1、2017 届四川省成 都外国语学校高三下学期 5 月月考试题 数学（理） （解析版）本试卷分第 I 卷(选择题)和 第 II 卷(非选择题)两部分注意事项：1答题前，考试务必先 认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准 考证号和座位号填写在相应位置，2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效；5考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。第 I 卷一、选择题（本大题 12 个小题
2、，每题 5 分，共 60 分,请将答案涂在答题卷上 )1.已知复数 的共轭复数为 ，若 （ 为虚数单位） ，则在复平面内，复数zz iiz25)21)(3所对应的点位于（ ）zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 已知集合 ， ，则（ ）2|0x4|log2BxA B C DUARABAB3.下列命题正确的个数是（ ）命题“ ”的否定是“ ”；200,13xRx2,13xx函数 的最小正周期为 是“ ”的必要不充分条件；2cosinfaa 在 上恒成立 在2,2mxin上恒成立；1,x“平面向量 与 的夹角是钝角” 的充分必要条件是“ ”.ab 0bAA B C. D2344.九
3、章算术是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的 的值为 ，则输入的 的值为（ ）m5aA B C. D45715.已知公差不为 0 的等差数列 an满足 a1,a3,a4成等比数列, Sn为数列 an的前 n 项和,则 的值为( )3-25-3A.-2 B.-3 C.2 D.36.如图，小正方形的边长为 ，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）1A B C. D8636327如图，在直角梯形 中， ， ， ， ABCDABDABC2AB，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，
4、半径为 ，且点 P 在图中阴影部分（包1AD 12括边界）运动若 ，其中 ，则 的取值范围是（ PxyxyR， 4xy）来源:A. B. 324， 523，C. D. 5， 172，8.设定义在 R 上的奇函数 y=f(x),满足对任意 tR 都有 f(t)=f(1-t),且 x 时, f(x)=-x2,则 f(3)+f0,12的值等于( ) (-32)A.- B.- C.- D.- 12 13 14 159.2017 年“元旦”期间,成都某游乐园举行免费游园活动,免费开放一天,早晨 6 时 30 分有 2 人进入游乐园,接下来的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来,第二个 30 分
5、钟内有 8 人进去 2 人出来,第三个 30 分钟内有16 人进去 3 人出来,第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来按照这种规律进行下去,到上午 11 点 30 分时园内的人数是( )A.212-57 B.211-47 C.210-38 D.29-3010.若圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上至少有三个不同点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 ,则直线 l 的斜率的取值范2围是( )A.2- ,1 B. C. D.0,+ )3 2- 3,2+3 33, 311若存在 ，使得关于 的方程 成立，其中 为自然对数的mx24lnlaxmexe底数，则实数 的取值范围是（ ）a
6、A. B. C. D. ,010,2e ),1()0,(1,212. 已知 是定义在 上的函数，且满足 ；曲线 关于点 对称；fxR4fyfx,0当 时 ，若 在 上有 5 个零点，则实数 的4,2logxmyx4,m取值范围为（ ）A. B. C. D. 3,1e423,1e 20,1e0,1第卷二填空题（本大题 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）13.已知 a= sin xdx,则二项式 的展开式中 x-3的系数为 . 0 (1-)614.已知 ，则 的取值范围为 214(0,)xyxy2xy15.在正三棱锥 V-ABC 内,有一个半球,其底面与正三棱锥的底面重合,且与正三棱锥的三个
7、侧面都相切,若半球的半径为 2,则正三棱锥的体积最小时,其底面边长为 . 16.已知 是定义在 上的函数， 是 的导函数，给出如下四个结论：()fR()ff若 ，且 ，则函数 有极小值 0； 0x()fex若 ，则 ， ；()2ff142()nnf*N若 ，则 ；(7)06f若 ，且 ，则不等式 的解集为 .fxf xfe(,)所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知 满足 ，若其图像向左平移 个单位后得()sin)(0,|)2fx()(2fxfx6到的函数为奇函数（1）求 的解析式；()fx（2）在锐角 中，角
