1、吉林毓文中学 2016 年 高 三 年 级 考 前 综 合 检 测理科数学一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、已知全集为 R，集合 1,24M, 2|3Nx，则 ()MNR（ ）（A） ,2（B） , （C） 4 （D） 12x【答案】A【解析】试题分析：由题意得， 2|3|1Nxx或 3x，所以 |13NxR，所以()MR1,2，故选 A考点：集合的运算2、复数 z 满足 (i)|i，则复数 z 的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】D
2、考点：复数的运算与复数的表示3、函数 ()sin()fxA（ 0）在 3x处取得最小值，则（ ）（A） 3f是奇函数 （B） ()3fx是偶函数（C） ()fx是奇函数 （D） f是偶函数【答案】B【解析】试题分析：由题意得，函数 ()sin()fxA（ 0）在 3x处取得最小值，所以函数()sin()fxA（ 0）的图象关于 3对称，函数 ()sin()fAx的图象向左平移 3个单位后，得到函数 3f的图象，则函数 ()fx的图象关于 y对称，所以函数 3f是偶函数，故选 B考点：三角函数的性质4、在 ABC中， 5, 4BAC，则 B（ ）（A） 9（B） 3 （C） 2 （D） 1【答案
3、】B考点：向量的数量积的运算及余弦定理5、已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量 X（单位：mm）对工期延误天数 Y 的影响及相应的概率 P如下表所示：在降水量 X至少是 10的条件下，工期延误不超过 15天的概率为（ ）（A） 0.1（B） 0.3（C） 0.42 （D） 0.5【答案】D【解析】试题分析：由题意得，降水量 X至少是 10的概率为 20.13.6，降水量 X至少是 10的条件下，工期不超过 15天的概率 02.3，所以降水量 X至少是 的条件下，工期延误不超过 5天的概率为 0.36P，故选 D考点：条件概率6、若 ,xy满足约束条件10,2,xy且目
4、标函数 zaxy取得最大值的点有无数个，则 z的最小值等于（ ）（A） 2（B） 32 （C） 12 （D） 12【答案】C【解析】试题分析：由题意得，由 zaxy，所以 axz，故直线 yaxz在截距为 z，作出平面区域如下，故 12a，故直线 12，故过点 (1,)时，目标函数由最小值 min11()22，故选 C考点：简单的线性规划降水量 X 1020X30X0工期延误天数 Y 0 5 15 30概率 P .4.20.0.3【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划求最值和简单的线性规划的应用，解答此类问题时，首先要准确画出目标函数作表示的可行域，把目标函数化简为直线的斜截式方程，根据直线
5、在 y轴上的截距，判断目标函数取得最优解的情况，从而得到目标函数的最值，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题7、执行右面的程序框图，若输入 n值为 4，则输出的结果为（ ）（A）8 （B）21 （C）34 （D）55【答案】C【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得： 4,1,nsti，第一次循环：得 2,3sti；第二次循环：得 5,83sti；第三次循环：得 324，此时要终止循环，输出 4，故选C考点：程序框图8、512x的展开式中， 2x的系数为（ ）（A）45 （B）60 （C）90 （D）120【答案】D【解析】试题分析：由题意得，552101()()2xxx，则展开式中
6、 2x项为37210x，所以 2的系数为 120，故选 D考点：二项式定理的应用9、正项等比数列 na满足 1, 2635a128，则下列结论正确的是（ ）（A） *N， （B） n*N， 21nna（C） n， 1nSa（D） ， 32a【答案】C考点：等比数列的通项公式及等比数列的和10、双曲线2:1(0,)xyEab的左、右焦点分别为 1F, 2， P是 E左支上一点， 12PF，直线 2PF与圆 22相切，则 E的离心率为（ ）（A） 54（B） 3（C） 53（D） 3【答案】C考点：双曲线的几何性质11、一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（ ）（A） 2（B） 423
7、 （C） 43（D） 3 ? ?212 2【答案】A【解析】试题分析：根据给定的三视图可知，画出此三棱锥的直观图，如图所示，图中长方体的体积为 28，给三棱锥为正方体的一部分， （红线部分）可用正方体的体积切割去掉四部分，即可得到三棱锥的体积为 ，故选 A考点：几何体的三视图及三棱锥的体积【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据几何体的三视图得出原几何体是正方体的一部分，利用正方体的体积切去四个部分，即可求解12、设 m
