1、 抽象函数问题的“原型”解法 编写 赵继森 审查 董猛抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的基本函数，再由基本函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并牢固掌握函数的相关内容，学好大纲规定的基本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具
2、体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有 可抽象为()0)fxk121212()()()fxkxfxf。那么 = 就叫做抽象函数 满足yfy (的“原型” （函数） ，分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某类（基本）“原型”函数，并由“原型”函数的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型”解法。下面给出中学阶段常用的“原型” （函数）并举例说明“原型”解法。知识梳理一、中学阶段常用抽象函数 的“原型” （函数）()fx1、 ()(fxyfy2、 3、 )4、
3、()(ff5、 或2()2xyxyf()()2()fxyffxy 6、 ()(1ffxfy二、 “原型”解法例析例题 1.设函数 满足 ，且 ( )=0，()f()()2()ffxyfxyf2、 R；求证： 为周期函数，并指出它的一个周期。xyx变式训练：已知函数 满足 ，若 ，试求()fx1()()fxf(0)24f(2005)。f例题 2 已知函数 对于任意实数 、 都有 ，且当()fxxy()()fxyfy0 时， 0， (-1)=-2，求函数 在区间-2，1上的值域。x )变式训练已知函数 对于一切实数 、 满足 (0)()fxxyf0， ，且当 0 时， 1()fxyy()（1）当
4、0 时，求 的取值范围来源:学优高考网（2）判断 在 R 上的单调性来源:学优高考网 GkStK例题 3 已知函数 定义域为(0,+)且单调递增，满足 (4)=1，()fx f()fxyfy（1）证明： (1)=0；(2)求 (16)；（3）若 + ( -3)1，求 的范围；f)fxx（4）试证 ( )= （nN）fn()变式训练已知函数 对于一切正实数 、 都有 且 1 时，()fxxy()()fxfyx1， (2)= 来源:高考试题库 GkStK()fxf9(1)求证： 0； ()（2）求证： 在（0，+）上为单调减函数fx（3）若 =9，试求 的值。m综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的基本（原型）函数，并由基本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象具体抽象”的“原型”联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种基本函数相关知识的重要性。自我反思来源:学优高考网附件 1：律师事务所反盗版维权声明 来源:学优高考网 GkStK附件 2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：http:/www.GkStK.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060高考;试)题%库
