1、2016-2017 学年四川省成都市龙泉一中高三（上）12 月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 M=x|x22x30，N=x|log 2x0，则 MN 等于（ ）A （ 1，0） B （1，1） C （0，1） D （1，3）2设 a，b R，则“（ab ）a 20”是“ab” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知点 A（1，1） ，B （1，2） ，C（ 2，1） ，D （3，4） ，则向量 在 方向上的投影为（ ）A B C D4
2、已知等比数列a n的前 10 项的积为 32，则以下命题为真命题的是（ ）A数列a n的各项均为正数B数列a n中必有小于 的项C数列a n的公比必是正数D数列a n中的首项和公比中必有一个大于 15设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z= 的取值范围是（ ）A ，1 B ， C ， D ， 6设函数 f（x）=sin（2x ）的图象为 C，下面结论中正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期是 2B函数 f（x）在区间（ ， ）上是增函数C图象 C 可由函数 g（x）=sin2x 的图象向右平移 个单位得到D图象 C 关于点（ ，0）对称7执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的
3、S=（ ）A B C D8在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3，DAB= ，点 E，F 分别在 BC，DC 边上，且 =， = ，则 =（ ）A B1 C2 D9函数 y=ln 的图象大致是（ ）A B C D10存在函数 f（x ）满足，对任意 xR 都有（ ）Af （sin2x）=sinx Bf（sin2x）=x 2+x Cf（x 2+1）=|x+1| Df （x 2+2x）= |x+1|11函数 f（ x）=Asin （2x+） （| | ，A 0 ）部分图象如图所示，且 f（a）=f（b）=0，对不同的 x1，x 2a，b，若 f（x 1）=f（x 2） ，有 f（x 1+x
4、2）= ，则（ ）Af （x）在（ ， ）上是减函数 Bf（x）在（ ， ）上是增函数C f（ x）在（ ， ）上是减函数 Df（x）在（ ， ）上是增函数12如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA，CC的中点，过直线E， F 的平面分别与棱 BB、DD交于 M，N，设 BM=x，x 0，1，给出以下四个命题：平面 MENF平面 BDDB；当且仅当 x= 时，四边形 MENF 的面积最小；四边形 MENF 周长 L=f（x ） ，x0，1是单调函数；四棱锥 CMENF 的体积 V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（ ）A B C D二、填空题（每小题
5、5 分，共 20 分）13在平面直角坐标系中，角 终边过点 P（2，1） ，则 cos2+sin2 的值为 14某校为了了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从 800 人中抽取 40 人参加某种测试，为此将学生随机编号为 1，2，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为 18，抽到的 40 人中，编号落入区间1，200的人做试卷 A，编号落入区间201， 560的人做试卷 B，其余的人做试卷 C，则做试卷 C 的人数为 15一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 16德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f（x ）=被称为狄利克雷函数，则关于函
6、数 f（x）有如下四个命题：f（ f（ x） ） =0； 函数 f（x ）是偶函数；任取一个不为零的有理数 T，f （x+T ）=f（x）对任意的 xR 恒成立；存在三个点 A（x 1，f（x 1） ） ，B （x 2，f（x 2） ） ，C（x 3，f （x 3） ） ，使得ABC 为等边三角形其中正确命题的序号有 三、解答题（共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知各项为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn 且满足 an2+2an=4Sn（）数列a n的通项 an；（）令 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn18已知函数 的最小正周期为 （1）求
7、的值； （2）讨论 f（x）在区间 上的单调性19已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1AB=1，AA 1=2，点 E 为 CC1 中点，点 F 为 BD1 中点（1）证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线；（2）求点 D1 到面 BDE 的距离20某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号 A1 A2 A3 A4 A5质量指标（ x，y，z）（ 1，1，2）（ 2，1，1）（ 2，2，2）（ 1，1，1）（ 1，2，1）产品编号 A6 A7 A