8、R，函数 22()(e)xfxm若存在 0x使得 01()5f成立，则 m（ ）（A） 15（B） 5（C） 3（D） 45【答案】B考点：存在性问题的求解；函数的性质【方法点晴】本题主要考查了函数导数的意义，切线的斜率、点到直线的距离公式、函数存在性问题的求解等知识点综合应用，解答中把函数 22()(e)xfxm转化为平面上两点 2(,)(,)xPeQm之间的距离的平方，利用函数 2,feg的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13、已知函数 1,02,().xf若 ,2
9、,gxfax为偶函数，则实数 a 【答案】 2【解析】试题分析：由题意得， (1),02,.axgxf，要使得函数为偶函数，则 1a12a.考点：函数的奇偶性14、所有棱长均为 的正四棱锥的外接球的表面积等于 【答案】 8考点：球的表面积及球的组合体15、抛物线 2:4Cyx的准线与 x轴交于点 M，过焦点 F作倾斜角为 60的直线与 C交于 ,AB两点，则 tanAMB= 【答案】 3【解析】试题分析：抛物线： 2:4Cyx的交点坐标 (1,0),)FM，则 AB的方程为 3(1)yx，联立方程组 23(1)4yx，解得 3或 ，及 23,(A，则 ,2MBkk，所以2tan431()AMB
10、考点：抛物线的简单的几何性质【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质、直线与抛物线的位置关系、两角和与差的正切函数等知识的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及运算、推理能力，本题的解答中，利用直线方程与抛物线方程联立，求解出点 ,AB的坐标，利用两角和与差的正切公式正确化简是解答的关键16、数列 na的前 项和为 nS已知 12a, 1()2nnS，则 10S_【答案】 198考点：数列的递推关系式；数列的求和【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系式、数列的性质、数列的求和思想等知识的应用，注重考查了转化与对应思想和分析问题和解答问题的能力，其中根据数列的递推关
11、系式，进行合理变换是解答本题的关键，本题的解答中，当 n为偶数时，得出 24nS，从而得出 48nS，再利用累加法，即可求解三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、 （本小题满分 12 分）ABC的内角 , , 所对的边分别为 ,abc，已知 tan21AcBb（）求 ；（）若 边上的中线 2AM，高线 3AH，求 C的面积【答案】 （I） 3；（II） 3【解析】试题分析：（I）利用三角恒等变换的公式，化简得出 1cos2A，即可求解 A的值；（II）由 M是 BC中点，得 1()2AMBC，平方后可得 23cb，在由三角形的面积公式和余
12、弦定理，得出bca和 8，进而可求解三角的面积试题解析：（）因为 tan1Ab，所以 sinco2sin1ABC， 2 分即 sin()2sicoABC，因为 i()in0， siB，所以 cos2A， 4 分又因为 ,A，所以 3A 5 分（）由 M是 BC中点，得 1()2C，即 221()4，所以 232cb， 7 分由 sinSAHA，得 3a，即 c， 9 分又根据余弦定理，有 22abc， 10 分联立，得 ()3c，解得 8bc所以 ABC的面积 1sin23SbcA 12 分考点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换18、 （本小题满分 12 分）为了研究某学科成绩
13、是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了 30 名男生和 20 名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定 80 分以上为优分(含 80 分)（） （i）请根据图示，将 22 列联表补充完整；（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过 10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取 3 名学生的成绩，求至少 2 名学生的成绩为优分的概率附： )()(22 dbcabnK【答案】 （I） （i）列联表见解析；（ii）在犯错误概率不超过 10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（II） 0.3
14、52【解析】试题分析：（I）列出列联表，根据公式计算卡方的值，比较可得到结论；（II）根据题意，得到随机变量 X服从二项分布 (3,0.4)B，即可求解其概率试题解析：（）根据图示，将 22 列联表补充完整如下：2 分优分 非优分 总计男生 9 21 30女生 11 9 20总计 20 30 50优分 非优分 总计男生女生总计 502Pk0.100 0.050 0.010 0.0012.706 3.841 6.635 10.828假设 0H：该学科成绩与性别无关，2K的观测值2 2()50(91)3.5()(30nadbckd，因为 3.15.706，所以能在犯错误概率不超过 10%的前提下认