8、的对边分别为 ，且满足 ，求 的取ABC, ,abc(2)cosaBbA()f值范围18.(本小题满分 12 分)为了引导居民合理用水,某市决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价,具体划分标准如下表:从本市随机抽取了 10 户家庭,统计了同一个月的用水量,得到右边的茎叶图:(1)现要在这 10 户家庭中任意选取 3 户,求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值;(2)用抽到的 10 户家庭作为样本估计全市的居民用水情况,从全市依次随机抽取 10 户,若抽到 n 户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大,求出 n 的值 .19.(本小题满分 12 分)如图,在
9、四棱锥 A-EFCB 中, AEF 为等边三角形,平面 AEF平面EFCB,EF BC,BC=4,EF=2a, EBC= FCB=60,O 为 EF 的中点 .(1)求证: AO BE:(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值;(3)若 BE平面 AOC,求 a 的值 .20.(本小题满分 12 分) 已知动圆 过定点 且与圆P3,0M阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量月用水量范围(单位:立方米) (0,10 (10,15 (15,+ )相切，记动圆圆心 的轨迹为曲线 .2:316NxyPC（1）求曲线 的方程；C（2）过点 且斜率不为零的直线交曲线 于 ， 两点，在 轴上是否存
10、在定点 ，使得直线,0DABxQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.,AQB21. (本小题满分 12 分)已知 ，其中 .()=(22)+2122 （）若 ，且曲线 在 处的切线过原点，求直线的方程；=0 ()=（）求 的极值；()（）若函数 有两个极值点 ， ，证明 .() 1 2(1 0)分别交 C1,C2于 A,B 两点,求 的最大值 .|23.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知 |x1-2|0,b0)的左、右两个焦点,点 M 在 E 上,2222MF1 与 x 轴垂直 ,sinMF 2F1= ,则 E 的离心率为 . 1313 解析 因
11、为 MF1 垂直于 x 轴,所以|MF 1|= ,|MF2|=2a+ 因为. 222.来源 :Z（2） .()=(23) (0,1【解析】试题分析：（1）由条件 得周期，由周期求 ；由图像变(+2)=() 换的函数为奇函数得 的等量关系，由 ，解出 ；（2）由正弦定理将边角 |1,则 k6.6,P(Y=k-1)P(Y=k).所以当 k=6 或 7 时,P (Y=k)可能最大.因为 1,所以 n 的取值为 6.(=6)(=7)=610(35)6(25)4710(35)7(25)3=76(文)19. 如图，在梯形 中， ， ， ，平面ABCD/ADCBa60AC平面 ，四边形 是矩形， ，点 在线
12、段 上，且ACFEFEaMEF2M（1）求证： 平面 ；/AMBDF（2）求直线 与平面 所成角的余弦值E【答案】（1）见解析;（2） .104【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般方法为利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找往往利用平几知识，如本题设与 交于点 ，利用三角形相似可得 ,再根据平行四边形性质可得 , =2（2）求线面角，关键在找平面 的垂线，由 , 可得： 平面 ，即 平面 , 平面 ,因此过点 作 的垂线交 于点 ，则 平面 由面面垂直性质定理可得 平面 .又 ，所以点 到平面 的距离等 / 于点 到平面 的距离，最后根据直角三角形求线面角. （
13、2）由题知： ，点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，过点/ 作 的垂线交 于点 ， ， ， ，= 平面 ，即 平面 ， ， 又 ， ， 平面 .= 在 中， ，=22在 中， ，=2+2=233直线 与平面 所成角的正弦值为 ， =64即直线 与平面 所成角的余弦值为 .1 104（理）19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 A-EFCB 中,AEF 为等边三角形,平面 AEF平面EFCB,EFBC,BC=4,EF=2a,EBC= FCB=60,O 为 EF 的中点.(1)求证 :AOBE:(2)求二面角 F-AE-B 的余弦值;(3)若 BE平面 AOC,求 a 的值.19.(1
14、)证明 由 AEF 为等边三角形,O 为 EF 的中点,可得 AOEF.因为平面 AEF平面 EFCB,且平面 AEF平面 EFCB=EF,所以 AO平面 EFCB. 又 BE平面 EFCB,所以 AOBE.(2)解 取 CB 的中点 D,连接 OD,以 O 为原点 ,分别以 OE,OD,OA 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,易知 A(0,0, a),E(a,0,0),B(2,2 a,0),则 =(a,0,- a), =(2-a,23 3 3 3 a,0),由平面 AEF 与 y 轴垂直,可设平面 AEF 的法向量为 n1=(0,1,0).3 3设平面 AEB 的法向量 n2=(x,y,