8、8 A9 A10质量指标（ x，y，z）（ 1，2，2）（ 2，1，1）（ 2，2，1）（ 1，1，1）（ 2，1，2）（）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（）在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率21已知椭圆 =1（ ab 0）的右焦点为 F（1，0） ，且点 在椭圆上（1）求该椭圆的方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 x2+y2=3 的两条切线，切点分别为M，N（M，N 不在坐标轴上） ，若直线 MN 在 x 轴，
9、y 轴上的截距分别为 m，n，证明为定值；（3）若 P1，P 2 是椭圆 C1： =1 上不同的两点，P 1P2x 轴，圆 E 过 P1，P 2 且椭圆 C1上任意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆 C1 是否存在过左焦点 F1 的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，说明理由选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22已知曲线 C 的极坐标方程是 =4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直 l 的参数方程是 （t 是参数）（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B
10、 两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|2xa|+|2x +3|，g （x ）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意 x1R，都有 x2R，使得 f（x 1）=g（x 2）成立，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年四川省成都市龙泉一中高三（上）12 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合 M=x|x22x30，N=x|log 2x0，则 MN 等于（ ）A （ 1，0） B （1，1）
11、 C （0，1） D （1，3）【考点】交集及其运算【分析】利用一元二次不等式和对数函数的知识分别求出集合 M 和集合 N，由此能求出MN【解答】解：集合 M=x|x22x30= x|1x3，N=x|log2x0=x|0x1，M N=x|0x1=（0，1） 故选：C2设 a，b R，则“（ab ）a 20”是“ab” 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，bR，则（ ab）a 20，a b 成立，由 ab，则 ab0 ， “（ab）a 20，所以根
12、据充分必要条件的定义可的判断：a， bR，则“（ab）a 20”是 ab 的充分不必要条件，故选：A3已知点 A（1，1） ，B （1，2） ，C（ 2，1） ，D （3，4） ，则向量 在 方向上的投影为（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【分析】先求向量 ， 的坐标，然后根据投影的计算公式即可求出向量 在 方向上的投影为 ，从而进行数量积的坐标运算，以及根据坐标求向量长度即可【解答】解： ；向量 在 方向上的投影为： = 故选 D4已知等比数列a n的前 10 项的积为 32，则以下命题为真命题的是（ ）A数列a n的各项均为正数B数列a n中必有小于 的项C数列a n的公比必
13、是正数D数列a n中的首项和公比中必有一个大于 1【考点】命题的真假判断与应用；等比数列的性质【分析】由等比数列的性质可知 ，故 q 必是正数，故选项 C 为真命题；由 可知 a5 可以为负数，故 A 为假命题；对于选项 B，由于 a5a6=2 可以前 10 项全为 ，故 B 为假命题；对于选项 D，由 可得 ，可取 q=1、 均不大于 1，故 D 为假命题【解答】解：由等比数列的性质，a 1a2a3a10= =32a 5a6=2，设公比为 q，则 ，故 q 必是正数，故选项 C 为真命题对于选项 A，由 可知 a5 可以为负数，故 A 为假命题；对于选项 B，由 a5a6=2 可以前 10
14、项全为 ，故 B 为假命题；对于选项 D，由 可得 ，可取 q=1、 均不大于 1，故 D 为假命题故选 C5设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z= 的取值范围是（ ）A ，1 B ， C ， D ， 【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义以及斜率公式的计算，即可求 z 的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） z= 的几何意义是区域内的点（x ，y）到定点 D（ 1，0）的斜率，由图象知 BD 的斜率最大，CD 的斜率最小，由 ，解得 ，即 B（ ， ） ，即 BD 的斜率 k= = ，由 ，解得 ，即 C（ ， ） ，即
15、CD 的斜率 k= = ，即 z ，故选：D6设函数 f（x）=sin（2x ）的图象为 C，下面结论中正确的是（ ）A函数 f（x）的最小正周期是 2B函数 f（x）在区间（ ， ）上是增函数C图象 C 可由函数 g（x）=sin2x 的图象向右平移 个单位得到D图象 C 关于点（ ，0）对称【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，y=Asin（x+ ）的图象变换规律，得出结论【解答】解：根据函数 f（x ）=sin（2x ）的周期为 =，可得 A 错误；在区间（ ， ）上，2x （ ， ） ，故 f（x ）没有单调性，故 B 错误；把函数 g（x