15、为该学科成绩与性别有关6 分考点：频率分布直方图、茎叶图、 n次独立重复试验、独立性检验19、 （本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥 PABCD的底面是梯形，且 /ABCD, 平面 PA， E是 B中点，12CD（）求证： E平面 ；（）若 3， 4AB，求直线 CE与平面 P所成角的大小EDCBAP【答案】 （I）证明见解析；（II） 6【解析】试题解析：（）证明：取 AP的中点 F，连结 ,DEF，如图所示因为 PDA，所以 F 1 分因为 B平面 ， 平面 ，所以 ABDF又因为 APB，所以 平面 3 分因为点 E是 中点，所以 /EF，且 2AB 4 分又因为 /ABCD，且 2
16、AB，所以 /CD，且 EF，所以四边形 F为平行四边形，所以 ，所以 平面 PAB 6 分（）解：设点 O， G 分别为 AD， BC 的中点，连结 OG，则 /AB，因为 AB平面 PD， A平面 PD，所以 AB，所以 D 7 分因为 3EC，由（）知， 3,F又因为 4，所以 2，所以 2223,所以 APD为正三角形，所以 POAD，因为 B平面 ， 平面 ，所以 O又因为 A，所以 P平面 ABC 8 分故 ,GP两两垂直，可以点 O 为原点，分别以 ,OGP的方向为 ,xyz轴的正方向，建立空间直角坐标系 xyz，如图所示(0,3)， (1,20)(,)CD， 13(,2)E，所
17、以 ,P， ,P， 3(,0)2C， 9 分设平面 的法向量 (,)xyzn，则 0,DPCn所以 30,2z取 1，则 (3,01)n， 10 分设 E与平面 所成的角为 ，则 si|co,|23EC， 11 分因为 0,2，所以 6，所以 EC与平面 PD所成角的大小为 6 12 分考点：直线与平面垂直的判定与证明；直线与平面所成角的求解20、 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ,AB的坐标分别为 2,0直线 ,APB相交于点 P，且它们的斜率之积是 14记点 P的轨迹为 （）求 的方程；（）已知直线 ,AB分别交直线 :4lx于点 ,MN，轨迹 在点 P处的切线
18、与线段 MN交于点 Q，求MQN的值【答案】 （I）214xy（ 2x） ；（II） 1QN【解析】试题分析：（I）设出 P坐标为 ,xy，求出直线 AP的斜率和直线 BP的斜率，利用斜率成绩为 14，整理即可得出曲线的方程；（II）设出 坐标，得出 ， 的方程，进一步求出 ,MN点的纵坐标，写出椭圆在 P的切线方程，由判别式等于 0得到过 的斜率（用 的坐标表示） ，代入切线方程，求得点 Q的纵坐标，设 MQN，转化为坐标关键，即可求出 ，得出 QN的值（）设 0,Pxy（ 02） ，则2014xy 5 分直线 AP的方程为 02yx，令 4，得点 M纵坐标为 062Myx； 6 分直线 B
19、的方程为 0，令 ，得点 N纵坐标为 0N； 7 分设在点 处的切线方程为 00ykx，由 02,4ykx得 2200148440yxykx 8 分由 ，得 2 22 20 0661ykxk，整理得 2014y将 2220001,4xy代入上式并整理得20xyk，解得 04xky， 9 分所以切线方程为 004x令 4x得，点 Q纵坐标为 220 00 00441Qxxyxy y 10 分设 MN，所以 QMNQyy，所以 0001621xyxy所以 2200001612xxyy将22004代入上式， 002+()2，解得 1，即 1MQN 12 分解法二：（）同解法一（）设 0,Pxy（ 0
20、2） ，则2014xy 5 分直线 A的方程为 0，令 ，得点 M纵坐标为 062Myx； 6 分直线 B的方程为 2yx，令 ，得点 N纵坐标为 0N； 7 分设在点 P处的切线方程为 00kx，由 02,4ykxy得 2200148440yykx 8 分由 ，得 2 22 20 0661kxkx，整理得 2220014ykxk将 2220001,4y代入上式并整理得20xyk，解得 04xky， 9 分所以切线方程为 004x令 4x得，点 Q纵坐标为 220 00 00441Qxxyxy y 10 分所以 0000 02281816 224MN Qxyxyy xy yx， 11 分所以
21、Q为线段 的中点，即 MQN 12 分考点：椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系的应用【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，着重考查了推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想的应用，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中，设出 P坐标，得出 AP， B的方程，设 MQN，转化为坐标关键是解答的关键21、 （本小题满分 12 分）已知 aR，函数 1()exfa的图象与 x轴相切（）求 ()fx的单调区间；（）当 1时， ()1)lnfmx，求实数 m的取值范围【答案】 （I） x的单调递减区间为
