） 令 h（a）=G（t ）= t，因为 G（t ）= 0，所以 G（t）在1，e）单调递减，此时 G（t ）（ ， 1综上，h（a） ，1请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：x+y=4，曲线 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（2）若射线 l：=（p0）分别交 C1，C 2 于 A，B 两点，求 的最大值【考点】简单曲线的
32、极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】 （1）由曲线 C1：x +y=4 可得曲线 C1 的极坐标方程；先将曲线 C2 化为普通方程，进而可得曲线 C2 的极坐标方程；（2）设 A（ 1， ） ，B（ 2，） ， ，则 1= ， 2=2cos，则 = ，进而得到答案【解答】解：（1）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：x+y=4，曲线 C1 的极坐标方程为：（cos+sin）=4，C2 的普通方程为（x1） 2+y2=1，所以曲线 C2 的极坐标方程为：=2cos（2）设 A（ 1， ） ，B（ 2，） ， ，则 1= ， 2=2cos，= = 2cos（cos+sin）= （ cos2+
33、sin2+1）= cos（2 ）+1，当 = 时， 取得最大值 （ +1） 选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=a|x1|+|xa|（a0） （1）当 a=2 时，解不等式 f（x）4；（2）若 f（x）1，求 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】 （1）当 a=2 时，f （x）在（，1上递减，在1，+）上递增，f （0）=f（ ）=4 利用解不等式 f（x）4；（2）若 f（x）1，分类讨论，即可求 a 的取值范围【解答】解：（1）f（x） =2|x1|+|x2|=所以，f（x ）在（，1上递减，在1，+）上递增，又 f（0）=f（ ）=4，故 f（x ）4 的解集为x|0x （2）若 a1，f （x ）=（a1）|x1|+|x1|+|xa|a 1，当且仅当 x=1 时，取等号，故只需 a11，得 a2若 a=1，f （x）=2|x1|，f （1）=01，不合题意 若 0a1，f （x ）=a|x 1|+a|xa|+（1a）|xa|a（1a） ，当且仅当 x=a 时，取等号，故只需 a（1 a）1，这与 0a1 矛盾综上所述，a 的取值范围是2，+）