16、 ）=sin2x 的图象向右平移 个单位，可得 y=sin（2x ）的图象，故 C 错误；令 x= ，可得 f（x）=sin（2x ）=0，图象 C 关于点（ ，0）对称，故 D 正确，故选：D7执行如图所示的程序框图，若输入 n=10，则输出的 S=（ ）A B C D【考点】循环结构【分析】框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2，在输入 n 的值为 10 后，对 i的值域 n 的值大小加以判断，满足 in，执行 ，i=i+2，不满足则跳出循环，输出 S【解答】解：输入 n 的值为 10，框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 分别赋值 0 和 2，判断 210 成立，
17、执行 ，i=2+2=4 ；判断 410 成立，执行 = ，i=4+2=6；判断 610 成立，执行 ，i=6+2=8；判断 810 成立，执行 ，i=8+2=10；判断 1010 成立，执行 ，i=10+2=12；判断 1210 不成立，跳出循环，算法结束，输出 S 的值为 故选 A8在平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=3，DAB= ，点 E，F 分别在 BC，DC 边上，且 =， = ，则 =（ ）A B1 C2 D【考点】平面向量数量积的运算【分析】由条件便可得到 ，根据向量加法的几何意义便可得到，这样根据 AB=4，AD=3，DAB= 进行数量积的运算便可求出的值【解答】解： ，
18、 ； ， ； ， ；=2故选：C9函数 y=ln 的图象大致是（ ）A B C D【考点】正弦函数的图象【分析】由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据 f（x）=f（x） ，可得函数的图象关于 y 轴对称，故排除 B、D，再根据当 x（0，1）时，ln 0，从而排除C，从而得到答案【解答】解：函数 y=ln ，x +sinx0，x0，故函数的定义域为x |x0再根据 y=f（x）的解析式可得 f（x）=ln（ ）=ln（ ）=f（x） ，故函数 f（x ）为偶函数，故函数的图象关于 y 轴对称，故排除 B、D当 x（0，1）时，0sinxx 1，0 1，函数 y=ln 0，故排除 C
19、，只有 A 满足条件，故选：A10存在函数 f（x ）满足，对任意 xR 都有（ ）Af （sin2x）=sinx Bf（sin2x）=x 2+x Cf（x 2+1）=|x+1| Df （x 2+2x）= |x+1|【考点】函数的概念及其构成要素【分析】利用 x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可【解答】解：A取 x=0，则 sin2x=0，f（0）=0；取 x= ，则 sin2x=0，f（0）=1 ；f（ 0）=0，和 1，不符合函数的定义；不存在函数 f（x） ，对任意 xR 都有 f（sin2x）=sinx；B取 x=0，则 f（0）=0；取 x=，则 f（0）= 2+；f（ 0）有两
20、个值，不符合函数的定义；该选项错误； C取 x=1，则 f（2）=2，取 x=1，则 f（2）=0；这样 f（ 2）有两个值，不符合函数的定义；该选项错误；D令 x+1=t，则 f（x 2+2x）=|x +1|，化为 f（t 21）=|t |；令 t21=x，则 t= ； ；即存在函数 f（x）= ，对任意 xR，都有 f（x 2+2x）=|x +1|；该选项正确故选：D11函数 f（ x）=Asin （2x+） （| | ，A 0 ）部分图象如图所示，且 f（a）=f（b）=0，对不同的 x1，x 2a，b，若 f（x 1）=f（x 2） ，有 f（x 1+x2）= ，则（ ）Af （x）在
21、（ ， ）上是减函数 Bf（x）在（ ， ）上是增函数C f（ x）在（ ， ）上是减函数 Df（x）在（ ， ）上是增函数【考点】正弦函数的图象【分析】根据题意，得出函数 f（x ）的最小正周期，且 ba 为半周期，再根据 f（x 1）=f（x 2）时 f（x 1+x2）的值求出 的值，从而写出 f（x）的解析式，判断 f（x ）的单调性【解答】解：f（x）=Asin（2x +） ，函数最小正周期为 T=；由图象得 A=2，且 f（a）=f（b ）=0 ， =ba，解得 ba= ；又 x1，x 2a，b，且 f（x 1）=f（x 2）时，有 f（x 1+x2）= ，sin 2（x 1+x2）
22、+= ，即 2（x 1+x2）+= ，且 sin（2 +）=1，即 2 += ，解得 = ，f（ x）=2sin（2x+ ） ；令 +2k2x+ +2k，kZ ， +2k2x +2k，k Z，解得 +kx +k，kZ ，函数 f（x ）在区间 +k， +k，k Z 上是单调增函数，f（ x）在区间（ ， ）上是单调增函数故选：B12如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA，CC的中点，过直线E， F 的平面分别与棱 BB、DD交于 M，N，设 BM=x，x 0，1，给出以下四个命题：平面 MENF平面 BDDB；当且仅当 x= 时，四边形 MENF 的面积最小；四
23、边形 MENF 周长 L=f（x ） ，x0，1是单调函数；四棱锥 CMENF 的体积 V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（ ）A B C D【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用面面垂直的判定定理去证明 EF平面 BDDB四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的，所以要使面积最小，则只需 MN 的长度最小即可 判断周长的变化情况求出四棱锥的体积，进行判断【解答】解：连结 BD，BD，则由正方体的性质可知，EF平面 BDDB，所以平面MENF 平面 BDDB，所以正确连结 MN，因为 EF平面 BDDB，所以 EFMN，四边形 MENF 的对角线 EF 是固定的，所以要使面积最