22、 (,)，单调递增区间为 (1,)；（II） 1(,2【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，根据函数的图象与 x相切，求出 a的值，从而求出函数的单调区间；（II）求出 gx的导数，通过讨论 m的范围，结合函数的单调性以及 ()1)lnfxmx，即可求出实数m的取值范围（）令 ()(1)lngxfmx， 0x则 1eln，令 ()hg，则 12()e()xhmx， 6 分（）若 2，因为当 1x时， 1ex， 2(mx，所以 0，所以 ()hx即 g在 (,)上单调递增又因为 10，所以当 1x时， ()0gx，从而 ()gx在 ,)上单调递增，而 10，所以 (0gx，即 ()1)lnfx
23、mx成立 9 分（）若 2m，可得 12eh在 (0,)上单调递增因为 (1)0h， 21(ln)01ln()l()m ，所以存在 1,l)x，使得 1(0hx，且当 (,)时， (0hx，所以 )即 g在 1(,)x上单调递减，又因为 1g，所以当 1,时， (0，从而 ()x在 1,上单调递减，而 0g，所以当 1(,)x时， ()0gx，即 ()1)lnfxmx不成立纵上所述， k的取值范围是 ,2 12 分考点：利用导数求解函数的单调性；函数的极值、最值的应用【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义、利用导数求解函数的单调性、函数的极值、最值的应用、不等式等基础知识，着重考查了学生的推
24、理论证能力、运算求解能力、创新意识等，以及考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等，解答中合理运用函数的导数和函数的的单调性的关系及函数的极值与最值在解题中的应用是解答的关键请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22、 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图所示， ABC内接于圆 O， D是 ABC的中点， BAC的平分线分别交 BC和圆 O于点 E,F（）求证： F是 E外接圆的切线；（）若 3, 2，求 2的值OFEDCBA【答案】 （I）证明见解析；（II） 6【解析】试题分析：（I）
25、设 ABE外接圆的圆心为 O，连结 B并延长交圆 O于 G点，得出 90BE，BAEG，在角的平分线，得出 FEA，利用角的关系，即可证得 F是 A外接圆的切线；（II）利用 F C和 ，根据相似三角形的性质，即可求解 2D的值试题解析：（）设 ABE外接圆的圆心为 ，连结 B并延长交圆 于 点，连结 E，则 90BE， 因为 AF平分 ，所以 =F，所以 FEA， 2 分所以 18090GEBGBG，所以 OB，所以 是 A外接圆的切线 5 分（）连接 DF，则 C，所以 DF是圆 O的直径，因为 22， 2，所以 BAB 7 分因为 F平分 ，所以 AF E,所以 EC，所以 ()FA,因
26、为 B，所以 B ，从而 2BE，所以 2AF，所以 26DA 10 分GOECDFBA考点：圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理23、 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 2cos,inxy（ 为参数） 以 O为极点， x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系（）写出 1C的极坐标方程；（）设曲线2:14xy经伸缩变换1,2xy后得到曲线 3C，射线 （ 0）分别与 1C和 3交于 A,B两点，求 |A【答案】 （I） 4cos；（ II） |1B【解析】试题分析：（I）先将曲线 1C的方程化为普通方程，在利
27、用直角坐标与极坐标的互化，化为极坐标方程；（II）根据 ,2xy，代入 2的方程，得出 3C的方程为 21xy，即可求解 |1OB，进而求解 |AB试题解析：（）将 cos,in消去参数 ，化为普通方程为 2()4y，即 21:40Cxy， 2 分将 cos,in代入 21:40Cxy，得 24cos， 4 分所以 1的极坐标方程为 cos 5 分（）将 2,xy代入 2C得 21xy，所以 3C的方程为 21xy 7 分3C的极坐标方程为 1，所以 |OB又 |4cos23OA，所以 |1ABO 10 分考点：极坐标方程和参数方程、伸缩变换等24、 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知不等式 |3|21x的解集为 |xm（）求 m的值；（）设关于 x的方程 |txt（ 0t）有解，求实数 t的值【答案】 （I） 2；（II） 1或 （）因为 1xtxtttt，当且仅当 10t时取等号， 7 分因为关于 x的方程 |2txt（ 0t）有实数根，所以 12t 8 分另一方面， 12t，所以 1t， 9 分所以 t或 10 分考点：绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明