15、1),由 n2 ,可得 ax- a=0,解得 x= ; 3 3由 n2 ,可得(2-a )x+(2 a)y=0, 3 3解得 y=-1,所以 n2=( ,-1,1). 所以 cos= =- ,312|1|2|=-15 55由二面角 F-AE-B 为钝二面角,所以二面角 F-AE-B 的余弦值为-55.(3)解 由(1) 知 AO平面 EFCB,则 AOBE,若 BE平面 AOC,只需BEOC , =(2-a,2 a,0), 3 3又 =(-2,2 a,0), =-2(2-a)+(2 a)2=0, 3 3 3 3解得 a=2 或 a= , 由题意易知 ab0),过椭圆的上顶点与右顶22+22点的
16、直线 l,与圆 x2+y2= 相切,且椭圆 C 的右焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合.127(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 O 作两条相互垂直的射线与椭圆 C 分别交于 A,B 两点,求OAB 面积的最小值.20.解 (1)过椭圆的上顶点与右顶点的直线 l 为 =1,直线与 x2+y2= 相切,满足+ 127,且 a2-b2=1,(|1|12+12)2=127整理可得 7a4-31a2+12=0,(7a2-3)(a2-4)=0,a2=4,a2= (舍去),37故 b2=3, 所求的椭圆 C 的方程为 =1.24+23(2)当两线分别与坐标轴重合时,S OAB= 212 3=3.当两线
17、不与坐标轴重合时,由于 OAOB,设直线 OA 为 y=kx,则直线 OB为 y=- x,1设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 OA 的方程为 y=kx,与椭圆 =1 联立消去 y,得24+23, 用- 代换 k 得 ,21= 123+42,21= 1223+42 122= 123+42= 12232+4, S2= |OA|2|OB|2= )( )=22=1223+42=1232+414 14(21+21 22+221412(1+2)3+42 12(1+2)32+4= = ,1224 13+421+232+41+21224 1(72)2 (127)2(因 为 3+421+2+32+4
18、1+2=7)当且仅当 k=1 时取等号 ,又 ,综合可得三角形的最小面积为 S1270,若不等式 x1 e1+恒成立,求 的取值2范围.21.解 (1)函数 f(x)的定义域为 (0,+).由题意知,方程 f(x)=0 在(0, +)内有两个不同根,即方程 ln x-ax=0 在(0,+)内有两个不同根.转化为函数 y=ln x 与函数 y=ax 的图象在(0,+)上有两个不同交点,如图.可见,若令过原点且切于函数 y=ln x 图象的直线斜率为 k,只需 00,01+1+2.又由 ln x1=ax1,ln x2=ax2 作差得,ln =a(x1-x2),即 a=12121-2.所以原式等价于
19、 ,121-2 1+1+2因为 00,所以 h(t)在 t(0,1) 上单调递增 ,又 h(1)=0,所以 h(t)0,t( 2,1)时,h (t)0,所以 1.221. (本小题满分 12 分)已知 ，其中 .()=(22)+2122 （）若 ，且曲线 在 处的切线过原点，求直线的方程；=0 ()=（）求 的极值；()（）若函数 有两个极值点 ， ，证明 .() 1 2(11 ()=.2+322在 时取到极大值 .=1 212试卷解析：（）当 时， ， ，=0 ()=2122 ()=2所以切线的斜率 ，又直线过原点，所以 ，=()=2 =() =12由 得 ， .2=12 =12 =1所以
20、，故切线的方程为 ，即 .=(1)=1 = +=0（）由 ，可得 ，()=(22) +2122 ()=(22)当 时 ， ， 在 上单调递增，在 上0 ()01 ()01 01 ()0 01 ()=.2+322在 时取到极大值 .=1 212点睛：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,曲线 C
21、1:x+y=4,曲线 C2: ( 为参数), 以坐标原点=1+,= O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程;(2)若射线 l:=(0)分别交 C1,C2 于 A,B 两点 ,求 的最大值.|22.解 (1)C1:(cos +sin )=4,C2 的普通方程为(x-1) 2+y2=1,所以 =2cos .(2)设 A(1,),B(2,),- ,4 2则 1= ,2=2cos , 2cos (cos +sin )4+ |=21=14= (cos 2+sin 2+1)= ,14 14 2(2-4)+1当 = 时, 取得最大值 +1).8 | 14( 2
22、23.(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知|x 1-2|1,|x2-2|1.(1)求证 :2x1+x26,|x1-x2|2;(2)若 f(x)=x2-x+1,求证 :|x1-x2|f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.23.证明 (1)|x 1-2|1,-1x 1-21,即 1x13,同理 1x23,2x 1+x26.|x 1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|x 1-2|+|x2-2|,|x 1-x2|2.(2)|f(x1)-f(x2)|=| -x1+x2|=|x1-x2|x1+x2-1|,21222x 1+x26,1x 1+x2-15, |x 1-x2|f(x1)-f(x2)|5|x1-x2|.