24、小，则只需 MN 的长度最小即可，此时当 M 为棱的中点时，即 x= 时，此时MN 长度最小，对应四边形 MENF 的面积最小所以正确因为 EFMN，所以四边形 MENF 是菱形当 x0， 时，EM 的长度由大变小当x ， 1时， EM 的长度由小变大所以函数 L=f（x）不单调所以错误连结 CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以 CEF 为底，以 M，N 分别为顶点的两个小棱锥因为三角形 CEF 的面积是个常数 M，N 到平面 CEF 的距离是个常数，所以四棱锥 CMENF 的体积 V=h（x）为常函数，所以正确所以四个命题中假命题所以选 C二、填空题（每小题 5 分，共 2
25、0 分）13在平面直角坐标系中，角 终边过点 P（2，1） ，则 cos2+sin2 的值为 【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得 cos、sin 的值，从而求得 cos2+sin2的值【解答】解：平面直角坐标系中，角 终边过点 P（2，1） ，x=2，y=1，r=|OP|= ，cos= = = ，sin= = = ，则 cos2+sin2= +2sincos= + = ，故答案为： 14某校为了了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从 800 人中抽取 40 人参加某种测试，为此将学生随机编号为 1，2，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的
26、方法抽到号码为 18，抽到的 40 人中，编号落入区间1，200的人做试卷 A，编号落入区间201， 560的人做试卷 B，其余的人做试卷 C，则做试卷 C 的人数为 12 【考点】系统抽样方法【分析】由题意可得抽到的号码构成以 18 为首项、以 20 为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式，由 56020n 2800 求得正整数 n 的个数，即为所求【解答】解：设抽到的学生的编号构成数列a n，则 an=18+（n 1）20=20n 2，由 56020n 2800，nN* ，得 29n 40 ，n 有 12 个整数，即做试卷 C 的人数为 12故答案为：1215一个几何体的三视图如图所示
27、，该几何体体积为 【考点】由三视图求面积、体积【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为 2 的正方形，高为 的四棱锥，所以：V= =故答案为：16德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 f（x ）=被称为狄利克雷函数，则关于函数 f（x）有如下四个命题：f（ f（ x） ） =0； 函数 f（x ）是偶函数；任取一个不为零的有理数 T，f （x+T ）=f（x）对任意的 xR 恒成立；存在三个点 A（x 1，f（x 1） ） ，B （x 2，f（x 2） ） ，C（x 3，f （x 3
28、） ） ，使得ABC 为等边三角形其中正确命题的序号有 【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质【分析】根据函数的对应法则，可得不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f（x） ）=1 ；根据函数奇偶性的定义，可得 f（x ）是偶函数；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；取 x1= ，x 2=0，x 3= ，可得 A（ ，0） ，B（0，1） ，C （ ，0） ，三点恰好构成等边三角形【解答】解：当 x 为有理数时， f（x）=1；当 x 为无理数时，f（x）=0当 x 为有理数时，ff （x） ）=f（1）=1；当 x 为无理数时，f（f （x） ）=f（0）=1即不管 x 是
29、有理数还是无理数，均有 f（f（x） ）=1，故不正确；接下来判断三个命题的真假有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f（x）=f（x） ，故正确； 若 x 是有理数，则 x+T 也是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f （x+T）=f（x）对 xR 恒成立，故正确； 取 x1= ，x 2=0，x 3= ，可得 f（x 1）=0，f （x 2）=1 ，f（x 3）=0A（ ，0） ，B（0，1） ，C （ ，0） ，恰好ABC 为等边三角形，故正确故答案为：三、解答题（共 5 小题，共 70 分解答
30、应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17已知各项为正数的数列a n的前 n 项和为 Sn 且满足 an2+2an=4Sn（）数列a n的通项 an；（）令 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （）运用 n=1 时，a 1=S1，当 n2 时，a n=SnSn1，结合等差数列的通项公式，即可得到所求；（）求得 bn= = = （ ）= ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和【解答】解：（）当 n=1 时，a n2+2an=4Sn即为 ，解得 a1=2 或者 a1=0（舍去）又 当 n2 时， 得： ，分解因式得（a n+an1）
31、（a nan12）=0；又 an0，可得 anan1=2（ n2） ，则数列a n是以首项为 2，公差为 2 的等差数列，则 an=2n；（）b n= = = （ ）= ，则 Tn=b1+b2+bn= + + = = 18已知函数 的最小正周期为 （1）求 的值； （2）讨论 f（x）在区间 上的单调性【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】 （1）将函数进行化简，再利用周期公式求 的值（2）当 x 在区间 上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求单调性【解答】解：函数 化简得 Lf（x）=4cosx（ cosx sinx）=2cos2x sin2x=1+co
32、s2x sin2x=2cos（2x ）+1（1）因为函数 的最小正周期为 ，即 T= ，解得：=1，则：f（ x）=2cos（2x ）+1故得 的值为 1，（2）由（1）可得 f（x ） =2cos（2x ）+1当 x 在区间 上时，故得： ，当 时，即 时，函数 f（x）=2cos（2x ）+1 为减函数当 时，即 时，函数 f（x）=2cos （2x ）+1 为增函数所以，函数 f（x）=2cos（2x ）+1 为减区间为 ，增区间为 19已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1AB=1，AA 1=2，点 E 为 CC1 中点，点 F 为 BD1 中点（1）证明 EF 为 BD1 与 CC1
33、 的公垂线；（2）求点 D1 到面 BDE 的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征【分析】 （1）欲证明 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线，只须证明 EF 分别与为 BD1 与 CC1 垂直即可，可由四边形 EFMC 是矩形EFCC 1由 EF面 DBD1EFBD 1（2）欲求点 D1 到面 BDE 的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VEDBD1=VD1DBE求解即得【解答】解：（1）取 BD 中点 M连接 MC，FMF 为 BD1 中点，FM D1D 且 FM= D1D又 EC CC1 且 ECMC，四边形 EFMC 是矩形EF CC 1又 FM面 DBD1E
34、F 面 DBD1BD 1面 DBD1EFBD 1故 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线（）解：连接 ED1，有 VEDBD1=VD1DBE由（）知 EF面 DBD1，设点 D1 到面 BDE 的距离为 d则 AA 1=2，AB=1 ， ， 故点 D1 到平面 DBE 的距离为 20某产品的三个质量指标分别为 x，y，z，用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号 A1 A2 A3 A4 A5质量指标（ x，y，z）（ 1，1，2）（ 2，1，1）（ 2，2，2）（ 1，1，1）（ 1，2
35、，1）产品编号 A6 A7 A8 A9 A10质量指标（ x，y，z）（ 1，2，2）（ 2，1，1）（ 2，2，1）（ 1，1，1）（ 2，1，2）（）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（）在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件 B 为“在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；用样本的数字特征估计总体的数字特征；随机事件【分析】 （）用综合指标 S=x+y+z 计算出 10 件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（） （i）直接用列举法列
36、出在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4 的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解【解答】解：（）计算 10 件产品的综合指标 S，如下表：产品编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5其中 S4 的有 A1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9 共 6 件，故样本的一等品率为 从而可估计该批产品的一等品率为 0.6；（） （i）在该样本的一等品种，随机抽取 2 件产品的所有可能结果为A 1，A 2，A 1，A 4，A1，A 5，A1，
37、A 7，A 1，A 9，A 2，A 4，A 2，A 5，A 2，A 7，A 2，A 9，A 4，A 5，A 4，A 7，A4，A 9，A 5，A 7，A 5，A 9，A 7，A 9共 15 种（ii）在该样本的一等品种，综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1，A 2，A 5，A 7则事件 B 发生的所有可能结果为 A1，A 2，A 1，A 5，A 1，A 7，A 2，A 5，A 2，A 7，A5，A 7，共 6 种所以 p（B）= 21已知椭圆 =1（ ab 0）的右焦点为 F（1，0） ，且点 在椭圆上（1）求该椭圆的方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点 Q 作圆 x2+y2=3
38、 的两条切线，切点分别为M，N（M，N 不在坐标轴上） ，若直线 MN 在 x 轴，y 轴上的截距分别为 m，n，证明为定值；（3）若 P1，P 2 是椭圆 C1： =1 上不同的两点，P 1P2x 轴，圆 E 过 P1，P 2 且椭圆 C1上任意一点都不在圆 E 内，则称圆 E 为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆 C1 是否存在过左焦点 F1 的内切圆？若存在，求出圆心 E 的坐标；若不存在，说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】 （1）由椭圆右焦点为 F（1，0） ，得 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，由且点 在椭圆上，根据椭圆定义知|PF 1|+|PF2|=2a
39、，由此能求出椭圆方程（2）设 Q（x 0，y 0） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 lQM：x 1x+y1y=3，l QN：x 2x+y2y=3，推导出，n= ，从而 =1，由此能证明 为定值（3）不妨设 P1（m，n） ， P2（m，n ） ，圆心 E（t ，0 ） ，圆 E：（xt ） 2+y2=（mt） 2+n2，由内切圆定义知，椭圆上的点到圆心 E 的距离的最小值为|P 1E|，由此能求出在这样的内切圆，圆心为（ ，0） 【解答】解：（1）椭圆 =1（ab0）的右焦点为 F（1，0） ，且点 在椭圆上，F 1（1，0 ） ，F 2（1，0 ） ，c=1 ，由椭圆定
40、义知|PF 1|+|PF2|= + =2a=4，解得 a=2，椭圆方程为 =1证明：（2）设 Q（x 0，y 0） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 lQM： x1x+y1y=3，l QN：x 2x+y2y=3，Q （ x0，y 0）在直线 lQM，l QN 上， ，点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）均在直线 x0x+y0y=3 上，即 lMN：x 0x+y0y=3，由此得 ，n= ，（x 0，y 0）满足 ，即 =1， = = ， 为定值 解：（3）不妨设 P1（m，n ） ，P 2（m，n ） ，圆心 E（t ，0 ） ，圆 En：（xt） 2+y2=（mt）
41、 2+n2，由内切圆定义知，椭圆上的点到圆心 E 的距离的最小值为|P 1E|，设 M（ x，y）是椭圆 C1 上任意一点，|ME|2=（xt） 2y2= ，当 x=m 时，| ME|2 最小， m= ，假设椭圆 C1 上存在 F1 的内切圆，则（ t） 2=（m t） 2+n2，又 P1（ m，n）在椭圆 C1 上，即 ，由，得：t= 或 t= ，当 t= 时，m= 2 不合题意，舍去，经验证 t= 满足条件，综上，存在这样的内切圆，圆心为（ ，0） 选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22已知曲线 C 的极坐标方程是 =4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直
42、角坐标系，直 l 的参数方程是 （t 是参数）（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角 的值【考点】参数方程化成普通方程【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式，求出曲线 C 的直角坐标方程；（2）先将直 l 的参数方程是 （t 是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t 2 的关系式，利用|AB|=|t 1t2|，得到 的三角方程，解方程得到 的值，要注意角 范围【解答】解：（1）cos=x，sin=y，
43、 2=x2+y2，曲线 C 的极坐标方程是 =4cos 可化为：2=4cos，x 2+y2=4x，（x2） 2+y2=4（2）将 代入圆的方程（ x2） 2+y2=4 得：（tcos1） 2+（tsin） 2=4，化简得 t22tcos3=0设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t 2，则 ，|AB|=|t 1t2|= = ，|AB|= ， = cos 0，） ， 或 直线的倾斜角 或 选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=|2xa|+|2x +3|，g （x ）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意 x1R，都有 x2R，使得 f（x 1）=g（x 2）成立
44、，求实数 a 的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【分析】 （1）利用|x1|+2|5，转化为7|x1| 3，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y |y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由|x1|+2|5，得5|x1|+ 257 |x1|3，得不等式的解为2x4（2）因为任意 x1R，都有 x2R，使得 f（x 1）=g（x 2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又 f（x）= |2xa|+|2x+3|（2x a） （2x +3）|=|a+3|，g（ x）= |x1|+22，所以 |a+3|2，解得 a 1 或 a5，所以实数 a 的取值范围为 a1 或 a 5
